范畴逻辑（四）

Grothendieck 利用概形 [scheme] 的语言为现代的代数几何奠定了基础。其中最为基本的结果便是仿射概形 [affine scheme] 和交换环 [commutative ring] 之间的对偶 [duality]。具体的细节读者不用理解，但直观上，对于任何一个交换环R ，一个代数结构，我们可以对应的引入某种空间 Spec(R) （称为 R 的谱 [spectrum]，这样的谱称为仿射概形 [affine scheme]），一个几何结构，使得交换环这个范畴 CRing 和这些几何结构所构成的范畴 Aff 有如下对偶：

CRingᵒᵖ≅Aff，(1)

即交换环范畴CRing 的对偶范畴和仿射概形范畴 Aff 是等价的。这里，对于任意一个范畴 C ，我们可以形式地逆转 C 中所有态射的方向使得其形成一个新的范畴 Cᵒᵖ ；即 Cᵒᵖ 有和 C 一样的物体，但对于任意两个物体 A，B ，在 Cᵒᵖ 中存在一个态射 f：A → B 当且仅当 f 在 C 中是 B 到 A 中的一个态射。如果我们将 (1) 中的对偶概念化，在代数几何中我们常常会说某些几何结构和某些代数结构是对偶的，即我们有

Algebraᵒᵖ≅Geometry.(2)

如果用一句话总结，代数几何就是在研究一般的代数结构和几何结构之间的对偶。（这里值得一题的是，在我们有范畴的语言之前我们可能只有非常少的关于对偶的数学例子；但在范畴论的语言发展之后，每一个范畴都有其对偶范畴。范畴这个概念自身的这种“对称性”对范畴论的理论发展起到了非常重要的作用。）

令人惊讶的是，这个现代代数几何深刻的洞察同样适用于数理逻辑。注意，我们这里仍然在模型的层面上探讨逻辑，即拥有相同模型的逻辑我们便认为它们是等价的，并不加以区分；关于这一点更加详细的讨论详见我们之前文章 范畴逻辑 I——逻辑与数学结构的对应 的第一节。我们可以粗略地将逻辑中的语形 [syntax] 类比于代数，语义 [semantics] 类比于几何，则和 (2) 完全类似的，我们在观念层面有着如下的对偶：

Syntaxᵒᵖ≅Semantics.(3)

从某种意义上来讲，数理逻辑就是在研究这样的对偶！

为什么要关系语形和语义的对偶？从观念的角度来讲，既然我们只在模型的角度关心逻辑系统，我们一个很自然的问题便是：如果我们有了一个逻辑系统的所有模型的信息，我们能否在这个等价的意义上重构出我们原本的逻辑系统的信息？而在不同语境下语形和语义对偶的例子便均对这个问题产生了肯定的答案。

Stone 对偶

同样，我们为了理解清楚关于语形和语义对偶的观念而不至于太技术化，我们仍然从经典命题逻辑 [classical propositional logic] 入手，介绍与此相关的经典理论 Stone 对偶 [Stone duality]。在上一篇文章中我们提到了如果我们在模型的层面上看待逻辑，则我们可以将任意一个抽象的布尔代数 [Boolean algebra]B 看作是一个逻辑系统：任意一个经典命题逻辑系统 ℙ 都诱导 Lindenbaum-Tarski 代数（简称为 LT 代数） Bℙ，它是一个布尔代数；而任意一个布尔代数 B 我们我们都有一个对应的命题系统 ℙʙ 来描述其结构，使得 ℙʙ 所对应的 LT 代数 Bℙʙ 和 B 是同构的；详细地描述参见上一篇文章。任意一个经典命题系统 ℙ 都可以看作是其对应的 LT 代数结构 Bℙ 的一个表示；因此，我们可以将任意一个布尔代数 B 看成与表示方式无关的逻辑语形的对应物。在此之后，我们便简单地将 B 称为一个经典命题逻辑系统，而更少地关心我们如何用一个具体的系统 ℙ 对其进行表示。

