集合论

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P459]

集合论（set theory）数学的一个基本的分支学科，研究的内容是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各个分支的研究内容或者本身是带有某种特定结构的集合（如群、环、拓扑空间），或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，特别是表述的基础，至多范畴论除外。

集合论是G.康托尔于19世纪末创立的。20世纪初对集合论的严格处理产生了公理集合论，由于对它的研究广泛采用了数理逻辑工具，集合论（公理集合论）又逐渐成为数理逻辑的一个分支，并从20世纪60年代以来获得迅速的发展。

集合论是关于无限集合（也称无穷集合）和超限数（也称超穷数）的数学理论。因此，对研究无限集合的表述需要就是集合论产生的源泉。人们对无限集合的认识可以追溯到古希腊的数学家，例如埃利亚学派的芝诺，他提出的芝诺悖论就涉及到对无限的认识。到了亚里士多德，已经能够区分潜在无限和实无限，他特别强调了潜在无限，认为实无限是不存在。这对后世产生了极大的影响。但是由于数学中尚未实质上涉及到真正的无限集合，所以对于无限集合的观念也只是潜在地存在着。17世纪伽利略提出了一个悖论。他发现：两条不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大量有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他认为，所有的无穷大量都一样，不能比较大小。紧接着人们把无穷小量引入数学，那就是微积分发现之初所引进的无穷小运算。虽然当时的人们确实感到有表述和认识无限的需要，但是对此又感到无力把握。这就向数学界提出了一个挑战。最先进行应战的是数学分析严格化的先驱波尔查诺，他是第一个为了建立集合的明确理论而做出积极努力的人。他明确谈到了实在无限集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他指出，无限集合的一部分或子集可以等价于其整体，并认为这个事实必须接受。这样在分析数学的研究中，开始形成了实无限意义下的集合观念。

具体地说，集合概念直接产生于三角级数的研究工作中。1854年黎曼提出，如果函数f(x)在某个区间内除间断点以外所有的点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否唯一？但他没有回答。1870年海涅证明：当f(x)连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：什么样的例外的点（间断点）不影响这种唯一性？表述这些例外的点的整体的需要，产生了点集的概念，G.康托尔引入了直线上的一些点集拓扑概念，探讨了前人从未碰到过的结构复杂的实数点集。这是集合论的开端。

1874年，G.康托尔越过“数集”的限制，开始一般地提出“集合”的概念。他给集合下类这样一个定义：把若干确定的有区别的（具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素，也说它属于该集合。有了集合概念，就可以定义出一系列有关的概念，集合论就产生了。

从本质上看，集合论是关于无限集合和超限数的数学理论。G.康托尔创立集合论的卓越贡献之一，就是把实无限引入数学。他把适用于有限集的不用计数而判定两个集合大小的一一对应准则推广到无限集，此后一一对应方法成为典型的集合论方法。元素间能建立一一对应的集合称为等势集合，G.康托尔指出，无限集的特征就是它可与自己的一个真子集等势。他称与全体自然数N等势的集合为可数集，1873年他采用著名的对角线法，证明了全体实数的集合R不是可数集，因此无限集也是有差别的。1878年，他引入“集合的势”（后又称为基数）的概念，它既适用于无限集也适用于有限集，是“个数”概念的推广。G.康托尔把势定义为等势集合类共性的抽象，后来弗雷格与罗素改为等势类本身。1883年，G.康托尔应用对角线法证明了康托尔定理：一个集合S与它的幂集P(S)间不可能建立一一对应，P＝(S)≥＝S。这样，说明了在无限集之间还存在着无限多个层次。

1883年，G.康托尔开始研究有序集，特别是其中的良序集，他引入了序数概念来刻画良序集的结构。序数可以比较大小，而且任一序数之后，恰有一个在大小顺序上紧紧尾随的序数。因此，后来G.康托尔给出了序数的一种系统的表示法，相当于十进制之用于自然数。利用序数可以把良序集编号，并把数学归纳法推广到自然数以外去（见超限归纳法）。序数的研究加深了对基数的理解，1904年策梅罗证明了任一集合都可以良序化（良序定理），将基数等同于一个序数，这就解决了基数比较大小的问题。同序数一样，任一基数之后，甚至任一基数集之后，恰好有一个在大小顺序上紧紧尾随的基数。因此可以将所有超限基数按序数来编序，这就是所谓阿列夫的谱系

ℵ₀ ℵ₁ ℵ₂ . . . ℵω ℵω₊₁ . . .

