数学（一）

阶对阶基数(公理|3丨0)

基数λ是阶到阶的，当且仅当满足一下性质：

|3 存在非平凡初等嵌入，j:V_λ→V_λ

|2 存在非平凡初等嵌入j:V→M，满足V_λ⊂M且λ是最小的＞crit(j)固定点，j(λ)=λ

|1 存在非平凡初等嵌入j:V_(λ+1)→V_(λ+1)

I0 存在非平凡初等嵌入j:L_(V_(λ+1))→L_(V_(λ+1))且crit(j)＜λ

阶到阶中的阶是指冯·诺依曼层谱的阶。

0#

0#可以被理解为一个实数，它编码了构造非平凡初等嵌入 j：L→L 的信息，因此，0♯存在也可以被理解为一个大基数性质。

所以，覆盖引理可以理解为：如果不存在大基数，那么 L 就与 V 很接近。

一个内模型满足一定形式的覆盖性质可以被理解为它在某种意义上是不具有某些更强大基数性质的极大的模型，这种内模型往往通过取一系列内模型的极限来获得并被称作核心模型 （core model）。

覆盖性质作为一种反大基数原则可以用来证明某些命题与某个大基数性质是等一致的，从而可以将更多独立性命题的证明论强度嵌入大基数序列的线性结构，强化大基数层谱作为ZFC典范扩张的地位。

能够构造包含某种大基数的满足覆盖性质的内模型相当于为该大基数假设的正当性提供了很强的证据。

Chang氏模型C

C.C.Chang仿照Gödel的可构造模型L的定义方式，利用可数无穷长语句L_(ω₁,ω₁)定义了ω₁-可构造模型。

C是ZF的传递类模型，在可数序列下封闭（C的可数子集依然是C的元素）；且C具有ω-绝对性，即如果M是一个传递类模型且M在可数序列下封闭，则(C)ᴹ=C。

L的许多性质可以推广到C上。

C不一定满足选择公理，然而C满足选择公理是协调的。

巨大基数

巨大基数：随着初等嵌入的频繁使用，定义出了越来越多的大基数，我们逐渐走入了不协调的边缘。

设n∈ω，k称为n-巨大基数等价于存在初等嵌入j:V→M，以k为最小的被移动序数是的ᵏM⊆M，k是巨大的等价于k是1-巨大的。

显然，若k是0-巨大的，则k是可测的。

k是n-巨大的等价于在某个P(λ)上存在k-完全正规超滤U和基数序列k=λ₀＜……＜λ_n=λ，使得每个i＜n，|X⊆λ|X∩λ_(i+1)=λ_i|∈U。

若k是巨大的，则存在k上的正规超滤使得当〈M_α| α＜k〉为自然序列时，存在Y∈U，使得α, β∈Y推出存在以α为最小被移动序数的初等嵌入M_α→M_β。

若j:V→M为初等嵌入，k为其最小的被移动序数，则P(k_ω)∈M；因此我们无法定义K_ω巨大基数。

脱殊集合

对于任意有穷集合x⊂ω，存在脱殊集合y，使得x⊂y

脱殊集合y的每一ZF可定义的子集合都是有穷的

每一个脱殊集合都是无穷的

每一个脱殊集合都是ZF不可定义的

若x是M中ω的一个无穷子集合，y⊂ω是一个脱殊集合，则有：x∩y仍为无穷集合；x⊄y；ω∸x无穷，可获得y⊄x；x∸y，仍为一无穷集合

若y₁，y₂为两不同脱殊集合，则有：y₁⊄y₂且y₂⊄y₂；y₁∩y₂为无穷集合；y₁∸y₂与y₂∸y₁皆为无穷集合

区间[0,1]的脱殊数是稠密的。

内/外模型

内模型：集合论相容性证明基本法之一。设∑₁，∑₂为集合论语言的两个公式集，M为∑₁中的一个模型，若存在公式A(x)，使得N={x|x∈M, A(x)}为∑₂中的模型，则称N为M的内模型。假定∑₁相容且已知∑₁有模型M，若能在∑₁下证明存在M的一个内模型N，使N为∑₂的模型，则证明了∑₂对于∑₁的相容性。

外模型：集合论相容性与独立性证明的主要方法之一。设∑₁，∑₂为集合论语言中的两个公式集，M为∑₁的一个模型，若N⊇M，N≠M，且N为∑₂的模型，则称N为M的一个外模型。

极小模型：若M为ZF系统的一个可传模型，且为ZF系统的所有可传模型的子模型，则称M为ZF系统的极小模型。可构造全域L为ZF系统的极小真类模型。

分化性质

无穷组合论中的刻画基数大小的基本性质，设k、λ都是基数，n是自然数，m是有穷/无穷基数，如果把k的n元子集的集合[k]ⁿ={A⊆k| |A| = n}任意划分为m块，至少有一个基数为λ的子集H⊆k，使得[H]ⁿ中的元素全能落入所划分的同一块中，则说明这些基数之间存在分化性质k→(λ)ⁿ_m。而分化性质则是鸽笼原理的直接推广（鸽笼原理：m个物体放入n个盒子里，在n＜m时，必有一个盒子中有两件物品，即m→(2)¹_n）

