数学多元论（二）

四 坍塌论证

本节将论证相对多元论可以坍塌到极端多元论， 我们称其为坍塌论证。

③ 让我们假设相对多元论正确， 即存在着绝对不可判定的命题， 比如CH和¬ CH的真值是不确定的， 因此存在ZFC∪ {CH} 与ZFC∪ {¬ CH} 刻画的宇宙VA 和VB 。

根据相对多元论的定义， 要表述VA 和VB 具有相同的本体 论地位， 我们必须固定作为背景的集合宇宙V， 即假设刻画V的集合论ZFC是一致的。

而如果ZFC 一致， 那么根据哥德尔不完全性定理， ZFC∪ {CONZFC } 和ZFC∪ {¬ CONZFC } 都是一致的 （其中 CONZFC 是通过哥德尔编码对 ZFC 一致性的形式化， ¬ CONZFC 表示 ZFC 是不一致的）。

如果 ZFC∪ {CONZFC } 和 ZFC∪ {¬ CONZFC } 都是一致的， 那么 （根据相对多元论） 它们都刻画了确定的柏拉图世界， 这些世界作为ZFC∪ {CONZFC } 和 ZFC∪ {¬ CONZFC } 的模型， 使得句子 “CONZFC ” 和 “¬ CONZFC ” 同时为真。

而如果句子 “¬ CONZFC ” 为真， 那么ZFC 不一致。 这与上述假设 （即ZFC 是一致的） 相矛盾。

因此， 相对多元论本身 “不一致”。

也就是说， 如果相对多元论正确， 那么ZFC将会同时一致与不一致： ZFC一致， 是由相对多元论的定义要求的， 我们必须固定作为背景的集合论的一致性， 否则无法表述多宇宙观； ZFC不一致， 是由相对多元论和哥德尔定理共同导致的。

因为哥德尔定理不容置疑， 根据归谬原则， 我们似乎只能 得出相对多元论是错误的。

为了避免这一致命性的挑战， 在笔者看来， 相对多元论者只能选择如下两种方案：

（1） 否认ZFC∪ {¬ CONZFC } 的一致性， 根据双重否定规则， 则ZFC∪ {CONZFC } 一致；

（2） 承认ZFC的一致性是不确定的。

① 方案 （1） 的问题：

第一， 否定ZFC∪ {¬ CONZFC } 一致这种做法是任意的、 无原则的；

第二， 因为只有在确保复杂度为∏0 1-的算术句子是可靠s ② 的， 我们才可以证明， 如果ZFC一致， ZFC∪ {CONZFC } 是一致的。

（参见Smith） 但要确保∏0 1-算术句子 （如 “CONZFC ”） 的可靠性s ， 多元论者只能从一阶逻辑上升到二阶逻辑。

现在的问题是， 如果多元论者可以通过二阶逻辑保证某个算术句子的可靠性s ， 为什么不直接选择二阶逻辑来确保CH的确定性？

根据准范畴性定理 （Quasi-Categoricity Theorem， 即对任何一个二阶理论T的两个模型M1 和M2 ， 或者M1 和M2 是同构的， 或者一个同构于 另一个的前段）， 所有满足CH的模型都是同构的， 所以CH的真值是确定的。

但是这似乎直接论证了多宇宙论方案即使不是错误的， 至少也是多余的， 因为大多数独立性问题都会在二阶逻辑中得到解决。

因此选择 （1） 的多元论者面临着如下两难困境： 一方面， 选择ZFC∪ {CONZFC } 一致这种做法 是任意的； 另一方面， 要避免任意性， 她似乎需要承诺二阶理论的 （准） 范畴性定理， 但选择后者 意味着对多宇宙论方案的抛弃。

方案 （2） 也存在两个问题。 第一， 承认ZFC的一致性不确定这种做法会违背哥德尔定理。

第二， 要挽救哥德尔定理， 相对多元论者可能的辩护如下： “ZFC为真 （或一致）” 无非表达了所有的 ZFC 定理是真的 （或一致的）。

而要保证全部ZFC的定理是真的， 相当于说ZFC所有的公理是真的， 且推理规则是保真的。 让我们将ZFC与其反映原理 （reflection principle， 即句子 “ZFC 的所有定理是 真的”） 构成的理论称作ZFCRP。

