数学论文（建构性公理的多重宇宙观）

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注：（2/2）章节！

首先，观察3.1中表达了一个简单的观察结果，即L和V满足相同的一致性断言。对于任何可施工的理论T在任何语言中——我所说的“可建构”理论的意思就是T∈L，这适用于任何c.e.理论，如ZFC加上任何通常的大基数假设——可构造宇宙L和V的一致性T的一致性，因为它们从T得到了完全相同的证明。它由此，根据完备性定理，它们也有模型完全相同的可构建理论。

观察3.1：可构造宇宙L和V在任何可构造理论的一致性上是一致的。他们有相同的可构建理论的模型。

因此，这个简单的事实表明，当断言V=L时我们可能会继续做出所有相同的一致性断言，例如Con（ZFC+可测量基数），具有与我们可能希望在V中这样做，并且我们相应地找到了L中最受欢迎的强理论。也许怀疑论者担心L中的那些模型在某种程度上有缺陷？也许我们只发现了一些没有根据的模型我们在L？根据下面的定理，根本不是事实当我几年前第一次了解它时，我大开眼界。

定理3.2：可构造宇宙L和V具有传递模型集合论语言中完全相同的可构造理论证明：给定理论T具有传递模型的断言具有复杂性∑1.2.（T），形式为“有一个实编码一个满足T的有充分基础的结构”，因此它在L和V之间是绝对的绝对性定理，前提是该理论本身在L中。

因此，一个人可以有非常强的大的传递模型基数理论而不离开L。例如，如果存在传递性ZFC+理论的模型“存在一类适当的Woodin基数”，那么在L内部存在这样一个传递模型。定理有以下内容有趣的结果。

推论3.3：（Levy-Shoenfield绝对性定理）特别是L和V满足相同的∑1句子，参数可遗传计数。事实上，Lω1L和V满足相同的这样的句子。

证明：由于L是一个传递类，因此L是∆0-初等V的子结构，所以∑1的真值很容易从L向上到V。相反，假设V满足∃xΓ（x，z），其中Γ是∆0，z是遗传的，在L中是可数的。因此，V具有理论的传递模型，以及传递闭包z的原子图和一个双射的ω。通过观察3.1，可以看出L也具有这样的模型。

但是这个理论在L中的传递模型意味着根据需要，x∈L与ξ（x，z）。由于证人在L中是可数的，我们发现Lω1L中的见证。

相反，我们可以通过Shoen提供推论3.3的直接证明-域绝对性定理，然后将定理3.2视为结果，因为在中存在给定理论的传递性模型的断言L是关于该理论的∑1断言。

我现在想更进一步。L和V不仅具有传递性同样强大理论的模型，但更重要的是，任何给定的模型集合论原则上可以延续到V＝L的模型。首先讨论了可数传递模型hM，∈i的情形。

定理3.4：每个可数传递集都是可数传递集合ω-模型的充分成立部分。

证明：该语句在L内为真，因为每个可数传递集的元素是一些可数Lα的一个元素，它是传递的并且满足V=L。

此外，断言的复杂性是π1.2.，因为它断言对于每个可数传递集，都有另一个可数对象满足与其相关的某个算术性质。因此，通过肖恩菲尔德绝对性定理，这个说法是正确的。

因此，每个可数传递集对的模型都有一个末端扩展V＝L，其中它是一个集合。特别是，如果我们有一个可数传递函数模型hM，∈i|=ZFC，也许这是一些非常强的模型诸如一类适当的超紧基数的大基数理论，则存在一个模型hN，∈Ni|=V=L，它的M为元素，使得∈N的隶属关系与∈N一致关于M的成员。这意味着N的序数是有充分根据的至少到M的高度，所以N不仅是ω-模型，而且是ξ-模型中ξ=OrdM，我们可以假设隶属关系N的∈N是秩达到并远超集的标准关系∈ξ。此外，我们还可以安排模型满足ZFC−，或者ZFC的任何期望的有限片段，因为这个附加要求是在L中可实现，并且满足它的断言仍然具有复杂性π1.2.。

