贝尔定理

1964年，物理学家约翰-斯图尔特-贝尔发表了一篇题为 "论爱因斯坦-波多尔斯基-罗森实验（On the Einstein-Podolsky-Rosen Experiment）"的文章，引用了普林斯顿高等研究所的三位伟人，即阿尔伯特-爱因斯坦、内森-罗森和鲍里斯-波多尔斯基发现的一个明显悖论。

这个悖论被称为 "爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬（EPR Paradox）"，否定了量子力学的不确定性。那么，这个悖论的具体内容是什么？贝尔定理是如何解决这个问题的？

爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬

1935年，《物理评论》杂志上发表了一篇论文，题目是 "量子力学对物理现实的描述可以被认为是完整的吗？这篇由阿尔伯特-爱因斯坦、鲍里斯-波多尔斯基和内森-罗森共同撰写的论文，提出了一个著名的悖论，现在被称为爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬（EPR悖论）。

该论文认为，当时现有的量子力学理论和数学框架是不完整的，因为它与现实相矛盾。用该论文中的话来说：要么（1）量子力学中的波函数对现实的描述是不完整的，要么（2）两个量子算子不可能同时存在。

EPR悖论通过一个纠缠的思想实验来说明 "量子理论的不完全性"（尽管原论文没有明确谈到这一点）。它的内容如下：让我们假设有一对量子粒子，例如电子。我们对这对电子进行一些相互作用，从而使它们成为纠缠对。在不测量这两个状态中的任何一个的情况下，我们把它们传送到非常远的距离上，比如说穿越银河系。为了实验的简单性，我们假设这种传送是完美的，并且没有与我们最初拥有的任何一个量子态发生相互作用。因此，纠缠被保留了下来。量子力学说，当我们测量其中一个状态时，我们会瞬间知道另一个物体的状态。这篇文章的作者用这个事实来强调 "不完整的量子图景"。他们认为，这种信息一定是不正确的，因为它违反了自然界的一个基本定律：光速！

狭义相对论证明，光速是宇宙的终极速度。宇宙中任何物体/信息的速度都不能超过299，792，458米/秒。因此，如果两个物体在时空中交换信息，它们一定不会突破这个速度障碍。但是，如果两个相隔银河宽度的物体在瞬间相互作用，"他们违反了自然界的基本规律"，正如这篇著名论文的作者所认为的那样。

顺便提一下，原始论文通过考虑两个相互非交换的量子算子，在数学上建立了对现实的不完全描述，例如A和B（非交换的的意思是AB≠BA）进行了说明，表明它们在概率上互不相容，并由此得出了对现实的不完整描述的结论。

另一种思考方式是，如果你有两个各方面都相同的陀螺，在没有看到任何一个的情况下，把其中一个拿走，打开盒子，看到陀螺的颜色，比如说红色，马上就知道另一个陀螺的颜色是红色。这正是所谓的隐变量方法，即量子状态已经事先确定，剩下的就是测量量子状态。但是，我们很快就会看到，这不是自然界的运作方式!

实际上，一个更好的比喻是：想象两个陀螺（类似于量子态）并排旋转；让它们突然以弹性方式相互碰撞（类似于量子相互作用，这样，现在两个陀螺的动量是相互纠缠的）。一旦它们相撞，我们立即将其中一个传送到银河系的之外。纠缠的意思是，如果我们看到其中一个陀螺沿着比如说北南轴线静止，（头部指向北方，尾部指向南方），那么这将证明另一个陀螺将指向南北轴线，即头部指向南方，尾部指向北方的事实。

前面讨论的那篇论文的作者主张采用隐变量法。他们反对量子力学的概率效应以及纠缠，特别是在非常远的距离上。这种方法被大卫玻姆正式化为一个完整的理论，因此也被称为玻姆理论。

约翰-斯图尔特-贝尔（John Stewart Bell）在1964年为隐藏变量理论的讨论提供了一个可能的解，被称为贝尔不等式。

贝尔不等式

贝尔不等式主要通过两个例子进行说明：光的偏振和电子的自旋。我们在这里将主要关注电子自旋的问题。

因此，让我们想象一下，100个单线态电子对，以某种方式在两个相反的方向旅行，没有任何相互作用。通过它们的单线态配对，它们的自旋已经反纠缠在一起，如果一对电子中的一个电子的自旋是顺时针的，那么另一个的自旋就会变成逆时针的，反之亦然。

现在，让这100个自旋 "向上"/顺时针的电子与另外100个电子（自旋 "向下"/逆时针）相距甚远，这样，两个相互纠缠的电子就不能在合理的时间内交换信息，尽管它们是量子纠缠的。让我们试着给电子分配一个真实的隐藏变量λ，它定义了沿水平轴或垂直轴测量电子的偏置。让自旋向上的电子属于爱丽丝，自旋向下的电子属于鲍勃（一种命名惯例）。

爱丽丝和鲍勃，现在用S-G磁铁对电子的两种自旋状态进行合理的测量，并使其相互间的倾斜度成反比。现在，我们遵循三种不同的情况。

1. S-G磁铁是完全反向倾斜的；这意味着两个纠缠的电子会得到相同的结果（因为它们的自旋是反向排列的）。因此，100%的电子将给出相同的结果。因此，所有200个（或100对）电子的结果都是一样的。

2. 现在，让我们把一个SG磁铁的方向稍微偏离另一个（比如说δ=θ°）；因此，对水平方向有强烈偏向的电子将显示出不同的结果。在这种情况下，假设不同结果的电子数量为N_1。(即使我们将另一块SG磁铁的方向定为δ=θ°，保持这块SG磁铁的δ=0，显示出不同结果的电子数N_2也是一样的，因为SG磁铁之间的相对角度很重要，而不是绝对角度，因此N_1=N_2）。)

3. 现在，让我们把两个SG磁铁的方向定为δ_1=θ°，但是方向相反；这意味着，按照惯例，磁铁-1的δ_1=θ°，而磁铁-2的δ_2=-θ°。因此，两个SG磁铁之间的相对角度将是δ=δ_1-δ_2=2θ°。因此，与我们的隐藏变量λ相对应，产生不同结果的电子数量N不应该大于（N_1+N_2=）2N_1。

但是，这个数字并不符合量子力学的预测。根据量子力学的计算，经过适当的近似，N_1（=N_2）这个数字应该等于θ^2/4。而N=（2θ）^2/4=4θ^2/4=4N_1。但这与我们之前的结果相矛盾。这一矛盾使得量子力学中不存在实的局部隐变量。

简而言之，这就是贝尔定理。在数学上，这以不等式的形式表现出来，在原论文中为：

|P(α，b) – P(α，c)| ≤ 1＋P(b，c)

现实主义：认为自然界的存在独立于是否有人在见证它。

局部性：一个图像只受其周围环境的直接影响的原则，换句话说，没有任何信息或原因可以比光速更快传输。

尽管我们已经否定了量子力学中真实的、局部的性变量的存在，但现在许多物理学家准备牺牲局部性的条件来支持隐变量理论，包括约翰-斯图尔特-贝尔等人。尽管许多实验证实了真实的、局部的变量并不存在，但这些实验中存在许多漏洞，其结果是任何隐变量的不存在还有待证明或检验。玻姆力学提供了一个完整的解释，基于非局部隐变量的假定存在。

贝尔的不等式导致了另一个强大的假说，即贝尔自己提出的超决定论，根据这个假说，所有的东西，实际上所有的东西都是预先决定的。

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