数学联邦政治世界观
超小超大

数学问题

当x-0时,与X^2为同阶无穷小的是什么

我们需要分析每个选项在x趋向于0时的行为,并确定哪个选项与x²具有相同的阶数。

(A)1-cos2x 我们知道,当x趋向于0时,cos(x)趋向于1。因此,1-cos2x趋向于1-1=0。此外,我们可以使用泰勒展开来近似cos(x),得到cos(x) ≈ 1 - x²/2。因此,1-cos2x ≈ 1 - (1 - (2x)²/2) = 2x²。所以,1-cos2x是x²的同阶无穷小。

(B)x²sinx 当x趋向于0时,sin(x)趋向于0,但它的阶数是1,因为它的一阶导数在x=0处不为0。因此,x²sinx的阶数是2,但它不是x²的同阶无穷小,因为x²sinx的阶数实际上是x³的阶数。

(C)√1+x-1 我们可以使用泰勒展开来近似√1+x,得到√1+x ≈ 1 + x/2。因此,√1+x-1 ≈ x/2。所以,√1+x-1是x的同阶无穷小,而不是x²的同阶无穷小。

(D)1-cosx 我们已经知道,1-cosx ≈ x²/2,这是x²的同阶无穷小。

综上所述,选项(A)1-cos2x和选项(D)1-cosx都是x²的同阶无穷小。然而,题目可能存在误差,因为通常情况下,多项选择题的答案应该是唯一的。如果题目没有误差,那么(A)和(D)都是正确答案。如果必须选择一个,我们可以根据泰勒展开的精确度来决定,因为1-cos2x的泰勒展开给出了更精确的2x²,而1-cosx的泰勒展开给出了x²/2。因此,我们可以选择(A)作为更精确的答案。

最终答案:(A)1-cos2x。

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