伽利略悖论

Galileo's Paradox

正整数的数量同平方数的数量是相同的吗？

首先，一些数字是平方数，比如10以内有1、4、9，它们分别是1、2、3的平方；而另一些是非平方数，比如10以内有2、3、5、6、7、8、10。因此，包括平方数和非平方数在内的所有的正整数的数量一定比平方数的数量大。然而，对应每一个平方数，都有一个正整数是它的平方根；对应每一个正整数，都有一个平方数。因此，两者是一样多的，不可能有任何一类多于另一类。

伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）在《关于两门新科学的对话》一书中这样描述这个悖论：

辛普利西奥：这里出现了一个在我看来无法解决的困难。因为很明显，我们可能有一条线比另一条线长，每一条线包含无穷多个点，我们不得不承认，在同一类中，我们可能有大于无穷多的点，因为长线中的无穷多的点大于短线中的无穷多的点。给一个无限大的量赋一个大于无穷大的值，这完全超出了我的理解范围。

萨尔维亚提：这是当我们试图用有限的思维去讨论无限，并赋予无限那些我们赋予有限和有限事物的性质时所遇到的困难之一。但我认为这是错误的，因为我们不能把无限大说成是大于或小于或等于另一个量。为了证明这一点，我心中有一个论点，为了清楚起见，我将以问题的形式向提出这个难题的辛普利西奥提出。

我想当然地认为你知道哪些数字是平方数，哪些不是。

辛普利西奥：我很清楚，平方数是由另一个数与其自身相乘而得到的。因此，4、9等都是平方数，由2、3等与其自身相乘而来。

萨尔维亚提：很好；你们也知道，正如乘积被称为平方数，因子被称为平方根；另一方面，那些不是由两个相等因子组成的数就不是平方数。因此，如果我断言包括平方数和非平方数在内的所有的数字比单独的平方数大，我就说了真话，不是吗？

辛普利西奥：当然。

萨尔维亚提：如果我进一步问有多少个平方数，你可能会回答说，和相应数量的平方根一样多，因为每个平方数都有自己的平方根，每个平方根都有自己的平方数，而没有一个平方数有一个以上的平方根，也没有一个平方根有超过一个的平方数。

辛普利西奥：正是如此。

萨尔维亚蒂：但如果我进一步问有多少平方数，你可能会正确地回答跟相对应的平方根一样多，因为每个数字都是某个平方数的平方根。既然如此，我们就必须说有多少数字就有多少平方数，因为数字和平方根一样多，而所有的数字都是平方根。然而，我们在一开始就说过，数字要比平方数多得多，因为其中较大的部分不是平方数。不仅如此，当我们计算到更大的数时，平方数的比例也会减少。因此，到100，我们有10个平方数，也就是说，平方数占所有数的1/10；直到10000，我们发现只有1/100的部分是平方数；而到一百万的时候只有千分之一；另一方面，在无限的数中，如果有人能想象出这样一种东西，他就不得不承认，有多少平方数就有多少数字。

萨格雷多：在这种情况下，我们必须得出什么结论？

萨尔维亚蒂：就我看来，我们只能推断所有数字的总和是无限的，它们的平方数是无限的，它们的平方根数也是无限的；平方数既不小于所有数的总和，后者也不大于前者；最后，“相等”“更大”和“更小”这些属性并不适用于无穷大，而只适用于有限的量。因此，当辛普利西奥介绍了几条长短不同的线，问我为什么较长的线所含的点并不比较短的多，我回答他说，一条线所含的点并不比另一条多或少，也不是一样多，而是每条线所含的点是无限的。

破解

这是一个由无穷导致的悖论。

造成悖论的原因是假设无穷大为确定的数字并将两个无穷大比较大小。一个数字既然是无穷大，那就没有比它更大的数字了；另一个数字也是无穷大，也没有比它更大的数字。两者无法比较，两者的比较是与无穷大的这种定义矛盾的。那么，就像在“以子之矛陷子之盾”的故事中得出的结论一样，这两个数字不可能同时存在。

