数学多元论（三）

也论形式主义与多宇宙观

一、形式主义不是本体论中立的

在《集合论多宇宙观与形式主义》中，裘江杰承接科里（HaskellCurry）的形式主义立场，认为形式主义应该是本体论中立的，它不在形而上学上做任何假设，并且形式主义并不拘泥于特定的形式化系统。

特别地，他们认为形式主义不应该受到希尔伯特所谓有穷数学的掣肘。

但这种形式主义仍然要求形式 系统满足一定的可接受条件，其中包括一致性，却不要求一个一致性证明。

此外，裘江杰和科里都认为关于这些形式系统的“元数学”研究是重要的。

在本节中，笔者首先试图论证任何有意义的形式主义都无法做到真正的本体论中立。

同时，笔者也试图解释，希尔伯特关于形式主义“元数学”必须是有穷数学的限制性立场为何不能任意放宽。

在后人的解释中，一般认为希尔伯特的形式主义不是本体论中立的。

他将数学分割为可靠的有穷数学（finitary mathematics）以及其一致性有待证明的经典数学，后者包括康托尔发明的集合论。

的确可以说，希尔伯特本人关于包括集合论在内的经典数学的本体论问题试图展现一种中立的立场，或者说试图悬置抽象实体或无穷集合是否存在的问题。

同时，希尔伯特捍卫数学工作者在“康托尔的乐园”中自由探索的价值，其手段就是将这部分数学形式化，并在可靠的有穷数学中证明这个形式化了的公理系统是一致的。

这就是所谓的希尔伯特纲领（Hilbert’sProgram）。

我们知道，希尔伯特纲领因为哥德尔不完 全性定理而注定无法在其原本意义上实现，但是希尔伯特形式主义乃至后哥德尔定理的希尔伯特形式主义变种在本体论上对数学进行区分的做法是一以贯之的。

