贝特朗悖论

The Bertrand Paradox

在一个圆中随机画一条弦，这条弦的长度超过该圆内切等边三角形一边的概率是多少？

至少有三种不同的方法会导致不同的答案：

1. 随机端点法：在圆的周长上随机选择两点形成一个弦，这条弦长度超过三角形一边的概率是1/3。

2. 随机半径点法：选择半径上的一个点并画一个垂直弦，这条弦长度超过三角形一边的概率是1/2。

3. 随机中点法：在圆内随机选择一个点作为弦的中点，这条弦长度超过三角形一边的概率是1/4。

贝特朗悖论由法国数学家约瑟夫·贝特朗于1889年提出。这个问题看起来简单，但答案可因随机选择弦的方式不同而有不同的解释。贝特朗悖论是涉及几何概率问题的经典悖论。不要与“贝特朗盒悖论”混淆，尽管它们都是以同一位数学家的名字命名的。后者是由推理中的常见谬误导致的。

破解

这是由无穷性引起的悖论。

设每单位长度上有n个点。

使用随机端点法，圆周上有2πrn个点。所以，抽样就是从2πrn个点中选择2个点。

使用随机半径点法，直径上有2rn个点。直径上的每个点对应于弦的两个端点。所以，抽样是从4rn个点中选择2个点。

使用随机中点法，圆的面积内有πr2n个点。面积内的每个点对应于弦的两个端点。所以，抽样是从πr2n个点中选择2个点。

如下所示，如果我们假设半径上的点按长度均匀分布，邻近的边缘（圆周上的点）不按长度均匀分布，面积内的点也不按面积均匀分布。

1、2、3

a、b、c

i、ii、iii

当长度（a）=长度（b）=长度（c）时，

长度（i）＜长度（ii）＜长度（iii），并且

面积（1）＞面积（2）＞面积（3）。

同样地，如果我们假设圆周上的点是均匀分布的，那么半径上或面积内的点则不是。并且，如果我们假设面积内的点是均匀分布的，那么半径上或圆周上的点则不是。当点的分布不均匀时，画出随机的弦是不可能的。因此，假设这3种抽样方法都是随机的是错误的。

那些支持存在矛盾的人错误地认为无穷大和无穷小是数字，以至于三者之中没有一个拥有比其他两个更多或更少的点。然而，我们需要对无穷小有一个恰当的定义。无穷小不是一个数字，而是一个未知数字的属性。因此，如果我们假设每单位长度的最小刻度是（m），它具有无穷小的属性，那么每一种抽样的抽样总体都是有限的。假设一种方法是随机的将使另外两种非随机。随机性应该根据抽样方法来定义。只有当每个样本被抽样的概率相同时，我们才可以说抽样是随机的。

因此，只要我们正确理解无穷和随机抽样的本质，我们就可以解决这个悖论。

摘自专栏《悖论》

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