上述反映原理中的真谓词既可以是经典逻辑中的， 也可以是非经典逻辑中的。

使用经典逻辑的真谓词， 我们当然可以在ZFCRP中证明CONZFC ， 但是ZFCRP本身的一致性问题会重复出现， 上述反驳依然适用。

现在假设ZFCRP的真谓词是非经典意义上的， 根据对非经典真谓词的公理化， ZFC的不一致性是不确定的。

（参见Kripke； Field， 1994； Halbach）

因为ZFC 的一致 性具有不确定性， 要确保ZFC的一致性， 多元论者可以诉诸另一个数学系统T1 的一致性。

而要保证 T1 的一致性， 她只需诉诸T2 的一致性， 如此以至无穷。

但是通过这种方法， 相对多元论会走到极端 多元论。

综上所述， 通过走向极端多元论， 相对多元论可以避免其立场的不一致性。

但与此同时， 一致性P 会坍塌到一致性R 。

因此， 如果我们上一节的论证正确， 诉诸一致性R 会导致无穷后退， 那么诉诸 一致性P 也会陷入无穷后退。

如果一致性P 也不稳定， 那么贝纳塞拉夫问题依然没有得到有效的解决。

现在， 相对主义者可能反驳说： “你应该区分单个命题的一致性P 和一个系统 （如ZFC） 的一致性P ， 我承认我对ZFC的一致性P 概念会陷入一致性R ， 但是这并不适用于单个命题， 比如我可以一 致P 地相信1+1=2， 根据多元论， 这足以保证1+1=2对应于一个客观事实。”

在这个反驳中， 我们 注意到相对主义者使用了算子 “根据多元论”。

但是如果上述坍塌论证正确， 诉诸这个算子无非是诉 诸 “根据相对多元论”， 因此它等同于 “根据极端多元论”。

因此， 这个反驳的成立预设了某个数学 理论的一致性R ， 根据第三节的论证， 这个概念是不稳定的。

五 代数性多元论

在这一节， 我们考察多元论者可能选择的另一条出路———代数性多元论 （algebraic pluralism）。

我们将论证代数性多元论虽然可以防止无穷后退， 固定多元论的立场， 但代价是牺牲了多元论相对于传统一元论在认识论上的优势。

按照夏皮罗 （S. Shapiro） 的区分， 当代的数学基本上可以区分为代数性数学 （algebraic mathematics） 和非代数性数学 （non-algebraic mathematics）。

（参见 Shapiro） 代数性数学 （如群、 环、 域和拓扑） 的主要特征是： 一旦一个数学结构被某个公理刻画， 就不存在这个结构是否标准， 或是 否为数学家意向的事实。

正如 “没有人会担心乘法交换公理独立于群公理。

这是因为根据所有的说 法， 群理论并不是关于同构意义下唯一的 （unique up to isomorphism） 某个单一的结构的理论； 相反， 群是关于一类结构的理论” （同上，pp.40-41）， 同理， 代数性数学研究的不是同构意义下唯一的某 个单一结构的理论， 而是任意一个由某个公理系统规定的结构。

和代数性数学不同， 非代数性数学研究的主要对象是某个具体的数学结构 （或者那些同构的类型）， 典型的非代数性数学包括算术、 集合论和实分析等数学分支。

在这些数学分支中， 我们经常听到数学家描述他们意向中的数学对象是如何的， 它们是通过哪些同构的模型得到刻画的。

在这部分数学中， “自然数或者集合是什么” 是十分重要的问题。

现在假设这个区分成立， 多元论者可以使用代数性数学说明ZFC+CH和ZFC+¬ CH之间的差异， 这样他们就不需要诉诸模型论或者一致性概念， 上述无穷倒退的反驳也将不复存在。

有趣的是， 认为ZFC+CH和ZFC+¬ CH之间的差异类似于代数性数学之间的差异， 似乎也能在汉米肯斯和巴拉数学多元论与贝纳塞拉夫问题 87 格尔那里找到依据。

比如汉米肯斯认为， 集合论研究与群、 环、 域等抽象代数的研究一样①， 它们都研究某些由公理刻画的结构： 集合论研究的基础对象已经变成了集合论的模型， 集合论学家敏捷地从一个模型转移到另一个模型。

正如群论学家研究的是群， 环论学家研究的是环， 拓扑学家研究拓扑空间， 集合论学家 研究的是集合论的模型。

（Hamkins， p.418） 同样， 巴拉格尔认为多元论者可以选择公理-系统-差异的情况 （the-different-axiom-systems situation） 来说明 ZF +CH 和 ZF +¬ CH 的差异：

