数学问题

在2000年之初，克雷数学研究所提出了七个问题，这些问题被认为是至今仍未解决的最困难的问题之一。解决其中任何一个问题都有100万美元的赏金。

在我写这篇文章的时候，只有庞加莱猜想得到了解决。格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）在2003年给出了证明，并在2010年被正式授予千禧年奖，但他拒绝了。

我将首先介绍这个猜想（现在是定理），然后根据复杂度的增加顺序介绍剩下的未解决的问题。

庞加莱猜想

庞加莱猜想，拓扑学上的一颗明珠，揭开宇宙形状之谜

任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

让我们逐字分析一下。首先，流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体。这意味着，如果你放大它，它看起来像一条线或一个平面或规则的三维空间等等。一个流形的例子是一个球体，如果你和它相差足够大并身处其中，它看起来是平的（就像你感觉地球是平的一样）。流形的维数就是它局部看起来像的空间的维数，例如，一个球局部看起来像一个平面（这意味着它有维数2），一个圆局部看起来像一条线（所以它有维数1），一个思维球体局部看起来像一个三维结构（这一定很神奇，但是我们无法想象）。

如果一个流形是紧凑且无边界的，那么这个流形就是封闭的（这是一个比较复杂且重要的拓补概念，需要另一篇文章来详细解释）。0和1之间的线段有0和1的边界，所以不是封闭的。圆没有边界，所以是封闭的。

• 一种封闭的2维流形，叫做2维环面

如果一个流形没有“孔”，则它是单连通的：

• A是单连通空间，B不是单连通空间

等效的单连通表述是，每个环可以连续地收缩到一点。

• A中的一个环可以收紧到一个点；B中的一个环被一个孔“卡住”，不能被收紧到一个点。

如果能连续地把一个变形成另一个，然后再变回来，那么这两个流形是同胚的（允许的变形包括拉伸、挤压和扭转，但不允许撕裂和穿孔）。这就引出了著名的甜甜圈和茶杯杯之间的比较（拓补上，它们是同一种东西）。

• 把甜甜圈变形成茶杯

在拓扑学中，我们想对所有流形进行分类，其中在某个类中的所有流形都是彼此同胚的。在二维空间中，很容易看出，如果流形是封闭的且没有洞，那么它就相当于一个2维球体（圆面）。很容易确定一个2维流形是否同胚于2维球体。

庞加莱指出，这在三维中也是成立的，即任何封闭的，单连通的3维流形都同胚于3维球面。

2002年，格里戈里·佩雷尔曼通过使用“里奇流”证明了庞加莱猜想。

P vs NP

能否快速验证每个问题是否可以解决，并快速解决？

问题可以分为不同的复杂性类别。这里我们感兴趣的是P和NP类。它们分别表示多项式时间和非确定性多项式时间。

本质上，P问题可以“快速”解决和“快速”验证。而NP问题（目前）并没有一个“快速”的解决方案。更具体地说，给定一个输入大小为n的问题，如果它属于P类，那么求解它所花费的时间根据某个多项式增加。然而如果它是NP，那么它就会增加得更快。

一个被认为是NP的例子是旅行推销员问题的（决策问题）：

给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。

解决这个问题很困难，也很费力。如果增加城市的数量，将使求解时间的增加比任何多项式都要快得多。

另一方面，一个P问题的例子是验证一个数字是否在给定的列表中。这很容易解决，也很容易检查，如果你将列表的大小翻倍，所花费的时间也会翻倍（所以所花费的时间不会增长得太快）。

P vs NP问题问的是，是否NP问题和P问题是不同的。否则，是否存在一些秘密或隐藏的算法可以快速解决以前认为困难的问题（NP问题）？

纳维尔-斯托克斯问题，存在性和平滑性

改变世界的方程之纳维尔－斯托克斯方程，堪称最难的物理学方程

在三维空间和时间中，给定初始速度，是否存在一个光滑且具有全局定义的矢量速度和标量压力场来求解纳维尔-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）？

