数学理论（四）

(连续足够多个rₙ的均值为1)

综合而论

s以内集合X={x|x=k₂a²+k₁a+n,(a∈N)}中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k₂∈N+,k₁∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或所有元素都被某个素数整除时(例如k₁、k₂为奇数,n为偶数时,所有元素均被2整除)，rₙ=0.

2、当集合X不符合第1条所述；k₁为偶数时，令A={x|x=a²+k₂n-k₁²/4,(a∈N)}；

k₁、k₂、n均为奇数时，

令B={x|x=a²+a+k₂n-(k₁²-1)/4,(a∈N)}；

k₁为奇数、k₂为偶数时，令C={x|x=(a²+a)/2+k₂n/2-(k₁²-1)/8,(a∈N)}；

当k₂=2ᵐ(m∈N)时，令b=1；

当k₂存在奇素因数d₁,d₂…dₓ，

dᵢ(i=1,2…x)整除k₁时，令bᵢ=dᵢ/(dᵢ-1)，dᵢ与k₁互素时，令bᵢ=(dᵢ-1)/(dᵢ-2)，令b=b₁b₂…bₓ；

则rₙ等于集合X对应的集合(A,B,C三者之一)的参照常数乘以b.

(k₁,k₂不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

③、论m(m∈N+)次函数中的素数分布.

且令：X={x|x=kₘaᵐ+kₘ₋₁aᵐ⁻¹…+k₁a+n,

(a∈N)}. (m、kₘ∈N+，n、k₁…kₘ₋₁∈Z)

则有：s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=rₙk/㏑s.

(k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数rₙ的计算方法如下：

1、集合X的表达式能够进行因式分解或所有元素都被某个素数整除时，rₙ=0；否则，按2、3条计算，rₙ＞0，集合X中素数无穷多.

2、集合X中的正元素除以pᵢ所得余数呈现周期性分布规律，周期长度为pᵢ；每个素数都对应一个余数周期，这些周期内最多m个0，最少无0，平均为一个0；令pᵢ对应的余数周期中有dᵢ个元素与pᵢ互素；

令tᵢ=dᵢ/(pᵢ-1)；

i足够大时，rₙ=t₀t₁…tᵢ=常数. (i∈N)

3、第2条是关于集合X的rₙ值的直接计算法，前面计算表达式为二次函数的集合X的rₙ值用的是间接计算法，关于表达式为二次以上函数的集合X的rₙ值的间接计算法尚待探讨.

(m,k₁…kₘ不变,连续足够多个rₙ的均值为1)

另外，当集合X的表达式中某些项的系数不为整数时，若集合X中的正元素分布符合上述第2条，则集合X的rₙ值计算方法同上.

㈤、论梅森素数的分布.

型如2ᵃ-1(a∈N+)的素数称为梅森素数.

且令：集合X={x|x=2ᵃ-1,(a∈N+)}={1,3,7,15,31,63,127,255…}.

且令：集合X中的元素依次是x₁，x₂，x₃…

则有：xₙ₊₁=2xₙ+1；xₘₙ=2ᵐⁿ-1=(2ᵐ-1)

[2⁽ⁿ⁻¹⁾ᵐ+2⁽ⁿ⁻²⁾ᵐ…+2ᵐ+1]. (n、m∈N+)

因此，n为合数时，xₙ同样为合数.

且令：集合X中的元素除以某个奇素数p所得余数依次组成序列K={k₁，k₂，k₃…}.

则有：kₙ≠p-1；

2kₙ+1＜p时，kₙ₊₁=2kₙ+1；

2kₙ+1≥p时，kₙ₊₁=2kₙ+1-p.

因此，序列K中互异的元素小于p个且连续p个元素中将存在相同的元素.

且令：kₙ=kₘ. (n＜m,m-n＜p)

则有：kᵢ=k₍ᵢ₊ₘ₋ₙ₎. (i∈N+)

因此，序列K中的元素存在周期性分布规律，周期长度小于p，周期内的元素互异，第一个元素是1，最后一个元素是0.

当m∈P，n∈N+时，集合X中的元素满足：当且仅当m=2时，第mn个元素能被3整除；当且仅当m=3时，第mn个元素能被7整除；当且仅当m=5时，第mn个元素能被31整除；当且仅当m=7时，第mn个元素能被127整除；当且仅当m=11时，第mn个元素能被23、89整除 …

分析整理，可按下述方法设定：

1、当集合X中被pᵢ(pᵢ=5,11,13,17,19,29…)整除的所有元素都能够被某个小于pᵢ的素数整除时，这些素数对应yᵢ=1.

2、当pᵢ(pᵢ=2,3,7,23,31…)不是第1条中括号内的素数时，且令集合X中与pᵢ互素的元素的分布比例为yᵢ.

则有：yᵢ=1或者yᵢ=(p-1)/p.

(p∈P,p＜pᵢ,所有yᵢ≠1的值互异)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：所有的rᵢ＞1. (猜测i足够大时,rᵢ→2)

经计算，s以内集合X中元素的能量和为

e=㏑㏑s/㏑2；因此，s以内梅森素数的数量接近或大于㏑㏑s/㏑2；存在无穷多个梅森素数；如果猜测成立，则s(足够大)以内梅森素数的数量接近2㏑㏑s/㏑2.

同理可证：

s以内斐波那契数列中的素数数量接近或大于1.5㏑㏑s/㏑g. [g=(1+√5)/2=1.618…]

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