几何
我们跳到1945-1954年，基于几何学的两个重要发展，年轻的Hirzebruch所做的工作。第一个发展，是由Leray发起的层论。第二个发展，是Thom的论文中的一些结果，特别是一些关于光滑流形的同胚群。我们陈述了Hirzebruch的两个主要结果，这些结果在[H1]中有详述。
设X 是一个复维度为 n 的非奇异射影代数簇，并且 V → Ⅹ 是一个全纯向量丛。（在我们对曲线的讨论中，我们使用了除子；回想一个除子决定了一个全纯线丛，与我们这里的表述建立了联系。）然后，经过层论定义上同调群 Hq(X，V)：H⁰(X，V) 是全纯截面 V → X 的向量空间，并且对于 q≥1，Hq(X，V) 是从 V → X 的全纯截面层的解析得出。上同调群是有限维的，这能够用椭圆微分算子理论和Dolbeault定理证明。（见§3.1-§3.2.）欧拉示性数定义为交错和
ₙ
(2.3)χ(X，V)＝∑(–1)q dim Hq (X，V)
q＝0
对于n＝1 的黎曼曲面的情况，人们经常想要计算 dim H⁰(X，V) ，但一般来说 dim H⁰(X，V) 依赖的比拓扑数据更多。另一方面，欧拉示性数 χ(X，V) 有一个用 Chern 类 cⱼ(X) 和 cₖ(V) 表示的拓扑公式。特殊情况下，当 dim X＝rankV＝1 时，这是经典的Riemann-Roch公式 (2.2) 。对于 X 是一个光滑的射影代数曲面 (n＝2)，并且 V → X 是秩为1的平凡丛，其结果通常被称为Noether公式：
1
(2.4)χ(X)＝── (c²₁(X)＋c₂(X))χ(X) .
12
在(2.4) 中，Chern类是在由自然定向所给出的 X 的基本类上估计的。分母中存在的12给出了投影曲面的Chern数一个整性定理。对于所有 X 和 V ，解决Riemann-Roch问题——也就是 (2.3) 的计算——是Hirzebruch的重要成就之一。Hirzebruch的公式是用Todd多项式和Chern特征表达的。假设切向量丛 τX＝L₁ ⨁ · · · ⨁ Lₙ ，分解为线丛的直和，并且设 yᵢ＝c₁(Lᵢ) ∈ H²(X；ℤ) 。那么Todd类是
ₙ yᵢ
(2.5) Todd(X)＝∏ ────
ᵢ₌₁ 1 – e⁻ʸⁱ
这是一个（混合的）偶度数的上同调类。类似地，如果V＝K₁ ⨁ · · · ⨁ Kᵣ 是线丛的直和，有 xᵢ＝c₁(Kᵢ) ，那么Chern特征是
ᵣ
(2.6) ch(V)＝∑ eˣⁱ .
ᵢ₌₁
特征类理论中的分解原理允许我们将这些定义推广到不是线丛直和的ТX → X 和 V → X 。
定理 2.7（Hirzebruch-Riemann-Roch）设X 是一个射影复流形， V → X 是一个全纯向量丛。那么
(2.8)χ(X，V)＝Todd(X) · ch(V) · r(X) .
Hirzebruch的第二个主要定理，是证明定理2.7的一个步骤，现在被称为Hirzebruch的符号定理。设Ⅹ 是一个对于 k 是正整数，维数为 4k 的闭合的、有向的、实可微流形。于是在中间上同调 H²ᵏ(X；ℝ) 上存在一个非退化的对称双线性配对，杯积后再对基本类估计给出：
(2.9)H²ᵏ(X；ℝ) ⨂ H²ᵏ(X；ℝ) → ℝ ⨂ α₁ ⨂ α₂ ↦ 〈α₁∪α₂〉x .
这个配对的符号Sign(Ⅹ) 被称为 (X) 的符号。（在旧文献中，术语‘指标’被用来代替‘符号’。）Hirzebruch定义了 L 类作为 X 的Pontrjagin类的多项式，由形式表达式确定：
₂ₖ yᵢ
(2.10) L(Ⅹ)＝∏ ────
ᵢ₌₁ tanh(yᵢ)
yᵢ，ˉyᵢ 是复切向量丛的Chern根。这与公式 (2.5) 相似：在复切向量丛 τX ⨂ ℂ → X 分解为复线丛的直和的情况下，首先定义 L(X) 。
定理 2.11（Hirzebruch符号定理）一个闭合的、有向的、光滑的流形X 的符号是
(2.12) Sign(X)＝L(Ⅹ)[X] .
Hirzebruch的证明用一种基本的方式使用了Thom的同胚理论[T1]。(2.12) 的两边在有向同胚下是不变的，并且是乘性的；对于符号，前边是Thom定理[T2,§ IV]。因此，需要经过Thom计算过的有向同胚环的一组（有理数）生成元来验证 (2.12) 。偶数维的射影空间 ℂℙ²ⁿ 提供了一组方便的生成元，并且以观察到 L 类在这些生成元上估计为1作为证明结果。Todd类以类似的方式进入定理2.7的证明——它的值在所有射影空间 ℂℙ²ⁿ 上为1，并且它是由这个性质来表征的。
注1：Riemann 证明了不等式 dimL(D) ≥ deg D – g＋1，之后，Roch 证明了更精确的 (2.2) 。遗憾的是，Roch 在 26 岁时因结核病去世，就在 39 岁的 Riemann 因同样的疾病去世的几个月后 。
注2：Thom、Hirzebruch 和许多其他人使用 "同胚" 代替 "同伦"；Atiyah [A10] 澄清了这个关系。
注3：总的Pontrjagin类 p(X)＝1＋p₁(X)＋p₂(X)＋· · · 是由表达式
∞
∑ (1＋y²ᵢ)定义的。
ᵢ₌₁
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