基数ℵ₀的分划性质为：ℵ₀→(ℵ₀)²₂，而大于等于3的自然数m不具有m→(m)²₂的分划性质；而且大于ℵ₀的基数也不具有这种性质。由2^ℵ₀/(ℵ₁)²₂，可由定义得知当k/(λ)ⁿ_m及k₁ ≤ k时，必有k₁/(λ)ⁿ_m。而ℵ₁≤2^ℵ₀，所以ℵ₁/(ℵ₁)²₂。

而具有k→(k)²₂分划性质的不可数基数被称为弱紧基数，该基数的存在在ZFC系统中无法证明。

利用该性质，我们可以构造出更多的基数，如：

α是正则基数，当且仅当∀β＜α[α→(α)¹_β]

k是弱不可达基数，当且仅当k＞ω且∀γ＜k[k→(k)¹_γ⁺]

k是强不可达基数，当且仅当k＞ω且∀γ＜k[k→(k)¹_(2^λ)]

k是不可表达基数，当且仅当k＞且k→(驻集)²₂

第五个性质是指，如果把k的2元子集任意分为2块，必可找到k的一个基数为k的驻子集H，使得H的所有2元子集都落入同一块中。k是拉姆齐基数，当且仅当k→(k)^(＜ω)₂（此处的下标2与上标无关）。这个意味把k的有限子集的集[k]^(＜ω)={A| A⊆k且A是有限集}分成两类，必有k的子集H⊆k，使得H的所有子集皆被分到同一类中。

驻子集

序数组成的一种集合。若对于序数类Ω的每个闭无界子集B，都有A∩B≠∅，则称Ω的子集A为Ω的驻子集。驻子集的基数与原有序数类Ω的基数相等

可构造哥德尔宇宙/模型L

可构造性

Gödel在证明选择公理相对于ZF系统以及CH相对于ZFC系统的相容性时提出。

在ZFC系统中，似乎所有集合都可以通过累积分层的方法从∅开始，通过幂集运算构造出来。

即：令R(0)=0, R(α+1)=P(R(α))。当α为极限序数时，R(α)=∪R(β)（β＜α），则V=∪R(β)（β∈On），此处On所有序数构成的类。

这种过程只说明了V的构造过程，并不是说V中的任何元素都是这样构造出来的。

ZFC只提供一种框架，不提供构造框架中元素的方法。

这导致人们只能说明，任何x的所有子集可构成一个集合P(x)，但P(x)中包含了哪些元素，却无从得知。

为了解决这些问题，Gödel利用“可定义幂集”取代幂集。

所谓一个集合x的可定义幂集def(x)，指包含能用集合论语言定义出的所有x的子集，因此一旦x已知，则def(x)中的每一个元素也可以描述。

令L(0)=0, L(α+1)=def(L(α)), 当α为极限序数时，L(α)=∪L(β)（β＜α）。

称{L(α):α∈On}为集合的可构造分层，再令L=∪L(α)（α∈On）称L为可构造集全域，L中的元素称为可构造集。

可构造集一定为集合，问题：是否每个集合都是可构造集，也即著名的V是否等于L。

V=L是可构造性公理，Gödel证明，V=L与ZFC系统相容，科恩用力迫法证明V≠L与ZFC体系也相容。

可构造全域

def(x)表示通过x及x的元素的运算进行有限次哥德尔运算，所能得到的x的全部子集，即：def(x)=cl(x∪{x})∩P(x)，其中cl(M)表示M的哥德尔闭包，称def(x)为x的可定义幂集。

对于任一序数α，递归定义集合L(α)的定义如上所述。

武丁基数

如果对于任意f:k→k，存在δ＜k，使得f在δ中封闭且存在j':V→M'满足crit(j')=δ且V_(j(f)(k)⊆M'，其中M'是传递的，则称k为武丁基数

谢拉赫基数

如果对于f:k→k'，存在j':V→M'使得crit(j)=k且V^j(f))(x)⊆M'，其中M'是传递的，则称k为谢拉赫基数。

超紧基数

M^λ⊆M，则称k为λ超紧基数；如果对于任意λ≥k，k为λ超紧基数，则称k为超紧基数。

超强基数

如果V_j(k)⊆M，则称k为超强基数

λ强基数

如果V_λ⊆M，则称k为λ强基数

可测基数

k是不可数基数，S上的滤子F是k完全的，当对每个基数λ＜k。

弱对所有α＜λ有X_α∈F，则∩_(α＜λ)X_α∈F。

一个不可数基数k被称为可测基数，如果k上存在一个非主k完全的超滤子。

可测基数的性质：每个可测基数都是强不可达的；k是可测基数，若T是高度为k的树，并且每个结点有小于k个后继，则T有一长度为k的分支；k是可测基数，则[k]²的每个划分有一个基数为k的齐次集。