如果存在任意大的λ＜ω1L，其中Lλ|=ZFC，则假设源自一个无法访问的基数的存在（或者仅仅源自ZF的不可数传递模型），则可以类似地得到ZFC在期望的端部延伸中。

集合论模型是点可定义的，如果模型中的每个对象在没有参数的情况下是可定义的。这意味着V=HOD，因为事实上不需要顺序参数，应该将其视为V＝HOD的强形式，因为这意味着模型是可数的，不是一阶可表达的。

[10]的主要定理是ZFC的每个可数模型（和simi-特别是对于GBC）具有可逐点定义的类强制扩展。

定理3.5：如果Lλ|=ZFC存在任意大的λ<ω1L，则每个可数传递集M是结构M+内的可数传递集合，M+是ZFC+V=L的点可定义模型，并且M+是好的根据需要建立在可数的序数中。

证明：详见[10]。首先，注意L中的每个实数z都在逐点可定义的Lα，否则，L-东反例z将在Lω1中可定义，因此在Lω中∅的Skolem壳中可定义哪一个坍缩为逐点可定义的Lα，其中z是可定义的，这是一个矛盾。

对于任何这样的α，设Lλ|=ZFC恰好具有α，许多更小的Lβ满足ZFC，因此α和z在Lλ中是可定义的，其Skolem壳为∅。

因此折叠成ZFC+V=L的逐点可定义模型，包含。因此定理的结论在L中成立。由于这个定理的复杂性断言是π1.2.，因此，它对V是绝对的，由Shoenfield绝对性决定定理。

定理3.4和3.5列举了一些引人注目的例子。假设为0的实例♯存在。考虑到它是真实的，论证表明0♯存在于ZFC+V=L的逐点可定义模型内，有充分的依据远远超过ω1L。因此，我们实现了一种奇怪的情况，在这种情况下，真实的0♯坐在一个有充分根据的V=L模型中，不可识别，但可定义很长一段路。对于第二个例子，考虑由迫使ω1坍塌为ω。通用滤波器g由实数编码，因此在存在一个模型M|=ZFC+V=L，其中g∈M且M成立超过ω1V。模型M认为通用对象g实际上是可构建的，在某个（必然是非标准的）阶段构建的ω1V。这些型号肯定不寻常。

当然，这些论点的主题可以追溯到Barwise的一个优雅定理，定理3.6，断言ZF的每个可数模型具有ZFC+V=L模型的末端扩展。在Barwise定理中原始模型只是末端扩展的一个子集，而不是如定理3.4和3.5中所述的末端扩张的元素。通过放弃目标是使原始宇宙本身最终成为一个集合，Barwise只寻求使原始宇宙的元素，从而能够实现ZFC+V=L的完整理论末端扩展，没有定理3.5中的额外假设，其中这里不能省略。另一个重要的区别是Barwise的定理3.6也适用于非标准模型。

定理3.6：（Barwise[2]）ZF的每个可数模型对ZFC+V=L的模型都有一个内延。

M→L

让我简单地概述一下在可数传递模型的情况下的一个证明M|=ZF。对于这样一个M，设T是理论ZFC加上无穷大断言σa=∀z（z∈a）⇐⇒W b∈a z＝b），对于每个a∈M，在Lω1，ω常符号集理论语言a对于每个元素a∈M。

在M意义上的L∞，ω逻辑中可表达的σa断言，确保T的模型精确地（直到同构）是满足ZFC的M的内延。因此，我们所寻求的是理论T+V=L。假设朝向矛盾的方向没有。我声称

