数学联邦政治世界观
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第八章拓扑空间上的Choquet Game

EDST后面势必要进入Game theory,这里熟悉一下game的基本套路。

定义1:给定一个拓扑空间X ,A ⊂ P(X) 为 X 的非空子集的族。定义 A 上的Choquet game C(A) 为一个两个人的游戏, l 和 ll ,其中 l 先手,枚举一个 A₀ ∈ A ,然后 ll 枚举一个 B₀ ⊆ A₀ ,继续 l 枚举一个 A₁ ⊆ B₀ ,……,这样交替下去直到无穷,满足 Aₙ ⊇ Bₙ ⊇ Aₙ₊₁,∀n 。现在我们说玩家 l l 赢得游戏当且仅当 ∩ₙ Aₙ=∩ₙ Bₙ ≠ ∅ 。我们称一局比赛是指两个玩家交替枚举之后得到的无穷序列 (A₀,B₀,A₁,B₁,· · ·) 。

l A₀ A₁ · · ·

l l B₀ B₁ · · ·

Choquet Game

也就是说,玩家l l 希望最终的交集非空,玩家 l 则希望为空。两个玩家的区别仅仅是谁先手谁后手。

定义2:玩家l 的一个策略是指一系列函数 {fₙ}ₙ∈ω ,使得 dom(fₙ)={(A₀,B₀,· · ·,Aₙ₋₁,Bₙ₋₁):(∀i<n – 1)Aᵢ ∈ A ∧ Aᵢ ⊇ Bᵢ ⊇ Aᵢ₊₁} 而且 A ∋ fₙ(A₀,B₀,· · ·,Aₙ₋₁,Bₙ₋₁) ⊆ Bₙ₋₁也就是说, fₙ 给出了玩家 l 在第n阶段依据前面所有信息应该枚举的元素。类似的可以定义玩家 l l 的策略。

定义3:称玩家l 有一个必胜策略,当且仅当存在 l 的策略 {fₙ} 使得只要玩家 l 严格按照这个策略玩,不论玩家 l l 出什么, l 总会赢得游戏。玩家 l l 有一个必胜策略的定义类似。

下面是一个有趣的定理。

定理(Oxtoby):任给一个拓扑空间X ,令 A 为 X 的所有非空开集的族。那么Choquet game C(A) 的玩家 l 没有必胜策略当且仅当 X 是Baire空间当且仅当 X 的任何可数个稠密开集的交是稠密的。

proof:假设 X 不是Baire空间,则存在一个非空开集 U₀ 和一列稠密开集 {Oₙ}ₙ∈ω 使得 ∩ₙOₙ∩U₀=∅。下面我们来构造 l 的一个必胜策略。 l 先手枚举 U₀ ,在第n>0阶段,我们已经有了 (U₀,V₀,· · ·,Uₙ₋₁,Vₙ₋₁) ,这时,因为 Oₙ₋₁ 是稠密开的,所以 Oₙ₋₁∩Vₙ₋₁ ≠ ∅ 为开集,这时 l 枚举 Uₙ=Oₙ₋₁∩Vₙ₋₁ 。根据这个策略,最终有 ∩ₙUₙ ⊆ (∩ₙOₙ) ∩ ∪₀=∅。所以根据这个策略玩家 l 必胜。

另一方面,假设l 有一个必胜策略 {fₙ} 。设 l 先手枚举的元素为 U₀ ,下面证明 U₀ (作为开子空间)不是Baire的。我们递归的定义一个集合 S ⊆ (P(X))<ω ,首先 ∅∈S ,若 (U₀,V₀,· · ·,Uₙ₋₁,Vₙ₋₁) ∈ S,则 (U₀,V₀,· · ·,Vₙ₋₁,Uₙ) ∈ S ,其中 Uₙ=fₙ(U₀,V₀,· · ·,Uₙ₋₁,Vₙ₋₁) ;另外,假设 (U₀,V₀,· · ·,Uₙ) ∈ S,这时,先定义对每个 Vₙ ⊆ Uₙ 非空开, Vₙ*:=Uₙ₊₁=fₙ₊₁(U₀,V₀,· · ·,Uₙ,Vₙ) 。令 ν 为所有具有如下形式的集合的类: A ⊆ P(Uₙ) ∧ ∀V ∈ A(V is nonempty open) ∧ A*:={Vₙ*:Vₙ ∈ A}is a pairwise disjoint set.

上面的集合包含关系是个偏序,且每个链都有上界,由Zorn's Lemma,存在 νₙ ∈ ν 为极大元。这时,我们将所有 (U₀,V₀,· · ·,Uₙ,Vₙ,Vₙ*) 放入 S ,其中 Vₙ ∈ νₙ 。注意到 uₙ={Vₙ*:Vₙ ∈ νₙ} 是两两不交的且 ∪uₙ 在 Uₙ 中是稠密的。

现在设Wₙ=∪{Uₙ:∃(U₀,V₀,· · ·,Uₙ) ∈ S} ,则 Wₙ 是开的,而且在 U₀ 中稠密(这可以通过归纳得到)。我们断言 ∩ₙWₙ=∅ ,如果存在某个 x ∈ ∩ₙWₙ ,则存在唯一的 (U₀,V₀,U₁,V₁,· · ·) ∈ [S] 使得 x ∈ ∩ₙUₙ (唯一性由 uₙ 两两不交得到),但这与 {fₙ} 为玩家 l 的必胜策略相矛盾。 ▢

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