滤子

特殊集合族，设S是非空集合，S上的滤子是由S的子集所组成的集族ℬ。

满足一下条件：S∈ℬ且∅∉ℬ；若X∈ℬ和Y∈ℬ，则X∩Y∈ℬ；若X∈ℬ且X⊆Y⊆S，则Y∈ℬ。

令A是S上的一个滤子，ℬ={X⊆S|X⊇A}，则ℬ是S上的一个滤子，并称其为S上的由A生成的主滤子。

正则基数

如果一正则基数，既是极限基数又是正则基数的不可数基数（不与自然数等势的基数就是不可数基数），那么就称它为弱不可达基数。

若ℵ_α为弱不可达基数，则cf(ℵ_α)=ℵ_α，且α是极限序数（非0且不是后继序数的序数），因为cf(ℵ_α)<α，ℵ_α≥α，所以ℵ_α=α。

极限基数

不可数基数，在超限基数的正则序列ℵ₁、ℵ₂、……、ℵ_α、……中，若序数α是极限序数，则ℵ_α就是极限基数。

另外每一个超限基数都是一极限序数。

强极限基数

特殊的极限基数，如果无穷基数ℵ_α，对所有β＜α都有2^β＜ℵ_α，则称ℵ_α是强极限基数。

强极限基数就是极限基数，但极限基数不是强极限基数；在GCH下，强极限基数与极限基数没什么区别。

在ZFC公理中，无法证明存在不可达基数，不可达基数的不可达性是由ℵ₀的“不可能从比它小的基数出发，使用集论运算达到”平凡推广而来。

强极限基数的性质：k是强极限基数，则对任何λ，ν＜k有λ^v＜k；k是强极限基数，则2^k=k^cf(k)；k是正则的强极限基数，则k^(＜k)=k，这里k^(＜k)=lim k^α（α→k）；k是奇异的强极限基数，则2^(＜k)=k，且k^(＜k)=k^cf(k)

共尾度

α是极限序数，使α是长度为θ的递增序数序列的极限的最小序数θ称为α的共尾度，记为cf(α)，即cfα=min{θ|存在递增θ序列〈α_ξ:ξ＜θ〉，且lim α_ξ = α (ξ→θ)}。

非极限序数的共尾度定义为：cf(0)=0，cfα⁺=1

序数共尾度的性质：对任何极限序数α，共尾度cf(α)是极限序数，并且cf(α)≤α，等号成立时α是基数；cf(cf(α))=cf(α)，且cf(α)是基数、对极限基数ℵ_α，有cf(ℵ_α)=cf(α)；若α是极限序数，α＞0，则：当A⊆α，sup A = α时，A的序型otp(A)≥cf(α)、若β₀≤β₁≤β₂≤……β_λ≤……（λ＜γ）是α内的不降γ序列，并且lim β_λ = α（λ→γ），则cf(γ)=cf(α)；对任何无穷基数α，有α＜α^cf(α)

奇异基数：若cf(ω_α)＜ω_α，则无穷基数ℵ_α称为奇异的

正则基数：若cf(ω_α)=ω_α，则称ℵ_α正则的。

所有后继基数都是正则基数，奇异基数都是极限基数；存在任意大的奇异基数。

Ω逻辑与ω逻辑

Ω-logic和ω-logic是同一个，Ω和ω在古希腊之中都是最后，极限的意思。

图灵机

通用图灵机的表现：ZFC+V-logic+IMH+sharp生成照样有模型，他的所有证明方式能被通用图灵机所演绎。

如果广义图灵论题成立，整个宇宙，整个多元宇宙，整个终极多元宇宙的所有存在能弄出的一切数学系统，逻辑系统，以及证明树的基数都是至多阿列夫零。

如果x能演绎y的任意一种证明方式，那么x强于y

一阶逻辑与二阶逻辑

一阶逻辑(first order logic, FOL)也叫一阶谓词演算，允许量化陈述的公式，是使用于数学、哲学、语言学及计算机科学中的一种形式系统。

一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。

性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。

逻辑程序的语言是一阶谓词演算的子集，因为它对许多任务有用。

一阶谓词演算可以看作是一种对逻辑程序的语言，它可以增加disjunction析取和显式量化。

一阶逻辑是一阶的，因为它允许对域内的个体进行量化。

一阶逻辑既不允许谓词为变量，也不允许对谓词进行量化。

二阶逻辑允许对一阶关系和谓词进行量化，其参数是一阶关系。这些都是二阶关系。

例如，二阶逻辑公式。

它定义二阶关系对称，如果其参数为对称关系，则为真。

一阶逻辑是递归可枚举的，这意味着会有一种完整的证明过程，在这个过程中，每一个真实的陈述都可以通过一个在图灵机上的证明程序来证明。

二级逻辑不是递归的可枚举的，因此不存在可以在图灵机器上实现的完整的证明过程。

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