纳维尔-斯托克斯方程是描述三维流体运动的两个非线性偏微分方程。它是两个方程的集合，将速度矢量场和它的变化率与压力场联系起来，也就是作用于液体的外力。方程式是这样写的：

∂v 1

─＋(v · ∇)v＝–─∇p＋νΔv＋f(x，t)

∂t ρ

{

∇ · v

我们不会深入研究每一项的含义，但本质上，第一个方程是牛顿的F=ma。第二个方程也很简单，是质量守恒方程，要求流体不可压缩。

一个“有效”的解有两个条件：

1. 向量场v和标量场p是全局定义的，在整个空间上是连续的。

2. 总动能是有界的。（v的范数的平方在整个空间上的积分是有界的）。

所以纳维尔-斯托克斯问题可以归结为下面两种情况中的一种：

• 正面表述：给定f = 0和初始速度场（必须满足一定条件），存在满足（1）和（2）的速度场和压力场。

• 反面表述：存在一个初始矢量场和外力场，其中不存在满足（1）和（2）的解。

• N-S方程控制牛奶在茶中的扩散

黎曼猜想（假设）

一文搞懂黎曼假设，解析数论的里程碑，质数理论的珠穆朗玛

黎曼函数的所有非平凡零点的实部都等于1/2吗？

让我们分解一下。首先，黎曼ζ函数由下式定义：

∞ 1

ζ(s)＝∑ ─

ₙ₌₁ nˢ

它对 s＞1时有效。注意，当s = 1时，函数简化为调和级数。我们可以做一些奇特的数学运算，用下面的函数关系将函数解析到复平面上（除了s = 0和1时）：

1

ζ(1 – s)＝2(2π)⁻ˢcos(─sπ)Γ(s)ζ(s)，

2

for s ∈ ℂ∖{0，1}

现在我们要求s， ζ(s) = 0。既然奇数负整数的余弦值是0，那么ζ（-2n）对于正整数n是0。这些被称为平凡零点，因为余弦函数的性质使它为零。相反，我们感兴趣的是非平凡零点的情况。

已知所有非平凡零都有0到1之间的实部，称为临界带。结果是，如果s是一个非平凡零点（即ζ(s) = 0且s不是负偶数），那么对于一些值y，s = 1/2 + iy（即s的实部是1/2），这就是所谓的临界线。

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想

给定一条ℚ上的椭圆曲线E，其代数秩总是与解析秩重合吗？

椭圆曲线E，为方程y^2=x^3+Ax+B的解集，且判别式∆=-16（4A^3+ 27B^B）≠0。这个约束条件保证了曲线足够好。

• 两个椭圆曲线。左边：y^2=x^3-1.5x+1。右边：y^2=x^3-4x+1

现在我们要求x和y是有理的，从而限制了椭圆曲线的解。这就是我们说的ℚ上的曲线。现在我们可以用这条曲线E来组成一群E（ℚ）。我们做了一个很简洁的二元运算：给定两个点，我们画一条直线通过它们，找到与E的第三个交点并将它反射到x轴上。

