元数

长期以来，一些科学家们心中一直有一个执念，即坚信宇宙的本质是简洁的。

这背后其实有一个“万有理论”，它可以囊括四种宇宙基本力，用单独一种物理理论解释所有的物理现象。而宇宙中的万事万物，不过是这种理论的衍生和演化。

然而经过几个世纪科学家们的不懈努力，这一“万有理论”目前仍是猜想。比如说，量子力学可以很好的解释微观世界，而爱因斯坦的广义相对论则能精确的展示宏观世界。但目前这两种理论无法统一在一起。

但这个终极僵局现在有了新的解题思路。最近，一项由一位女性科学家孤军奋战约 10 年的研究，让我们看到了“万有理论”的可能。这位女性科学家就是来自剑桥大学的数学物理学家科尔·福瑞（Cohl Furey）。

图 | 科尔·福瑞，剑桥大学数学物理学家（图源：Quanta Magazine）

其实，数学家和物理学家几十年前就猜想，组成物质世界的力和粒子的规律可以用 8 元数来描述，但是一直未能证明这一点。直到这一次，科尔·福瑞发现了粒子物理学标准模型和 8 元数之间的关系。

福瑞于今年 5 月发表在《欧洲物理学C刊》上的最新论文中，她的数学模型正确地构建了电子、中子、3 个上夸克、3 个下夸克及对应反粒子的电荷及其他特性。该模型证明了几十年来数学家和物理学家对 8 元数和宇宙构成物质的基本粒子之间关系的猜想，可为未来宇宙“万有理论”的研究提供思路。

8 元数：一种不可抑制的诱惑

在了解为什么 8 元数与宇宙终极理论有着千丝万缕的联系之前，我们先简单了解下它的“前世今生”。

1898 年，数学家已经证明，各种各样的数中，只有实数、复数、4 元数和 8 元数能定义加、减、乘、除运算，因此被称为可除代数。

其中，人类最熟悉的数字是实数。实数是有理数和无理数的总称，而实数通过一定的法则可以组成复数。复数由一个实数和一个虚数两部分构成。16 世纪的意大利数学家首先研究了复数。复数的加减乘除都可以视为二维平面上的变换和旋转。

复数通过一定的法则可以构建 4 元数。类似于复数，四元数是由实数加上三个元素 i 、j 、k 组成，且 i2 = j2 = k2 = ijk = -1。1843 年，爱尔兰数学家威廉·罗曼·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）第一次发现了 4 元数，在狂喜中，他将 1 个 4 元数刻在了都柏林的一座桥上。

而汉密尔顿的朋友、律师约翰·格雷福斯（John Graves），则证明了 2 组 4 元数可以构成 8 元数，8 元数必须基于抽象的 8 维空间才能表示。八元数可视为实数的八元组。每一个八元数多事单位八元数 {1，i，j，k，l，il，jl，kl} 的线性组合。

简而言之，实数、复数、4 元数这 3 类数奠定了 20 世纪物理学的基础。实数自不用说，复数是量子力学的核心，而 4 元数是相对论的核心。但是，8 元数隐藏着宇宙的什么规律呢？

佛罗里达大学粒子物理学家和弦论专家皮埃尔·拉蒙德（Pierre Ramond）曾表示，8 元数对于物理学家是不可抑制的诱惑。

图 | 四种可除代数系统。当系统中的数字做加减乘除运算时，获得的结果仍然在系统内。很多物理学家认为，这4种可除代数是物理规律的基础。（图源：Quanta Magzine）

从标准模型到 8 元数

在粒子物理学中，基本粒子是组成物质最基本的单位。标准模型中涵盖了 61 种这样的基本粒子，并通过一系列数学模型模拟了这些基本粒子之间的相互作用。但目前，这一标准模型还无法解释全部粒子之间的相互作用，模型中对于引力的预测与现实并不相符。换句话说，实验中观测到的基本粒子间一些奇特的性质，还无法通过模型进行模拟。

图 | 粒子物理标准模型共 61 种基本粒子（图源：Wikipedia）

面对这个问题，在福瑞的导师读研究生的年代来说，科学家主要有两种想法。其中大多数的物理学家认为，这些无法解释的粒子性质可能是由于人们还未发现全部的基本粒子导致的。因此他们选择用对撞机积累更多的实验数据，并希望实验中出现更多的新粒子以让标准模型更具有预测力。

