马尔科夫不等式和切比雪夫不等式

概率论中有很实经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫 (Markov) 不等式和切比雪夫 (Chebyshev) 不等式.

马尔科夫 (Markov) 不等式

马尔科夫不等式的形式如下: 设 X 为一个非负随机变量，其数学期望为 E(Ⅹ)，则对任意 ε＞0 ，均有

E(X)

P(X ≥ ε) ≤ ───

ε

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.

证明: 当 X 为非负离散型随机变量时,设 X 的分布列为 P(X＝xᵢ)＝pᵢ，i＝1，2，· · ·，n， 其中 pᵢ∈(0，＋∞)，

xᵢ∈[0，＋∞)(i＝1，2，· · ·，n)，

ₙ

∑pᵢ＝1，则对任意 ε＞0，

ᵢ₌₁

xᵢ 1

P(X≥ε)＝∑ pᵢ ≤ ∑ ─ pᵢ＝─

xᵢ≥ε xᵢ≥ε ε ε

1 ₙ E(X)

∑ xᵢpᵢ ≤ ─ ∑xᵢpᵢ＝───

xᵢ≥E ε ᵢ₌₁ ε

其中符号

∑Aᵢ

xᵢ≥E

表示对所有满足 xᵢ≥ε 的指标 i 所对应的 Aᵢ 求和.

切比雪夫（Chebyshev）不等式

切比雪夫不等式的形式如下: 设随机变量 X 的期望为 E(X) ，方差为 D(X) ，则对任意 ε＞0 ，均有

D(X)

P(|X – E(X)| ≥ ε) ≤ ──

ε²

证明：(1) 法一: 对非负离散型随机变量 [X – E(X)]² 及正数ε²使用马尔科夫不等式，有

P(|X – E(X)| ≥ ε)＝P([X – E(X)]² ≥ ε²)

E[X – E(X)]² D(X)

≤ ─────＝───

ε² ε²

法二：设X 的分布列为

P(X＝xᵢ)＝pᵢ，i＝1，2，· · ·，n，

其中pᵢ，xᵢ∈(0，＋∞)(i＝1，2，· · ·，n)，

ₙ

∑pᵢ＝1

ᵢ₌₁

，记 μ＝E(X) ，则对任意 ε＞0 ，

(xᵢ – μ)² 1

P(|Ⅹ – μ| ≥ ε)＝∑ Pᵢ ≤ ∑ ─── Pᵢ＝─

|xᵢ μ|≥ε |xᵢ μ|≥ε ε² ε²

1 ₙ

∑ (xᵢ – μ)² Pᵢ ≤ ─ ∑(xᵢ – μ)²

|xᵢ μ|≥ε ε² ᵢ 1

D(X)

Pᵢ＝──.

ε²

概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望 E(X) 和方差 D(X) 存在但其分布末知的情况下，对事件“ |X – E(X)| ≥ ε ”的概率作出上限估计，其中 ε 为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：P(|X – E(X)| ≥ ε) ≤ f(D(X)，ε)，其中 f(D(X)，ε) 是关于 D(X) 和 ε 的表达式.由于记忆模楜，该同学只能确定 f(D(X)，ε) 的具体形式是下列四个选项中的菒一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ）

• A.D(X) · ε²

1

• B. ─────

D(X) · ε²

ε²

• C. ────

D(X)

D(X)

• D. ────

ε²

【解】切比雪夫不等式的形式为：P(|X – E(X)| ≥ ε) ≤ f(D(X)，ε)，由题知

P(|X – E(X)| ≥ ε)＝P(|X – E(X)|² ≥ ε²)

E(|X – E(X)|²) D(X)

≤ ──────＝─────

ε² ε²

则f(D(X)，ε) 的具体形式为

D(X)

───.

ε²

故选: D.

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