两位数学家M1和M2， 正在 “做着关于集合论某些公理系统的游戏”。

M1研究的是系统ZF+ CH， 她显然不想尝试研究 “唯一的集合论宇宙”， 或者尝试理解我们关于集合的直观概念， 她只希望探索被ZF+CH所刻画的分层结构 （hierarchies）。

同样， M2 研究的系统是ZF+¬ CH， 他 显然不想研究 “唯一的集合论宇宙”， 或者尝试理解我们关于集合的直观概念， 他只希望探索被 ZF +¬ CH所刻画的分层结构。

所以对M1而言， 她意向中的结构是那些被ZF+CH所刻画的结 构； 对M2而言， 他意向中的结构是那些被ZF+¬ CH刻画的结构。

所以在M1口中， ZF+CH是 真的； 在M2口中， ZF+¬ CH是真的。

我们得到数学多元论， 是因为我们有两个人在做着关于不同公理系统的游戏。

（Balaguer，2016， p.392）

科尔纳在考察汉米肯斯的上述主张时指出， 使用代数性数学表述多元论的一个主要问题是与当今数学实践中大家默认的观点 （default view） 不相符。

根据默认的观点， 在集合论实践中， 数学家 “在研究集合”， 因此 “仅仅存在模型论不足以削弱大家默认的观点”。

（参见Koellner，2013， p.13）

同理， 使用公理-系统-差异这种模型， 可能与数学家默认的观点不相符。

但是让我们暂时撇开这个社会学问题， 也许集合论和算术原则上都可以还原为代数性数学， 这样就可能存在一种代数解释下的 数学多元论。

根据这种多元论， 数学家研究的仅仅是那些为特殊公理所刻画的数学结构， 而非意向中 的数学对象。

我们将这种多元论表述如下： 代数性多元论： 对任意的结构S1 与S2 ， 它们分别由公理A与B所刻画。

如果A与B都一致， 那么S1 与S2 都是合法的数学结构。

根据代数性多元论， 集合论不再是对集合本体 （ontic） 的研究， 即不再是对数学对象指称问题 的研究， 因为本体和指称对于代数性数学是陌生的概念。

因此追问一个集合是否存在是没有意义的， “指称的问题由此消解了： 我们甚至不能作出合适的断定用来评价指称” （Barton， p.28）。

但如果数学研究的不再是指称问题， 且一元论者或单宇宙论者也选择这种数学基础， 那么在何种意义上贝纳塞拉夫问题对他们构成挑战呢？

让我们首先从贝纳塞拉夫原初的表述开始， 根据这个表述， 柏拉图主义者需要解释我们关于数学 对象的知识是如何可能的。

这个表述预设了指称概念。

现在让我们假设单宇宙论者也选择代数性数 学， 将集合论处理为一种代数， 因为指称问题由此被取消， 对他们而言， 贝纳塞拉夫问题也将会自行消失。

其次， 让我们考察代数性的一元论者如何面对菲尔德表述的贝纳塞拉夫问题。

根据第一节的论 述， 一元论者需要解释如下可靠性断定： 可靠性断定： 如果数学家A相信p， 那么p是真的。

现在假设一元论者也采取代数性数学， 命题p不指称任何具体的 （柏拉图） 世界， 它的真仅仅由某些公理所刻画。

正如数学家只要知道群的公理， 就知道群代表什么。

对代数性一元论者而言， 他 们只需要知道这些公理， 就知道这些数学句子的真， 因此可靠性断定的解释对一元论者来说是平凡的 （trivial）。

值得注意的是， 菲尔德也承认， 如果一元论者可以解释如下可靠性断定@， 那么他们就成 功地回应了贝纳塞拉夫的挑战。

可靠性断定@： 如果数学家A相信公理p， 那么p是真的。

因此贝纳塞拉夫问题 （无论是贝纳塞拉夫原初的表述还是菲尔德改善的表述） 对所有柏拉图主 义者都将不再构成挑战， 他们可以平凡地解释任何数学信念的可靠性。

但是这种平凡性也取消了多元 论之于一元论， 或多宇宙论之于单宇宙论的任何优势， 它们不仅不能在认识论上优于后者， 而且很可能在数学结论上也会导致相同的结果。

当然， 要论证代数性一元论和代数性多元论在数学结论上没有差异， 是个复杂的问题， 我们不在本文考察这个问题。

这里需要注意的是， 在可靠性断定@中的公理很可能是无穷的， 而有些含有无穷公理的系统 （比 如皮亚诺算数系统） 原则上如果不上升到二阶逻辑， 就很难还原为有穷的公理系统。