而另一些科学家则认为，或许是对粒子间相互作用的模拟出了问题，因而他们转向寻求用新的数学模型对这些粒子的相互作用进行模拟。1973 年，福瑞的导师宾夕法尼亚州立大学教授 Günaydin 与其导师 Feza Gürsey 曾发现，8 元数和把夸克（基本粒子的一种）约束在原子核内的强表面之间存在联系。虽然这一发现并没有引起什么的响应。

而几十年后，没有发现一种不属于标准模型的新粒子。而另一些科学家直觉相信，8 元数的奇特性质与古怪的标准模型之间不仅仅是巧合。

8元数真的能颠覆物理界吗？

8 元数的神秘美感继续吸引着那些特立独行的研究者，包括我们今天文章的主人公福瑞。

在此之前，也就是 2014 年，还是加拿大滑铁卢大学研究生的福瑞，开着租来的汽车一路向南，用 6 小时到达宾夕法尼亚州立大学，拜会物理学教授 Murat Günaydin。福瑞拓展了 Günaydin 教授在 40 年前所做却没有获得多大反响的成果，发现了数学和基本物理之间的新联系。

现在距离她拜访宾夕法尼亚大学已有 4 年。她还记得当年的场景：她努力尝试着向 Günaydin 教授解释自己基于 8 元数构建的一个强力和弱力模型，沟通的难度超过了她的想象。

这些研究都不是物理学研究的主流。Günaydin 建议福瑞找个其他的方向作为自己的博士研究方向，因为他根据自己的经验，认为 8 元数是一个太过困难的问题。

图 | 标准模型中粒子间相互作用

但是福瑞决心已定，她相信自己对于 8 元数的直觉。当时她告诉一位同事，如果自己的研究毫无结果，导致不能找到稳定的研究职位，那么她就带着自己的手风琴去新奥尔良街头卖艺，挣钱支持自己的物理研究。

不过，福瑞还是在剑桥大学找到了一个博士后职位。此后几年，她发表了一系列关于 8 元数和标准模型之间关系的研究，获得学术界高度重视。

罗格斯大学数学物理学家 Shadi Tahvildar-Zadeh 拜访福瑞之后表示，这些研究将该领域的知识边界推进了一大步。

当然，福瑞尚未对标准模型中的所有粒子和力构建出对应的 8 元数模型，此外，她也尚未尝试将引力包括进来。这是她模型目前还存在的最大问题。她强调，可能的思路太多，有些专家认为目前不足以判定什么思路更有成功希望。

伦敦帝国学院教授，弦论专家米切尔·杜夫（Michael Duff,）认为，福瑞做出了一些非常有趣的成果，这个方向值得继续发掘。当然，现在还不能确定，8 元数就是描述标准模型的最佳工具。

不过，如果 8 元数真的是这种最佳工具，这就意味着物理学领域的一场革命。

8元数和标准模型，天生绝配？

今年 39 岁的福瑞还记得，自己在高中时期的一次经历让自己对物理产生了最初的热爱。在不列颠哥伦比亚省，她的老师讲到，整个世界的背后只有 4 种力。物理学家 1970 年以来就致力于将这四种力统一在 1 个理论框架下。

几年后，当她在温哥华西蒙弗雷泽大学读本科的时候学到 4 种可除代数，再一次感受到了这种无比的优美和神秘。“为什么不是只有 1 种可除代数，也不是有无穷多种可除代数，而是只有 4 种可除代数？这是多么神奇的一件事情。”

为什么都得是 4 ？福瑞觉得，这是自己遇到的最优美的事情。

福瑞后来又在一门高级几何课程上学到了可除代数。可除代数之前的关系很奇妙：实数维度乘 2，获得复数；复数维度乘 2，获得 4 元数；4 元数维度乘 2，获得 8 元数。每一次扩充，新数就会比前一种数减少一种特性。比如，实数可以从小到大排序，但是复数不行。此外，4 元数的乘法没有可交换性，即 a×b 不等于 b×a。当然，在解析几何中这个现象并不神秘：高维数字相乘需要借助旋转操作，而如果改变旋转操作的次序，结果自然发生变化。