在这一个悖论中全部的讨论都仅限于抽象的数学讨论，并未涉及现实世界，所以对无穷大的存在的假设是没有问题的。伽利略敏锐地指出，无穷大和无穷大之间并不能进行比较，所以相等、更大和更小这些属性不能适用于无穷大和无穷大之间的比较。无穷大与无穷大比较大小是没有意义的。无穷大的这种定义决定了不存在一个比它更大的数字，也不存在跟它一样大的数字，甚至也不存在比它小一定量的数字。假如存在这样的数字，那它就不是无穷大了。所以，假如有两个无穷大的数字，而其中一个比另一个更大或者两个一样大，那么它们不可能同时都是无穷大的。所以，假如将无穷大定义为一个没有比它更大的数字的数字，伽利略的这种论述是完全正确的和独到的。伽利略的解释可能已经是这种无穷大定义下最好的解释了。

然而，与其将无穷大当作数字，又赋予它很多与一般数字不同的性质，并且不时遭遇悖论，不如否认无穷大是数字，相反地将无穷大定义为一种数字的性质。我们可以定义：

无穷大是指未知数字的一种性质，即大于任何一个给定的数字的性质。无穷大是一类而非一个数字。

这样，我们说正整数有无穷多个时，不是表示正整数的数量是一个特定的极其大的数字以至于没有其他任何数字能够超过它，而是表示正整数的数量是一个未知数，但这个数是无穷大的，或者说具有无穷大的性质，或者说具有大于任何一个给定的数字的性质。

在我们如此定义无穷大后，让我们再来讨论伽利略悖论。正整数的数量是无穷大的，平方数的数量也是无穷大的。正整数的数量减去平方数的数量后的差大于零。（这个差就是全部非平方数的数量，它也是无穷大的，但为了比较大小的目的，我们不关心它是不是无穷大的，而只关心它是不是大于零。）前者减去后者的差是大于零的，就表示前者大于后者。所以，正整数的数量大于平方数的数量。

那么，比较数量的大小是否一定要逐个一一对应呢？恐怕不需要。比如，我们要比较这两个数字的大小：

890898955345330890890435，890849843498535389983435。

我们做个减法就可以了。假如手头没有计算器或者位数太多的话，我们首先数位数，位数多的更大；如果位数一样，看最前面位的数字，数字大的更大；假如还一样，则继续逐个比较后面一位的数字直至分出大小。假如最终也没分出大小，则两个数字一样大。我敢保证结果同用减法是一样的。一一对应的方法要求我们怎么做呢？两个数字分别不断减1，直到其中一个为零？但是这样做同用前一个数字减去后一个数字看是否大于零还是一样的。减法就是一种一一对应的比较方法，但它把同样的数量只做一次一一对应的比较。所以，正整数的数量与平方数的数量做比较时，先把正整数分为平方数与非平方数，全部平方数作为一个集合与全部平方数的集合对应，正整数那边还剩下非平方数，平方数这边什么也没有了。因此，正整数的数量大于平方数的数量。

但是假如有人坚持必须一个数字一个数字地一一对应地比较呢？每当你举出一个正整数，他就能举出一个平方数。你永远没法举出一个正整数使得他无法举出一个对应的平方数。所以他宣称正整数和平方数是一样多的。对于那些认为一个正整数对应一个平方数地比较多少，永远也比不完，因此两者不能比较多少的人，他也可以模仿芝诺用这样一种一一对应的比较方法来比较数字1和2：两个数字分别各减1/2，再各减1/4，再各减1/8……以此类推。最后他可以宣称两个数字都减不完，因此2和3是不能比较大小的。

我来讲一个故事：从前有一个生活拮据的人，他声称当地的大财主的粮食也不比他多。财主说，我的仓库里有一万石大米，你家有几石呢？他说，“每石大米里的米粒又不是一样多，怎么能比呢？咱们一粒一粒比……”

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