给定任意一个命题逻辑B ，在上篇文章中我们同样提到了其经典意义下的一个模型便是一个从 B 到 2 的一个代数同态， 2 可以被理解为我们的真值集合 {0，1} ，它上面的布尔代数结构与我们一般对真值的计算是一致。换而言之，我们有如下的等价：

Mod(B)≅Bool(B，2).(4)

(4) 式连接起了一个逻辑和数学对同一个事物的解读：在左边，我们有一个逻辑的一个模型；在右边，我们有从B 到 2 的所有代数同态。值得注意的是，如果我们采用逻辑的解读，我们最为关心的两个问题便是我们定义的模型类的可靠性 [soundness] 和完全性 [completeness]。由于我们已经把模型看作了代数同态，可靠性是自明的。更难以建立的是完全性的结论。对于一个经典命题系统 ℙ ，命题逻辑的完全性定理说的是对于任意的公式 φ ，其在 ℙ 中可证明当且仅当在所有的模型中其都为真。如果我们把我们允许的模型类扩大到所有的布尔代数并且采取代数语义，完全性是一个微不足道的结论，正是因为我们在布尔代数有中对任意一个命题系统的 LT 代数构造。然而，当我们把模型局限在经典模型，即我们只考虑从 B 到 2 的代数同态时，完全性定理则并不是一个显然的结论。

让我们从 (4) 式的角度来重新理解一下完全性定理。当我们把任意一个抽象的布尔代数B 看作一个命题系统时， B 中的元素则可以等价地看作是公式的证明等价类 [provably equivalent class]。完全性定理则等价的说，对于任意 p，q∈B ， p，q 代表着同一个公式等价类，即 p＝q ，当且仅当在所有的模型中 p，q 的赋值均相等。取换质换位 [contraposition]，我们则等价的有如果 p，q∈B 是两个不同的元素，则必定存在代数同态 f：B → 2 使得 p，q 的值在 f 下不同。用更加数学化的语言表达，完全性定理则表明我们如下的态射是一个嵌入 [embedding]：

〈f〉f∈Mod(B)：B → 2ᴹᵒᵈ⁽ᴮ⁾.(5)

这就是经典意义上的 Stone 表示定理 [Stone Representation Theorem]，即任何一个布尔代数都是一个集合的幂集代数的子代数。

在引入范畴的语言之后我们可以将上面的 Stone 表示定理扩展为更加一般的 Stone 对偶 [Stone Duality]（关于 Stone 对偶的详细论述可以参见 Johnstone 的书[1]）。这个对偶定理的关键在于我们可以在所有 B 的模型的集合 Mod(B) 上赋予一个拓扑，使得赋予了这个拓扑之后我们能根据这个空间的性质恢复出原本的布尔代数 B 。我们赋予的这个拓扑和 Zariski 拓扑类似，其上定义的开集均形如：

{f∈Mod(B)│f(p)＝1}，for some p∈B.(6)

如果我们采用更加逻辑的观点，将B 看作是命题系统 ℙ 对应的 LT 代数，则我们可以等价地写成

{f∈Mod(B)│f╞ φ}，for some φ in the language of ℙ. (7)

形如这样的拓扑空间被称为 Stone 空间。如上的构造使得我们有一个从布尔代数到 Stone 空间的逆变函子 [contravariant functor]：

Mod：Boolᵒᵖ≅Stone.(8)

著名的 Stone 对偶定理便是说，上面构造的函子实际上构成了两个范畴间的等价，而 (5) 式中的表示定理则是这个对偶的一个简单推论。因此，Stone 对偶在某种程度上是经典命题逻辑完全性背后的更加深刻的数学基石。