希尔伯特式的形式主义可以悬置那部分需要通过形式化方案来捍卫的数学的本体论问题，但要求对这部分数学的形式化给出一致性证明。

这一立场意味着他们必须认为其所期望的一致性证明是可靠的，或在某种意义上是真的。

无论这种一致性证明是基于有穷数学或其他构造主义数学的证明，他们必须或假设或尝试论证这部分数学是有意义的， 它们对应着某种可靠的信念或具体的客观概念。

例如，竹内外史在《证明论》中为ε0下归纳原理所作的辩护。

他定义了序数的可及性（accessible）概念来描述人们可以“切实地看到”或“构造性地证明”可及序数下的每个严格下降链都是有穷的。

他试图 论证，可及性在序数加法、乘法甚至幂运算下保持不变，从而证明ε0下的序数都是可及的。

竹内外史宣称基于可及序数下的归纳原理相比完全的集合论是有穷主义的，相比直觉主义中抽象的“构造”“证明” 概念又更加具体。

因而，这是所谓“希尔伯特—根岑有穷主义立场”可以接受的数学命题。

再如，哥德尔对他的T系统的辩护。

在《论一种迄今未用过的有穷主义观点的扩张》中，哥德尔描述了一个扩张了有穷主义限制的系统T，并证明了直觉主义算术相对于该系统的一致性[4]。

哥德尔试图让读者相信，T系统基于的“自然数上的有限类型的可计算函数”概念是一个相比ε0更具体的、“意义清晰 的”概念。

读者可以在《哥德尔在构造主义数学方面的工作》中找到简要的介绍[5]。

在希尔伯特形式主义及其变种中，数学被划分为可靠的部分与“理想”的部分。

这种立场的支持者有义务澄清划分的具体位置，并为这种划分辩护。

对划分的辩护可能暗含在对可靠部分可靠性的辩护中。

这种“区别对待”本身揭示了形式主义者对关于“理想”数学的本体论地位的看法，它显然不是中立的。

前希尔伯特的形式主义者或许可以声称他们对所有数学一视同仁。

一些前希尔伯特的（往往是非自觉的）形式主义立场的确没有对数学做类似的划分，它们断言所有数学都是无意义的。

例如游戏形式主义，认为数学工作者只是根据给定的游戏规则进行操作。

但即使极端的游戏形式主义者也不得不承 认，关于他们所玩的游戏规则是否和谐的问题是有意义的。

人们显然不会认为，一个已知走某步就定胜 负（如证明出矛盾从而可以证明所有命题）的游戏是值得玩的。

而在希尔伯特之后，人们逐渐厘清了那 些数学游戏的规则，形成了明确定义的数学公理系统，并借助于哥德尔编码等技巧，将关于游戏规则的问题明确地翻译成了对应的算术问题。

正如人们很难拒绝承认图灵机可计算是对能行可计算概念的正确刻画。

一旦这样的工具出现在眼前，人们就很难再拒绝承认这些翻译的正确性，这些关于游戏规则的问题就是数学问题，而且这些数学问题是有意义的。

因此，希尔伯特式的形式主义对数学基于本体论地位的划分对一般的形式主义而言也是难以避免的。

或许，形式主义者可以声称所谓的本体论中立仅仅是指“理想元”部分的本体论中立。

例如，作为哥德尔定理之后的形式主义者，科里不要求对公理系统的一致性证明。

因此，也不需要承认一个用以证明 一致性的具有更高本体论地位的“元数学”，尽管他仍然认为一致性是形式系统重要的属性。

希尔伯特所强调的正是一致性标准。

这样做的原因大概是他……在寻找一个先天的合法性证明。

但是，且不论对物理来说，一个先天的合法性证明的问题是不相关的，我坚持认为一个一致性证明既不是可接受性的必要条件也不是充分条件。

它显然不是充分的。

至于必要性，只要没有不一致性被认识到，一个一致性证明尽管带给我们关于系统的知识，但并不改变它的有用性。

即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼……因此， 希尔伯特在关于一致性方面的这一奇怪的立场并不是数学形式主义观念的一部分。

[6][7]166

科里不要求一个先行的一致性证明，这是对自弗雷格以来人们探索数学基础基本动机的忽视。

人们希望为数学寻找一个安全的基础，或是逻辑或是形式化的公理系统，以避免可能的谬误。

弗雷格作为典型的实在论者可以不像希尔伯特那样寻求一个有穷数学的一致性证明。

因为在他看来：“公理不会彼此矛盾，因为它们是真的；而这不需要一个证明。”[8]

