皮亚诺公理

在许多人看来，1+1=2，这是常识，不需要证明。

一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人放在一起，那就是两个人。

虽然一滴水和另一滴放在一起，会变成一滴水，而不是两滴水，不过这也只是称呼的问题。我们只要说，一克水和另一克混合在一起，会变成两克水，这就可以了。

但是，数学家们并不满足于常识。他们依然想要构造出一个公理系统，来证明1+1=2。

关于自然数的加减乘除这四则运算，数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）建构的公理系统最为出名。接下来，就让我们来领略皮亚诺公理的魅力吧。

假装自己什么都不知道

首先，我们需要假定自己不是地球人，而是外星人，而且是那种从来没有学过数学的外星人。

这一步有点困难，因为假扮一个外星人，强求我们假装自己不知道那些明明已经知道的东西，但我希望大家还是努努力。

如果你不假装自己什么都不知道，那你就不会知道公理系统有多重要。同时，你也很难体会到皮亚诺公理有多美。

皮亚诺的五条公理

现在，假定我们已经什么都不知道了。现在再来看皮亚诺的那5条公理：

一：1是自然数。

二：任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。

三：任何自然数的后继数都不是1。

四：任意挑选出两个自然数，就称呼其中一个为a，另一个为b。如果a的后继数和b的后继数刚好是同一个数。那么，a和b其实不是两个不同的自然数，而是同一个自然数。

五：假设自然数1有一个特点。而且，如果任意自然数n有这个特点，那么n的后继数也有这个特点。由前两句话就可以得出，所有自然数都有这个特点。

作为外星人，匆匆一瞥，我们肯定看不懂这五条公理究竟在说什么。所以，让我们来逐条欣赏它们的含义。

第一条公理

第一条公理非常简单，它的意思就是说，1这个数啊，它算是自然数。或者说，假设自然数是一个俱乐部，那么1这个数就是这个俱乐部的成员。

注意，这条公理并没有说，1是不是这个自然数俱乐部的唯一成员。目前，关于自然数俱乐部，我们所知甚少。至少现在，我们只知道1是其中一员。

第二条公理

现在，我们来看第二条公理。这条公理就更值得品味了。它说，任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。我们可以猜想，自然数这个俱乐部的成员，其实都很怕寂寞。每个成员都要和邻居住在一起，而且那个邻居也是自然数。

如果把第一条公理和第二条公理结合在一起，我们会发现什么呢？

1是自然数的一员，1也很怕寂寞，所以1也有个邻居。1这个数的邻居，为了方便称呼，就叫做“1的后继数”。而且，“1的后继数”这位邻居，本身也是自然数俱乐部的成员，它也是个自然数。

现在，我们知道了，1在自然数俱乐部中并不是孤家寡人。这个俱乐部里头至少有两个成员，一个是1，另一个是“1的后继数”。

那么，现在让我们再来问一个问题。这个自然数俱乐部里，是不是只有两个成员呢？

当然不是。仔细看看第二条公理，它说的是任何自然数的后继数都是自然数。既然“1的后继数”也是自然数，那它也有个邻居，而且那个邻居也是后继数。

所以，现在我们知道了，自然数俱乐部里至少有三个成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数。

运用同样的思路，不难发现，自然数俱乐部里其实有超多成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数的后继数……

现在，我们已经知道了自然数俱乐部里，至少看起来有超多成员，虽然不知道具体有多少，但总之有很多就对了。

第三条公理

这条公理看似有些多余，它说，任何自然数的后继数都不是1。

但是，仔细想想的话，这条公理一点都不多余。你们看，第一条公理和第二条公理里头，都没有规定任何自然数的后继数都不是1。你们想，如果没有这条规定，那么俱乐部有可能是什么样子？

可能性就非常多了。自然数俱乐部甚至可能只有1这一个成员，1的后继数其实也是1，1的后继数的后继数还是1，看起来有很多成员，其实都只是1穿的不同马甲罢了。

自然数俱乐部里也可能只有2个成员。比如，只有1和1的后继数。如果不做出第三条公理中的规定，那么1的后继数的后继数可能就是1。整个俱乐部里，就只有这两个数抱团取暖。比如，1的后继数的后继数的后继数，其实就是1的后继数。整个俱乐部的成员其实都是这两个成员穿的不同马甲。

同理，自然数俱乐部里，也可能是3个成员，4个成员或5个成员，还可能是23456个成员，可能是938457234个成员。但是，这不是皮亚诺想要的自然数俱乐部。所以才有了第三条公理。

现在，我们知道了，自然数俱乐部里不知看起来有多个成员，实际上也有多个成员，而且，数量貌似还不少。

第四条公理

第四条公理说起来有点长。为了节约时间，让我们发明一些简便称呼。

我们可以把“诸葛孔明”直接称之为“亮”，这样可以节约读三个字的时间。所以，我们直接把1的后继数，写作1’。那么，1的后继数的后继数，就写作1’’。1的后继数的后继数的后继数，就是1’’’。这样做可以省下很多时间。