让我们回过头来看看这样的对偶如何实现了我们在文章开头所说的语形和语义间的对偶。首先，在语形的层面我们将拥有相同模型的逻辑系统均看作是等价的了；在这个等价的意义上我们有了逻辑语形的代数化表达，即我们将一个逻辑系统等价成了一个抽象的布尔代数，且逻辑系统的模型同样通过代数同态来表达。而在语义的层面我们注意到，B 的所有模型 Mod(B) 不单单是一个集合，其上有一个自然的拓扑结构使得其上具有了几何信息。更加美妙的是，由 (6) 式可见这个几何信息是和我们的逻辑语形紧密相关的！在这个几何信息的帮助下，我们能够从所有模型构成的空间中恢复出原本的代数语形结构；这便是 (8) 式对偶告诉我们的深刻结果。

一阶逻辑

如何把命题逻辑中语形与语义的对偶推广到一阶逻辑的情形？这个问题目前还不能说有了一个非常清晰明确和统一的答案。首先，如我们前一篇最后所提到的，在一阶逻辑中不同的片段对应着不同的范畴结构，目前而言对一些片段我们已经有了类似的对偶定理。比如对于等式逻辑 [equational logic]，我们有类似的 Lawvere 对偶[2][3]；对于笛卡尔逻辑 [Cartesian logic]，我们有 Gabriel-Ulmer 对偶[4]；对于正规逻辑 [regular logic] 我们有 Makkai 对偶[5]等等。对于等号可判定 [decidable equality] 的连贯逻辑 [coherent logic] Awodey 和 Forssell 在[6]中也提到了其对应的表示定理。对于更一般的经典一阶逻辑的对偶，可以参考 Makkai 的[7]和 Awodey 的综述[8]。

从技术的角度来说，一阶逻辑的各个片段的对偶在数学上会更加复杂的其中一个原因是因为我们对应考虑的范畴阶数上了一个层次。在上一篇文章中我们提到过，命题逻辑可以看作是 0-阶范畴的对应，而描述其性质则需要用 1-阶范畴的语言，因此相对简单；而一阶逻辑则对应着 1-阶范畴，因此想要原原本本地描述其性质我们需要某种 2-阶范畴的语言，或者采用类似层 [sheaf] 或者堆 [stack] 的语言来表述。假设我们有一个一般的一阶逻辑系统𝕋 ，其对应了一个语形范畴 C𝕋 其一般意义上的所有模型应该是所有某一类从 C𝕋 到 Set 的函子所对应的范畴

Mod(𝕋)≅[C𝕋，Set]ᴄ，(9)

其中小写的角标c 表示满足某种条件的函子。此时， 𝕋 的模型的信息不仅是一个简单的集合（其实在命题逻辑的情形也不只是一个简单的集合而有一个序，但这个序的信息已经完全被包含在拓扑的特化序 [specialisation order] 中了），而是还包含模型之间的态射信息。此时，不像命题逻辑在 Mod(B) 上赋予一个拓扑我们便可以重构出 B 的信息，在一阶的情况下显然仅仅考虑拓扑的信息已经不足以构建语形和语义之间的对偶了。

其他的许多对偶也有类似的情形。如果大家熟悉交换环的仿射概形的构造，一个交换环R 的仿射概形不仅仅包含了一个拓扑空间 Spec(R) ，称为 R 的谱，在这个空间上还有一个交换环层 [sheaf of rings] 使得 Spec(R) 变成了一个赋环空间 [ringed space]。换而言之，单纯的一个拓扑空间结构并不足以重构还原出一个交换环所拥有的全部信息形成一个对偶，我们需要这个空间上更多的层 [sheaf] 的结构。这也是为何层论 [sheaf theory] 在现代代数几何中非常有重要的地位。

回到我们一阶的情形，面对Mod(𝕋) 这样的一个范畴对象在已有的文献中有不同的近路在其上赋予更多的结构使得我们能够还原出 C𝕋 的信息，构成语形与语义的对偶。Makkai 在[9]中在这个范畴上定义了超积 [ultra-product] 的结构使得其成为一个超范畴 [ultra-category]；使用这一套语言，Makkai 重构了经典一阶逻辑语形和语义之间的对偶。此后 Lurie 改进了 Makkai 原本对超范畴的定义得到了更加简洁的证明一阶逻辑语形与语义对偶的结论，可参见 Lurie 主页上的讲义 Ultracategories。

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