因此，在L∞，ω逻辑的无穷演绎系统，其无穷规则如下：

由i∈i的σi推导出V iσi。此外，我声称存在这样一个M内部的证明。假设不是。那么M认为理论T+V=L是在L∞，ω逻辑中是一致的。因此，我们可以进行Henkin施工通过建立一个扩展T+V=L的新理论T+⊆M无限多个新的常量符号，一次添加一个新句子，每一个都只涉及有限多个新常数，以这样的方式以确保（i）每个阶段的扩展保持M-一致；（ii）T+最终包括M中任何给定的L∞，ω句子或其否定，对于只涉及有限多个新常数的句子；（iii）T+已Henkin性质，因为它包含∃xξ（x，~c）=⇒ξ（d，~c），其中d为一个新的常数符号，专门用于这个公式；以及（iv）每当析取W iσi在T+中，那么也有一些特定的σi在T+中。我们可以建造这样的T+在ω的许多步骤中，就像在经典Henkin构造中一样。如果N是从T+导出的Henkin模型，那么一个归纳论证表明N满足T+中的每一个句子，特别是，它是的一个模型T+V=L，这与我们认为该理论没有模型的假设相矛盾。

所以在演绎中必须有一个从T+V=L的矛盾的证明M内部的L∞，ω逻辑的系统。由于断言存在这样一个证明是集合论语言中的∑1断言，它遵循Levy-Shoenfield定理（推论3.3）证明了LM内部存在这样一个证明，实际上，在LMω内部1..这个证明是LM中的可数对象，并且使用σα仅对α∈LMω的公理1.但是LM满足理论T+V=L以及所有这些a的σα，因此是一个理论模型我们产生了矛盾。这违反了推导的合理性。

因此T+V=L毕竟有一个模型。因此，M有一个根据需要，满足ZFC+V=L的末端扩展，这就完成了证据。

我们可以得到一个更强的定理，其中每个α∈M在末端可拓模型中都是可数的，只需添加断言α是可计数到理论T。关键是，最终的证据LMω内部存在矛盾1.，因此模型LM满足相关α的这些附加断言。类似地，我们也可以安排端扩展模型是逐点定义的，这意味着中的每个元素它在没有参数的情况下是可定义的。这是通过将无限断言⇐⇒x=z），取析取所有一阶公式。这些断言确保每个z由一个一阶公式，重点是在证明中产生的σa可以不仅取自LM，而且取自可定义的元素，因为它们构成LM的基本子结构。

值得注意的是，即使对于非标准模型M，该定理也是成立的，但是上面的证明需要修改，因为M的无限演绎可能不是有充分依据的推论，这就妨碍了稳健性的使用以达到最后的矛盾。（人们可以将矛盾内化为健全性，如果M恰好具有不可数的Lβ|=ZFC，或者甚至仅仅是任意大的这样的β低于（ω1L）M。）达到一般。

然而，在这种情况下，Barwise使用了他的紧致性定理[1]和用一个密切相关的可容许覆盖代替不成立的模型M可容许集，在其中可以找到期望的有充分根据的推论并最终进行本质上相似的论证。我推荐读者至[2]和[3]中的账户。

然而，事实证明，人们并不需要这种额外的技术在ZF的ω-非标准模型M的情况下，让我来解释这个例子。假设M=hM，∈Mi是ω-非标准模型ZF。设T再次是α∈M的理论ZFC+σα，其中再次σα=∀z（z∈α）⇐⇒W b∈Mα z＝b）。假设没有T+V=L的模型。

考虑非标准理论ZFCM，它包括许多非标准公式。根据反射定理，ZFC公理的每个有限集合在任意大的LM中为真β，所以通过过度填充一定存在非-标准有限理论ZFC*在M中，包括所有标准ZFC公理M认为在某些LM中持有β对于一些不可数序数β在M中，设T*为理论ZFC*加上α∈M的所有σα。这个理论∑1在M中是可定义的，并且我声称M必须有一个从无穷逻辑LM中的T＊+V＝L的矛盾的证明∞，ω。如果不是，则相同如上所述的Henkin构造仍然有效，使用M内部的非标准公式，并且相应的Henkin模型满足所有实际（有充分根据的）T＊+V＝L中的断言，包括所有T＋V＝L，与我们的初步假设相矛盾。所以M有一个矛盾的证明从T*+V=L。由于存在这样一个证明的断言是∑1，我们再次在LM中甚至在LMω中找到一个证明1.。但我们现在可以向M认为LMβ是ZFC*的型号对每个α∈LMω加σα1.哪一个与M内部无限演绎系统的健全性原则相矛盾。重点是，即使演绎是不标准的没关系，因为我们不是在外部而是在内部应用稳健性M。矛盾表明T+V=L毕竟必须有一个模型，因此M具有满足ZFC+V＝L的末端延伸。此外，我们还可以确保M的每个元素在末端延伸如前所述。