（其中ℵ₀是最小无限集可数集的基数，ω是自然数集的序数），它可以无限延伸下去。超限序数和超限基数一起刻画了无限。它们所以还称为数，是因为它们都有自己的算术。与此同时，G.康托尔还给出了构造更大的集合的方法，就是前面所说的幂集构造法，用这一方法对阿列夫的谱系构造幂集，则得到“第二”阿列夫谱系ℵ₀ 2ℵ₀ 2²ℵ₀ . . .。对于这两个谱系的无限基数，1878年G.康托尔猜想：2ℵ₀＝ℵ₁。他猜测可以解释为实数集合的任意不可数子集合与实数集合等价。简单地说，就是关于直线上有多少点的问题。G.康托尔的这一猜测被称为连续统假设（CH），这一假设的证明至今没有完全得到解决，它已成为数学史上与费马大定理（1995年解决）、黎曼猜想（尚未解决）齐名的一大难题。1908年，豪斯多夫进一步猜测，对于任意序数a，有2ℵα＝ℵα₊₁ 成立。这个猜测后来被称为广义连续统假设。1938年，哥德尔证明了广义连续统假设不能为集合论的公理否证，这是集合论方面的一大突破性进展。

集合论之前的数学界只承认潜无限，集合论则引入了实无限，自然数不是一个一个地潜在地向无限变化，而是“一下子”以完成的姿态呈现在人们面前。用超限基数和超限序数刻画的无限集，都是实无限，因而一开始并不被数学界所完全接受。但是后来，从非欧几里得几何学的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论（见证明论、数学基数），集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐渐确立起来。

19世纪末20世纪初，人们发现了一系列集合论悖论，表明集合论是不协调的，这使得人们对数学推理的正确性和结论的真理性产生了怀疑，触发了第三次数学危机。为了克服悖论所带来的困难，人们开始对集合论进行改造，即对G.康托尔的定义定义加以限制，“从现有的集合论成果出发，反求足以建立这一数学分支的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来”（策梅罗语）。这就是集合论公理化方案。1908年，策梅罗提出第一个公理集合论体系，后经弗伦克尔和斯科朗的改进，称为ZF系统。ZF集合论承袭了康托尔集合论的全部成果，凡数学所需的一切有关集合运算、关系、映射的结果以及全部基数、序数的理论全都可以从ZF公理系统中演绎出来。ZF集合论又排除了康托尔集合论中可能出现的悖论。因此，在很大程度上弥补了康托尔集合论（与公理集合论相比较，人们把康托尔集合论称为朴素集合论）的缺点。当然，由于哥德尔第二不完全性定理，ZF系统作为包括自然数理论的一阶形式系统是不可能在其内部解决本身的无矛盾性问题的。这是一切这类系统的固有性质。

集合论的公理系统除ZF系统外还有多种，其中最常用的要算1925-1937年间形成的冯·诺伊曼、伯奈斯、哥德尔提出并完善的公理系统，称为NBG系统。已经证明，如果ZF公理系统是无矛盾的，则NBG公理系统也是无矛盾的（而且后者是前者的一个保守的扩张）。（见公理集合论）

虽然证明整个公理系统的无矛盾性已无意义，但关于公理系统中某一个别公理或某一假设的相对无矛盾性和相对独立性仍是重要的课题，其中选择公理与连续统假设与重要的地位，是集合论领域长期研究的课题。选择公理（AC）成为数学史上继平行公理之后最后争议的公理，包括AC的公理系统记为ZFC公理系统，以区别不包括AC的ZF公理系统。

后来，在AC和CH研究方面取得不少进展。1938年，哥德尔证明：从ZF推不出AC的否定，从ZFC推不出CH的否定，即AC对于ZF，CH对于ZFC是相对无矛盾的。1963年，科恩创立了著名的力迫方法，证明了AC对于ZF，CH对于ZFC的相对独立性，即从ZF推不出AC，从ZFC推不出CH。综合这两个成果，于是得出：AC在ZF中，CH在ZFC中都是不可判定的。这是20世纪最伟大的数学成果之一。科恩的力迫方法成为集合论研究的有力工具，此后许多年中，人们一方面推广和改进科恩的力迫方法，提出诸如迭代力迫、真力迫等新概念和新方法；另一方面则将这些方法应用于具体的数学领域，如拓扑学中，以证明该领域中的某些命题是不可判定的。此外，大基数问题、无穷组合论问题的研究亦有很大进展，20世纪70年代以来，决定性公理的研究与它们交织在一起，有新的发展。同时，人们还在寻找迄今尚未发现的与其他公理无矛盾的可信赖的新公理（CH或它的任一具体的否定都不具备这种资格），以期在更有效的途径上来解决连续统问题，这方面的工作成为当前集合论研究的主流。

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