柯里悖论（二）

柯里悖论，是这样一种悖论： 句子C： “如果C，则F” 。

只需要一些显然无害的逻辑推导规则， 则仅从句子C的存在就证明了任意主张F， 产生了矛盾。

由于F是任意的，因此具有这些规则的任何逻辑都可以证明一切。 悖论可以用自然语言和各种逻辑来表达，包括集合论，λ演算和组合逻辑的某些形式。

这个悖论由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里（Haskell Brooks Curry）提出， 并且以其命名。

所有可以称为“柯里悖论”的悖论共同特征是，它们以连接词或谓词形式，利用蕴涵等概念。 柯里悖论出现于许多不同的领域。 就像罗素悖论一样，它可以是集合论或属性论的悖论的形式出现。 但是，它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现。 柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论都不同，因为它本质上并没有涉及否定的概念。 常见的真，理论版本包含一个句子，该句子对的自身说明：如果它是真实的，那么任意选择的主张是真实的。或者使用更差的实例来说明自身，如果它是真实的，那么每一个虚假都是真实的。这样一个句子的存在似乎暗示着任意选择的主张的真实性，或者（在更差的情况下）每一个虚假的事实都是如此， 所以是悖论。

非形式化论证

条件命题形式为：

“如果A，则B”

证明条件命题（命题形式为：“如果A，那么B”）的标准方法称为“条件证明”。 在该证明方法中，为了证明“如果A，则B”，1） 首先假设A，2) 然后在该假设下B被证明是正确的。

柯里悖论使用一种特殊的自指条件命题（self-referential conditional sentence），如以下示例所示：

句子X为：“如果X，则Y”。

按上面标准方法(“条件证明”)，证明条件命题X时， 首先假设X成立， 由条件命题本身“如果X，则Y”， 则 “Y”成立； 因此推导出，X成立。 由于“Y”是任意的， 也可以用任何其他命题代替，因此，仅使用公认的逻辑推理方法，每个命题似乎都是可以证明的。不但可以证明Y，亦可以证明¬Y，这种情况是自相矛盾的。

另一个例子如下：

如果这句话是正确的，那么德国与中国接壤。

尽管德国没有与中国接壤，但例句当然是自然语言的句子，因此可以分析该句子的真实性。悖论来自此分析, 分析包括下面两个步骤：

1. 首先，可以使用上面的标准方法(“条件证明”)证明例句是正确的。

2. 其次，例句可以用来证明德国与中国接壤。因为德国不与中国接壤，所以这表明其中一个证据有误。

“德国与中国接壤”的命题可以用任何其他命题F代替，并且该命题F仍然可以被证明。

形式化论证

命题逻辑证明

上一节中的示例使用了非形式化的自然语言推理。柯里悖论也出现在某些形式逻辑中。在这种情况下，它表明，如果我们假设存在一个形式句子（X→Y），其中X本身相当于（X→Y），那么我们可以用形式证明来证明Y。有关本节中使用的逻辑符号的说明，请参阅 逻辑符号表。 用命题逻辑的形式证明如下：

1. X := (X → Y) 起点。 相当于， 这句话： “如果这句话为真，则 Y”

2. X → X 通过同一律

3. X → (X → Y) 根据1，X 等于 X → Y； 所以用X → Y替换 2 的右侧

4. X → Y 从 3 通过紧缩规则

5. X 将 4 替换为 1

6. Y 根据5和4并通过肯定前件规则

在已知 Y 的值（true or false）的特定情况下，只需几个步骤即可揭示矛盾。例如，当Y是“德国与中国接壤”时，就知道Y是假的。

1. X = (X → Y) 前题

2. X = (X → 假) 由1 代入 Y 的已知值

3. X = (¬X ∨ 假) 由2 换去“蕴含”

4. X = ¬X 由3

另一种证明是通过 皮尔士定律(注： 皮尔士定律是 排中律的推论), ((X → Y) → X) → X 。证明如下：

如果 X = X → Y，则 (X → Y) → X。根据皮尔士定律 和 肯定前件规则，意味着X 和随后的 Y（如上面的证明）。

关于 皮尔士定律是 排中律的推论， 见： 枫叶村民：命题逻辑的皮尔士定律（ Peirce's law ）

讨论

在命题逻辑中，以运算符号依文法规则由原子公式创建起的公式称为 合式公式。X = (X → Y) 是命题逻辑中一个 合式公式， 在有自递归时，存在不一致性（矛盾）。 Curry's悖论表明，容许自递归表达式的命题逻辑系统是不一致的。

Curry's悖论可以在支持基本逻辑操作并允许构建自递归函数作为表达式的任何语言中进行表述。自然语言几乎总是包含许多可用于构建悖论的特征，许多其他语言也是如此。在 20 世纪 30 年代，Curry's悖论和相关的克莱恩-罗瑟悖论（ Kleene–Rosser paradox）在表明基于自递归表达式的形式逻辑系统是不一致的方面发挥了重要作用。其中包括某些版本的 lambda 演算和组合逻辑。

悖论分类

英国数学家、哲学家兼经济学家拉姆齐(Frank Plumpton Ramsey)于1925年最早把逻辑悖论同语义悖论(英文:Semantical Paradox)区别为两个类别, 见文献 的第二章逻辑与数学基础(The Foundations of Logic and Mathematics)，罗素悖论属于前一类，说谎者悖论属于后者。拉姆齐认为，逻辑矛盾涉及数学或逻辑术语(例如类，数)，因此表明我们的逻辑或数学存在问题。而语义矛盾除纯逻辑术语外还涉及“思想”，“语言”，“符号”等概念, 根据拉姆齐的观点，它们是经验性(非形式)术语。

柯里悖论可以像罗素的悖论一样，采取集合论或属性论的逻辑悖论的形式。 但是它也可以采取语义悖论的形式，非常类似于说谎者悖论。

柯里悖论的意义

关于柯里悖论的讨论强调，因为其并不“本质上涉及否定”, 它与罗素悖论和说谎者悖论有实质性不同。 一些具有弱否定原理的 非经典逻辑(比如， 次协调逻辑)， 可以解决罗素悖论和说谎者悖论，但仍然容易受到柯里悖论的影响。希望能够避免柯里悖论的这一要求在非经典逻辑的发展中起了重要作用。

参考资料：

1. Shapiro, Lionel and Jc Beall, "Curry’s Paradox",The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Winter 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = ＜ plato.stanford.edu/arch...＞.

2. , "Curry’s Paradox" en.wikipedia.org/wiki/C...

3. Cantini, Andrea and Riccardo Bruni, "Paradoxes and Contemporary Logic",The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Fall 2021 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = ＜ plato.stanford.edu/arch...＞.

4. Paradox en.wikipedia.org/wiki/P...

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。