而在认知上有穷的我们很可能无法知道无穷多的公理。

在这种意义上， 虽然代数性的多元论者和一元论者不再面临贝纳塞拉夫问题， 他们可能面临新的认识论挑战。

当然， 如果大家都选择有穷公理化的路径， 这个方法很可能对多元论是不利的。

比如像我们前一节论述的， 在二阶的ZFC系统中， 很多独立性问题会得到解决， 而这对多元论是不利的。

但要详细考察这个问题需要讨论更多的问题， 限于篇幅， 我们将停在这里。

结语

本文考察了两种数学多元论对贝纳塞拉夫问题的解决。

我们观察到极端多元论是个不稳定的立 场， 其一致性R 概念不能确定地使数学信念p与内容p相对应， 因此可靠性断定∗是错误的。

相对多元论诉诸一致性p ， 虽然表面上可以防止一致性R 概念无穷后退的情况， 但是最终会滑落到一致性R 。

多元论者可以选择代数性多元论， 放弃传统集合论关于数学本体的研究， 但是这个选择也相应地放弃了她在认识论上的优势， 因为一元论者也可以选择代数性数学来避免贝纳塞拉夫问题。

如果撇开将代数性数学扩展到算术、 集合论这一有争议且数学上复杂的情况， 我们的结论是， 多元论的实在论不像其主张者所认为的那样可以解决贝纳塞拉夫问题。

贝纳塞拉夫问题依然是所有数学实在论者无法逾越 的难题。

就这一结论， 我们有必要简单比较一下本文的论证和克拉克-多恩最近在认识论上对数学多元论 的攻讦。

正如我们在第一节的脚注中强调过的， 克拉克-多恩认为我们需要细化贝纳塞拉夫问题的表述： 虽然贝纳塞拉夫原初的表述和其依赖的因果知识观是错误的， 但这并不自然地说明菲尔德的表述是完善的； 相反， 在他看来， 在上述各种可靠性断定中的可靠性本身需要细化。

鉴于此， 克拉克-多恩提出了如下分析可靠性的指导原则： 模态安全性 （modal security）： 对任何信念可靠性的质疑是对其敏感性 （sensitivity） 和安全 性 （safety） 的质疑。

① 对应于 “模态安全性”， 贝纳塞拉夫问题可以表述如下： 敏感性断定： 固定形成信念的各种方法， 对于任何数学命题p， 如果命题p是假的， 那么A 的信念p是假的。

安全性断定： 固定形成信念的各种方法， 对于任何数学命题p， A对p的信念很容易会是假的。

据此， 克拉克-多恩进一步论证道， 数学多元论只能够完整地解释 “安全性断定”， 但不能解释 “敏感性断定”。

原因如下： 对多元论而言， 一致性概念是个 （元） 逻辑概念， 或者至少很容易转变 为一个初始的逻辑或模态概念。

（参见Field， 1989）

p相对于某一理论T的 （逻辑） 一致性信念是安全的———我们的逻辑信念至少不容易发生错误， 虽然这个假设本身需要进一步的经验证据。

但根据数学多元论， 数学命题不是必然的， 信念p的变化很可能对应不到命题p的变化， 因此信念p很可能不是敏感的。

克拉克-多恩的结论和本文的结论存在明显的冲突： 克拉克-多恩认为， 一致性信念是安全的， 如果数学正如多元论者强调的那样不是必然的， 那么多元论可以成功地避免 （各种表述的） 贝纳塞 拉夫问题。

而本文的论证表明， 即使一致性信念确实如克拉克-多恩论证的那样是安全的， 多元论视角下的一致性概念本身是不稳定的。

换言之， 克拉克-多恩的论证预设了数学多元论立场是稳定的， 我们获知逻辑一致性概念的途径也是毋庸置疑的。

本文对这两个预设提出了挑战， 认为数学多元论并不是一个稳定的立场： 因为多元论解决贝纳塞拉夫问题的一致性概念严重地依赖这个不稳定的立场， 所以多元论实际上没有解决贝纳塞拉夫问题。

暂时撇开这一结论的冲突， 本文在两方面推进了克拉克-多恩等人的研究：

（1） 本文讨论了克拉克-多恩等人未经讨论就信以为然的假设， 将数学多元 论或集合论多宇宙论及其一致性概念的复杂性展示出来；

（2） 本文的讨论避免了上述 “模态安全性” 这一有争议的认识论假设， 让论证更具可信度。

作者：国家哲学社会科学研究中心罗广龙先生

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