这里的证明是指希尔伯特在《几何基础》中给出的相对一致性证明或是基于有穷数学的一致性证明。

显然，一则数学命题（在弗雷格看来是这则命题所表达的思想）作为公理仍然是需要辩护的，正如他在《算术基础》中所做的工作那样。

无论希尔伯特的形式主义纲领、布劳威尔及其后继者的直觉主义宣言还是引领当代集合论研究的哥德尔纲领都继承了自弗雷格以来的这一诉求。

科里诉诸物理学的比较来说明先天合法性证明是不需要的。

然而在早已数学化了的物理学中，对一致性的辩护显然是必要的。

任何物理学理论被要求与其他理论和已知现象一致。

例如，关于量子力学标准模型一致性的讨论[9]。

正是由于量子力学与广义相对论之间显然的冲突，人们清楚地意 识到一个涵盖所有四种基本力的万物理论尚付阙如。

因此，寻找一个兼容量子力学与相对论的一致的理论始终是理论物理学的核心问题。

的确，无论在物理学还是数学实践中，人们往往（甚至注定）是在某个理论的一致性证明或其他“安全保证”尚未确立的情况下工作于其中的。

但这不妨碍这类基础问题始终是数学、物理及其哲学的核心关切。

而只要直面这一数学基础问题，无论柏拉图主义者、直觉主义者还是形式主义者（正如前文所分析的）都无法做到所谓的本体论中立。

关于科里的形式主义立场，一个有趣的事实是，他非常重视关于形式系统的“元数学”，甚至以此为数学的本质：“数学是关于形式系统的科学”[10]。

他所关注的“元命题”主要是关于形式系统本身（诸如 “命题x是在形式系统X中可证的”），以及形式系统之间关系（诸如，一个系统是另一个系统的子系统） 这样的命题。

而“形式系统X是一致的”无非是某个具体的谬误（如0=1或α∧¬α）“不是在形式系统X中 可证的”。

因此，无论科里对系统一致性证明持有怎样的看法，他对所谓“元数学”地位的特别关注使他无法避免本体论上的二分立场。

事实上，在关于数学的“形式主义”定义中，科里明确将“非构造性命题排除在真正的数学的领域之外”。

因为，“这些命题的真取决于与构造主义命题中所蕴涵的形式不同的理想假设。”[10]56

在结束本节之前，我们试图进一步厘清形式主义的“元数学”概念。

科里声称他的“元数学”并不局限于希尔伯特的有穷数学。

而正如前文中提到的，科里所举的“元命题”的例子主要是关于公理系统可证性以及公理系统之间证明论强度的命题。

一般认为，一个公理系统的公理集必须是能行可判定的。

也就是说，至少要有一个有穷的机械的程序，任给一则表达式，该程序能够在有穷时间内判断该表达式是否是一条公理。

进一步，我们要求该公理系统下的证明是能行可检测的。

也即，原则上存在一个有穷的机械程序，任给一个表达式序列，该程序能够在有穷时间内判断这个序列是否构成一个有效的证明。

上述这些要求恐怕是对公理系统最低的要求。

事实上，数学家社区对公理系统及其证明的可检测性有着更高的要求。

例如，经验上可以被其他数学家所理解等。

由于证明有效性是能行可检测的，原则上， 人们就可以设计一个计算机程序来枚举某个公理系统所有可能的数学定理。

因此，关于公理系统内部可证性的问题，也就成了关于上述程序能否枚举到某个命题的问题。

我们可以通过哥德尔编码和克莱尼谓词（Kleene’sPredicate）将它变成一个算术问题，更准确地说，它是一个Σ0 1 的一阶算术问题。

相对一致性命题，如Con(T1 )→Con(T2 )是关于公理系统间证明论强度的典型问题。

一个相对一致性证明往往来自具体给出一个统一的程序，将任何T2 中到谬误的证明转换为T1 中到某个谬误的证明。

绝大多数的相 对一致性证明，包括利用力迫法得到的关于集合论诸公理系统间的相对一致性证明甚至可以在原始递归算术（PRA）中得到，即上述证明转换程序往往是原始递归的。

按照一般理解，原始递归算术符合希尔伯特对有穷数学的要求。

因此，科里所谓关于形式系统之间关系的“元数学”大多可以被希尔伯特有穷 数学覆盖。

我们知道，任何Σ0 1 的真命题都在皮亚诺算术甚至更弱的算术系统中可证明。

哥德尔不完全性定理告诉我们，任何一致的且足够的算术公理系统中总有不可证的Π0 1 真命题。

但无论如何，关于形 式系统的上述“元数学”命题不会超出一阶算术的范围。

科里在关于什么是“元数学”的界定中，的确还留下了进一步解释的空间。

他认为“涉及关系到外在 （extraneous，相对于形式系统本身而言）考量或无穷主义假设的元定理，例如对塔斯基和哥德尔关于一阶谓词逻辑完全性证明的语义研究”[10]也可以被算作元数学。

笔者未能在科里的著作中找到关于这类 元定理的明确例子。

我们知道哥德尔完全性定理需要至少在二阶算术语言中陈述，并且可以在二阶算术公理系统WKL0 中被证明。

另一方面，我们不能无限扩大对这部分“元数学”的解释。

一般被认为，下 行的勒文海姆-斯寇伦定理是哥德尔完全性定理证明的推论。

但其证明中使用了某种形式的选择公理。准确地说，在ZF基础之上，针对可数语言的下行的勒文海姆-斯寇伦定理与依赖选择公理（dependent choice，DC）是等价的；而针对任意基数语言的下行的勒文海姆-斯寇伦定理与选择公理等价[11]。

显然， 科里不会承认选择公理是否为真也是他所谓的关于形式系统“元数学”的问题。

二、形式主义对数学实践的影响

笔者在《结构主义是一种有效的数学哲学吗？》中质疑结构主义是有效的数学哲学[12]。

在同样的意义上，形式主义无疑是有效的数学哲学。

希尔伯特的形式主义纲领直面数学工作者的困惑。

无论是希尔伯特本人关于几何的公理化工作，还是一阶谓词逻辑和集合论的公理化，抑或前文提到的根岑和哥德尔关于皮亚诺算术的一致性和相对一致性证明，都是在希尔伯特形式主义纲领启发下的数学工作。

在这个意义上，形式主义的确对数学实践有着积极的影响。

裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中认为，元数学“作为对数学的反思性研究”是“形式主义的 重要组成部分”，并且形式主义，尤其是被纳入形式主义框架的集合论多宇宙观有助于为集合论搜寻新公理。

本节中，笔者则试图说明：形式主义者尤其关注的元数学研究恰恰非常依赖超出形式主义的思想和直观；而形式主义对探究集合论新公理的作用是有限的。

的确，当代集合论研究中大量使用力迫法得到的结果都可以写成Con(T)→Con(T+φ)这样的形式。

这种相对一致性结果可以被看作是典型的元数学命题，并且本质上可以在弱如PRA这样的算术公理系统中得到证明。

但实际上，几乎没有集合论工作者是在算术公理系统中工作来发现这些证明的。

一般关于力迫法的直观是构造一个已有集合论宇宙中不存在的泛型（泛型，generic）对象，例如ℵ2 个实数，来 得到满足某个命题的“更大的”集合论宇宙，并称之为力迫扩张（forcingextension）。