图 | Cayley-Dickson 代数性质（图源：Wikipedia）

更奇怪的是，8 元数的乘法不服从结合律，即（a×b）×c 不等于 a×（b×c）。加州大学数学物理学家和 8 元数专家约翰·贝兹（John Baez）表示，8 元数不服从结合律的特性令数学家非常恼火，因为 4 元数的乘法可交换性比较容易描述，而 8 元数乘法的特性非常难以描述。

8 元数乘法的不可结合性成为物理学家利用 8 元数的巨大障碍，但是这种特性另一方面也是 8 元数的独特魅力，因为标准模型本身也非常奇异，因此有物理学家认为，只有 8 元数才能描述这种奇异性。

标准模型中，基本粒子被分成 3 个对称组 SU（3），SU（2）和 U（1），分别对应于强相互作用，弱相互作用和电磁相互作用，对称组内的互换不会影响方程的形式。3 个对称组基于 6 种夸克，2 种轻子，以及以上粒子的反粒子。每种粒子还有 3 代。目前，第四种基本力——重力，被爱因斯坦广义相对论方程单独描述，尚不能被纳入标准模型中，它描述了时间和空间的几何关系。

一些粒子在标准模型中具有对称性。但是问题在于，为什么方程是 SU(3) × SU(2) × U(1) 的形式？特定粒子的数学描述如何将电荷、手性和“3 代”冗余的特性结合？

图 | 一些科学家认为标准模型只是另一个更完备模型中的一部分。（图源：Wikipedia）

传统观点认为，标准模型是一个更完备的理论模型的一部分，因此其不完备性才导致了这些奇怪特性。然而，一些物理学家认为标准模型本身就是完备的，因此他们决心用 8 元数来描述标准方程，揭开其隐藏的秘密。

福瑞读研究生时知道，4 元数描述了粒子在 4 维时间-空间中的变换和旋转，自此开始致力于 8 元数的研究。她认为，8 元数的 8 个自由度正好对应于一代粒子：1 个中微子，1 个电子，3 个上夸克和 3 个下夸克。如果这不是巧合，这一研究很可能揭开更大的宇宙奥秘。

当然，目前离最终答案还差得很远。

此生唯愿追随真理的直觉

8 元数和所有奇异对称组之间的关系让很多数学家，包括菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者米切尔·阿提亚（Michael Atiyah）认为，自然的终极规律隐藏在 8 元数中。

阿提亚在 2010 年宣称，甚至长期无法被纳入统一框架的引力，也很可能是 8 元数和奇异组互动作用的结果。

为了重建粒子物理的理论体系，福瑞的模型从狄克森代数中获得启发。她构建了 4 种可除代数的乘积：ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗，其中 ℝ 代表实数，ℂ 代表复数，ℍ 代表 4 元数， 代表 8 元数。这种乘积也被称为狄克森代数，于 1970 年代由物理学家杰弗里·狄克森提出，不过不久之后他就因为没能拿到终身教职而离开学术界。

狄克森在回忆录中写到，“我当时被一个来自直觉的点子击中：这些代数是理解粒子物理的关键，我愿意追随这种直觉，哪怕下地狱。”

当时，狄克森和其他人的思路是将可除代数与其他数学工具融合。然而，福瑞不这么做，她的工具仅限于可除代数。ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗提供了一个 64 维抽象空间。在这个空间中，1 个子空间的粒子被其他粒子相乘，发生位移，旋转，变换之后，仍然在之前的子空间内，这就是ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗的对称性。

狄克森知道，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗ 分为 2 个部分：ℂ⊗ℍ和ℂ⊗。在福瑞的模型中，对称性与粒子在时间-空间中的运动和旋转有关。SU(3) × SU(2) × U(1) 对称组之所以能反应粒子的内在特性，以及粒子与强力、弱力和电磁力交互的特性，关键在于ℂ⊗。

图 | 福瑞论文中的数学模型（图源：arXiv）

此外，福瑞也从Günaydin 和 Gürsey 的早期工作中寻找灵感。

Günaydin 和 Gürsey 曾发现了 SU(3) 和 8 元数的关系。1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 和 e7 是一组 8 元坐标。他们构建了一个叫做 G2 的奇异对称组，该对称组无法在数学上被纳入其他对称组中。