那么，这条公理也可以简单地说：如果a和b都是自然数，并且a’=b’，那么a=b。

大家想一想，皮亚诺为什么要搞这条公理呢？如果不搞这条公理，那么自然数俱乐部有可能是什么样子呢？

这样，我们假设每个自然数都特别阔气，它们单独都住一栋别墅。那么，皮亚诺心目中的自然数们的住宅，就是一排一直可以排列下去的超长联排别墅，一眼根本望不到头。

但是，现实生活中的联排别墅不一定是这种直线排列下去的。现实生活中的联排别墅也可以是一个圈。

当然，由于第三条公理的存在，所以自然数俱乐部的成员住的别墅，不可能是一个大圈。

但是，如果不规定这第四条公理，那联排别墅有可能还是会循环，不会一直排列下去。

所以要做出这样的规定。如果有两栋别墅的后继别墅是同一栋别墅，那么这两栋别墅其实是同一栋别墅。这样就能确保在建别墅时，不会出现循环。如果不这么规定，那么第一栋别墅的后面那一栋，可能同时也是第七栋别墅的后面一栋。但是，如果有了这个规定，就不会出现联排别墅中，不同的别墅共有同一个后继别墅的情况。

而且，有了这条规定，我们就不会允许横插进来的违章建筑。不会突然出现另一个自然数，比如x，它中途插入进来，也靠在1’’旁边，但又不能排列进这条直线队伍里。

有了这条规定，我们就知道，如果x的后继数是1’’，而且1’的后继数也是1’’，那么x其实就是1’’。

有了前四条公理，我们差不多就能描绘出，自然数是个什么样子了。大概就是沿着一条直线，不断延申，不会最终绕回来，也不会中途循环，也不会有横插在旁边的数字，总之就是像直直的联排别墅那样的结构。

第五条公理

这个第五条公理说起来有点长，但它其实数学归纳法。

数学归纳法可是个好东西啊，它可以让我们用有限的规则，理解无限的对象。换句话说，吾生也有涯，而知也无涯。一旦有了数学归纳法，那么以有涯随无涯，就不会殆已。

但是，今天没有时间细说数学归纳法，以后有空再详述。今天只是打个简单的比方，用多米诺骨牌来体会一下这第五条公理的含义。

多米诺骨牌长得就像更薄的麻将。如果我们把许多骨牌立在地上，排成一排。我们就会发现：

1.如果推倒一列骨牌中的任何一个骨牌，那么这个骨牌后面的那个骨牌也会倒下去。

2.推倒这列骨牌中的第一个骨牌。

由1和2可以得到3.这列骨牌全部都会倒下去。

数学归纳法也是类似的思路。它的关键就是证明1这一步，而2这一步相对容易证明，不用太操心。

注意，人们很容易误解1这一步。1这个步骤，本质上是一个条件。“如果天下雨，那么地上就湿”这也是个条件。我们想证明这个条件，那我们不是要证明现在天真的在下雨，也不是要证明现在地上真的湿了。我们是要证明，“如果天下雨，那么地上就湿”，换句话说，就是证明，如果天真的下雨了，那么地是不可能不湿的。

也就是说，要证明“如果n有某个特点，那么n’也有这个特点”，我们要做的不是去看n到底有没有这个特点，也不是去看n’到底有没有这个特点，而是去看，在n有这个特点的前提情况下，n’是不是必然也有这个特点。

加法公理

现在，我们有了皮亚诺的五条公理。那么，怎么证明1+1=2呢？

目前还无法证明，因为我们根本不知道“+”这个符号，究竟是什么意思，也不知道“2”这个符号是什么意思。

记住，我们可是一无所知的外星人。严格来说，我们连“=”这个符号都不知道是什么意思。不过，还是让我们先假设外星人也知道“=”是什么意思。

所以，光有皮亚诺公理还不够。为了知道加法的含义，我们还需要补充一些公理。

需要补充多少公理？

肯定是越少越好。皮亚诺就很聪明，只用了两条公理，就完美定义了所有的加法。

一：如果n是自然数，那么，n+1=n’。

二：如果n和m都是自然数，那么n’+m=（n+m）’。

现在，让我们先来用第一条公理。假设n就是1，那么1+1=1’。

1’只要被称之为2，那么就可以得出1+1=2了。是不是很简单？

同理，我们还可以证明1+2=3。

考虑第二条公理，假定m就是1，n也是1，那么1’+1=（1+1）’。

1+1是什么东西？它就是2，同时也就是1’。

所以，2+1=（2）’=（1’）’。

之前没有说，这里提一下，2+1其实也等于1+2。而只要我们把2’，也即是1’’，称之为3。那么我们就可以证明1+2=（2）’=（1’）’=1’’=3了。

同理，我们还可以证明235+234=469，只是会很长而已。

乘法公理

今天我们收获颇丰，不是吗？

我们知道了皮亚诺公理系统，还知道了加法系统。同时，我们还发现，其实数学符号一点都不可怕，反而非常方便。它们类似把“诸葛孔明”简称为“亮”，这是一种帮助我们节约时间的重要手段。

所以，严格来说，不用任何数学符号，我们也可以理解自然数的四则运算。但是，用数学符号明显更节约时间。

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