按照朴素的单一宇宙观，把集合论宇宙理解成所有集合组成的宇宙，就无法解释何以能够再造出一个在集合论宇宙中不存在的泛型对象。

对此，一般可以借助可数传递模型或力迫语言来解释。

用可数传递模型来解释 Con(T)→Con(T+φ)的力迫法证明，首先假设存在T的可数传递的玩具模型M，由于可数模型上的泛型对象总存在，我们可以证明存在M的力迫扩张M[G]满足T+φ。

在这个解释下，我们处理的只是玩具模型， 无论玩具模型M、泛型对象G还是M的力迫扩张M[G]都真实地存在于我们的宇宙中。

关于这个解释需要注意的是，满足T的可数传递模型M的存在往往严格强于Con(T)这个假设。

实际上，我们取的是集合论公理集T的任意一个有穷部分T0 （ZF可以证明任何ZF有穷子集都有可数传递模型）。

由此，上述解释本质上提供了一个证明转换的能行方法：如果T+φ不一致，即存在一个有穷的T0 +φ可以证明荒谬，那么我们就可以从Con(T0 )这个假设出发证明出存在T0 +φ的模型这个荒谬，因而T也是不一致的。

通过力迫语言的解释一定程度上可以避免这种曲折的处理方式。

我们先定义力迫语言的“语义”——力迫关系： p⊩α( ) τ ˉ ，其中τ ˉ是一串“力迫名词”，“力迫名词”可以被理解为在原有集合论宇宙中指称可能的力迫扩张中对象的名称，它们构成了原有集合论宇宙中的一个可定义的真类。

因此，力迫语言的“语义”作为一个 关系也是原有集合论宇宙中的一个可定义的真类。

在这种解释下，为了证明Con(T)→Con(T+φ)，一般假设我们在T宇宙中定义了力迫语言，试图证明存在力迫条件p⊩φ。

由此，如果T+φ不一致，即T⊢¬φ，可以 证明任何力迫条件都有p⊩¬φ，从而我们得到了T中的矛盾：p⊩φ且p⊩¬φ（这与力迫关系的性质不符）。

我们还可以借助布尔值模型使得基于力迫语言的解释显得更直观。

布尔值模型VB可以被理解为对通常基于二值布尔代数的语义的推广，在其中每个语句的真值是B中的元素。

我们从一个ZFC宇宙V出发构造的布尔值模型VB中，ZFC和ZFC的推论的“真值”都是B中的最大元，而如果一个语句在VB中能取 除最小元以外的真值，它就是与ZFC是一致的了。

上述力迫法的解释无不涉及无穷模型，甚至真类（布尔值模型VB和力迫关系都是V中的真类）。

即使知道基于力迫法的相对一致性证明，要还原出其在PRA 中的版本也往往是一件非常困难的任务，很难想象对着ZF的形式定义就能够找到Con(ZF)→Con(ZF+ 2^ℵ_0=ℵ_2 )所需要的证明变换程序。

我们举一个极端的例子来解释为什么形如Con(T)的典型的形式主义“元数学”问题必须援引“外在的”直观。

我们通常只关心可公理化的理论T，也即T是递归可枚举的。

由此，Con(T)可以被写成一则Π0 1 的一阶算术语句① 。

例如，Con(ZFC)就是一则即使在ZFC中也无法证明的Π0 1 语句（假设ZFC一致）。

甚至，无论我们如何添加新的公理来扩张ZFC，只要所得到的仍然是一个一致的集合论公理系统，其中就仍然有不可证的真的Π0 1 语句。

这些是哥德尔第二不完全性定理告诉我们的。

一般认为Con(ZFC)作为对ZFC的扩张，并不是很强的命题。

例如，ZFC+存在不可达基数就可以证明它。

但下面的事实告诉我们，在处理形如Con(T)的语句时，我们必须对T的具体编码方式保持谨慎。

通过一些处理，我们甚至可以把“ZFC是一致的”这则Π0 1 语句变得任意强。

事实固定对集合论语言的编码，令{σi }i∈N 是对集合论语言语句的能行枚举。

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