让 e7 不变，改变其他维度，就会让 8 元数相对于 SU（3）对称组的对称性降低。Günaydin 和 Gürsey 基于这个事实，建立了强力与“1 代”夸克之间的 8 元数模型。

在福瑞发表在《欧洲物理学 C 刊》上的最新论文中，她构建了 SU(3) × SU(2) × U(1) 与 1 代粒子之间关系的数学模型，以及电子、中微子、3 种上夸克、3 种下夸克以及对应反粒子之间关系的数学模型。这些数学模型还能够解释，为什么一个粒子的电荷只能是某个最小单位的整数倍。

图 | 基于ℂ⊗，福瑞的 8 元向量成功模拟粒子间弱相互作用。（图源：arXiv）

然而，如何将该模型扩展到自然界中的全部 3 代粒子，仍然是个问题。

不过，根据一篇预期发表于《物理快报 B》上的论文，福瑞基于ℂ⊗构建了标准模型的另外 2 个对称组：SU(3) 和 U(1)。在这个模型中，3 代粒子全部体现出对称性，且这个模型允许惰性中微子的存在，这是一种物理学家积极寻找的，被认为是暗物质组成部分的粒子。当然，由于 3 代模型只描述了 SU(3) 和 U(1)，因此还不是最终答案。不过福瑞相信，她可以沿着当前思路，构建出真正意义上的完整模型。

除了福瑞，3 名数学物理学家米切尔·杜博斯-维勒特（Michel Dubois-Violette），一万·托德洛夫（Ivan Todorov）和斯维尔塔·顿思卡（Svetla Drenska）也在利用基于 8 元数的约当代数构建模型。

这样，在多年的孤军奋战之后，福瑞终于有了同道。

可她仍然固守最基本的ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗框架。她认为其足够复杂，提供的自由度足够多。福瑞的目标是构建出能容纳质量、希格斯机制（一种生成质量的机制，能够使基本粒子获得质量）、引力和时间-空间的大一统模型。

福瑞已经发现，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗框架中，所有乘法链都可以用 10 个被称为“发生器”的矩阵产生。其中 9 个“发生器”的特性很像空间维度，而第 10 个“发生器”的特性很像时间，这跟弦理论预测的 10 维时空不谋而合。但是，福瑞的模型跟弦理论之间的关系仍然尚不清楚。

弦理论用“能量弦线”作为基本单位，该理论认为，宇宙里所有微观粒子都由弦的不同震动产生。弦理论本要求时空是 26 维的，但后来发现加上超对称的话，时空是 10 维的。但目前，弦理论还未获得实验验证。

图 | 除了我们所知的4个维度，还存在6个维度。图中卡拉比-丘流形展示了剩下的6维卷曲在一起

手风琴和 8 元数

福瑞不怎么关心物理和数学关系的哲学层面，但是她确实好奇一点：为什么可除性是关键？此外，她还有种预感，ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗不过是终极理论的一种近似。

鉴于很长时间以来，实验物理学家都没有在对撞机中找到标准模型没有描述的新粒子，而且标准模型的预测跟实际结果高度吻合，一些物理学家认为现在该是在理论上下功夫的时候了。圆周理论物理研究所的物理学家博易认为，从理论上取得突破的可能性很大，值得获得更多关注，福瑞的工作非常值得钦佩。

博易还表示，他同样感知到了 8 元数的魅力召唤。“我有预感，8 元数的加入会让基础物理变得更加优美。”

从经历坎坷、被其他人“劝退”、孤军奋战到研究被接受并找到研究伙伴，十年来福瑞始终坚持自己对 8 元数的直觉。无论真正的“终极理论”是否与福瑞预期一致，这份为寻求真理的坚守，照亮了未来福瑞前进的道路，也在感染同样为寻求真理奋不顾身的人们。

目前，福瑞还在找稳定的学术界职位，不过她貌似对此并不太担心：“我最擅长的乐器是手风琴，这种乐器在音乐界的地位就跟 8 元数在物理学中的地位一样，非常边缘化。不过我就算我靠手风琴街头卖艺养活自己，我也会继续坚持研究 8 元数。”

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