• 如何将两点A和B相加得到C

为了使它完全成为一群，我们需要在无穷远处添加一个点作为群的标识。

第一个自然的问题是，我们可以推断出E（ℚ）的结构是什么？

莫德尔和威尔（Mordell and Weil）的结果告诉我们，E（ℚ）是有限生成的，可以写成：

E(ℚ) ≅ ℤʳ × E(ℚ)ₜₒᵣₛ

其中E（ℚ）_tors是E（ℚ）中所有有有限顺序的点。r被称为曲线E的代数秩。

现在我们有了前半部分。现在我们需要理解解析秩。

现在让我们进一步限制解，考虑在有限域p上，其中p是一个素数，我们定义以下值：

Nₚ＝{solutions：of E mod p}

αₚ＝p – Nₚ

最后是E在s处的L级数：

L(E，s)＝∏(1 – αₚp⁻ˢ＋p¹⁻²ˢ)⁻¹

p|Δ

∏(1 – αₚp⁻ˢ)⁻¹

p∤Δ

回忆一下，∆是椭圆曲线的判别式。那么我们可以将L展开成一个泰勒级数，围绕s = 1展开：

L(E，s)＝C(s – 1)ʳαn＋Higher Order Terms

这里，r_an是曲线的解析秩。

终于！我们可以把伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想简单地写成：

r＝rαn

这些都意味着什么呢？结果是，计算代数秩相当困难，而解析秩稍微容易一些。这个猜想在解析领域和代数领域之间架起了一座桥梁。

杨-米尔斯存在性与质量间隙

给定任何紧凑的简单规范群G，在ℝ⁴ （ℝ^4）上，是否存在一个非平凡量子杨-米尔斯理论，具有质量间隙 Δ＞0？

这个问题要求的是让现代物理学在数学上变得严谨。

我们从规范对称的概念开始，这些本质上是我们如何描述一个物理系统的自由度。艾美·诺特的一个简单定理是，对于每一种对称，都有相应的守恒定律。例如：

• 时不变（也就是说，无论你是现在开始实验，还是在喝完茶5分钟后开始实验）直接产生能量守恒

• 平动不变性引起动量守恒

接下来，我们来看杨-米尔斯理论。

劳伦斯·克劳斯（Lawrence Krauss）给出了最好的解释。想象一个象棋棋盘，如果你把每个白方块换成一个黑方块，每个黑方块换成一个白方块，那么游戏基本上是相同的。没有发生太多的改变，所以这是一个相当简单的对称。

但是现在想象一下，我局部地改变了某个方块的颜色，并且在整个棋盘上随心所欲地这么做。棋盘看起来会很奇怪，但我可以写一本规则手册来解释我做的所有交换。这个规则手册规定了游戏如何进行。

所以，让我们回顾一下：

规范群是一个系统的一组（可能非常奇怪的）对称，这就产生了守恒定律，我们可以写一本“规则手册”，这是一个定义粒子如何相互作用的场，这就是杨-米尔斯理论。

这已经在电磁力和强核力的情况下做过了，它们完全用量子电动力学和量子色动力学来描述。

杨-米尔斯的存在论（我们马上就会讲到质量间隙）所要求的是，这种描述是否适用于所有的四种基本力？更进一步，他们能统一吗？

说到质量间隙，这些场中的一个激发实际上是粒子。质量间隙本质上是规定这些粒子的质量必须在下面，这样你就找不到任意轻的粒子。这就是我们在自然界中观察到的。它被称为质量间隙，因为在0和最轻的粒子之间有一个间隙。

因此，杨-米尔斯理论要想“擅长”描述现实，就提出这个质量间隙。

霍奇猜想

设X为非奇异复射影流形。那么X上的每个霍奇类可以写成X复子簇上同调类有理系数的线性组合吗？

这是一个非常了不起的猜想。这里我就不详细讲了，因为这很难理解。

代数方程和几何图形之间有一种自然的交换。x^2+y^2-1= 0的解形成一个圆x+y-1=0形成一条直线。

所以我们可以想出一些疯狂的方程和它的解形成一个（有时非常复杂的）形状，这些被称为代数循环。如果这些代数循环足够光滑，那么它们可以被称为流形（回想一下庞加莱猜想）。

所以代数循环可以形成流形，如果我们加入更多的方程我们就可以得到流形上的代数循环。

• 把z = 0加到x^2+y^2+z^2=1上，得到一个圆

现在从拓扑学的角度来看，我们可以在流形上画一些疯狂的形状然后把这些形状组合在一起,如果它们可以互相变形的话。它们被分成同调类。

• 环面上的两个不同的同调类

这看起来就像我们上面所考虑的交换：我们正在从对形状的代数描述转向几何描述。问题是，给定一个流形，什么时候一个同调类包含一个可以被描述为该流形上的一个代数循环的形状？

不幸的是，我们一直在研究正则欧几里得空间中的流形。霍奇猜想研究存在于n维空间中的复射影流形。

霍奇想出了一个巧妙而优雅的想法来判断一个同调类是否等同于一个代数循环，这在本质上就是霍奇猜想。

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