让我在本节结束时提到另一个意义。

集合论的可数模型与V＝L原则上是相容的。

定理3.7：（Hamkins[6]）集合论的每个可数模型hM、 ∈Mi，包括每一个传递模型，同构于一个子模型它自己的可构造宇宙hLM，∈Mi。换句话说，有一个嵌入j:M→LM，它是无量词断言的基础。

另一种说法是，集合论的每个可数模型都是同构于LM的模型的子模型。如果我们住在M里面，那么添加新的集合和元素，我们的宇宙可以转变为可构建宇宙LM的副本。

4.集合的一个向上可拓概念

现在我想解释一下在上一节削弱了对V的支持V≠L通过最大化位置，尤其是那些倾向于多元或多元宇宙的集合论者主题的概念。

在我看来，定理3.2已经提供了严重的阻力到V≠L通过最大化论证，即使没有多元宇宙的想法应随后进行讨论。重点很简单，大部分的力量和然而，当仅进行大基数理论时，仍然提供了在V=L下假定丢失的大基数集理论的内容对于可数传递模型，定理3.2表明这可以是在保持V=L的同时完成。我们经常认为一个大的基数论点或建筑同样重要——比如Baumgartner在具有超紧凑基数的模型——因为它有助于我们理解集合论可能性的范围更大。事实上极大范围的集合论可能性是的中心发现过去半个世纪的集合论，人们想要对其进行哲学解释这一现象。大的基本论点通过揭示设定我们可能向往的理论情境。例如，由于Baumgartner的论点，我们可以用自由断言ZFC+PFA与我们对ZFC的热情和信心一样，再加上一个超紧凑基数，我们还获得了关于如何转换的详细知识后一种理论的宇宙到前一种理论，以及这些世界是如何是相关的。d对那个结构的修改是把我们带到世界的原因其中MM持有和MM+等等。从这个角度来看，很大一部分大基数论证的价值已经由我们的能力提供了在ZFC的传递模型上执行，而不是在整个模型上宇宙V。

当我们仅在可数传递模型上工作时，我们获得了真正的集合论见解，这一观察结果得到了以下事实的加强对许多集合来说，向可数传递模型的转移是或至少曾经是理论家，官方程序的传统部分技术被形式化了。（也许当代更常见的观点是这是一种不必要的教学简化，因为可以在内部将强制V形式化为ZFC结构。）另一个支持[4]的内部模型假设提供了一个例子，这是一个最大型原理，其形式化似乎需要人们思考宇宙是一个玩具模型，因为公理是关于V的，因为它是存在的在更大的宇宙中的可数传递模型。简而言之我们希望用我们的强集合理论实现的仅仅是已经实现的通过具有这些理论的传递模型，定理3.2表明任何和所有这类传递模型的存在性是完全的和同样与我们保留的V=L一致。因此，V≠L通过最大化论证开始失去力量。

几乎每一个接受一些强集合论假设ψ的集合论者通常也愿意接受ZFC+ψ的假设在传递模型中成立。可以肯定的是，从假设ψ到断言“存在ZFC+ψ的传递模型”是严格递增的在一致性强度方面，一个明确的进步，但一小步。正如哲学逻辑学家经常讨论的一般原则一样，如果你是愿意断言一个理论T，那么你也愿意或者应该也愿意为了断言“T是一致的”，在集合论中我们有相似的原理，如果你愿意断言T，那么你现在或者应该愿意断言“存在T的传递模型”。更重要的是，这样一个原则本质上相当于哲学的数学内容反射论点，如[18]中，经常用于证明大基本公理。因此，有一种翻译可以映射任何强集合论假设ψ对断言“存在传递模型”的证明ZFC+ψ’，在描述方面具有相同的解释力集合论可能性的范围，但由于的定理部分3保持与V=L兼容。

这一观点似乎反驳了斯蒂尔在本文开头部分提到的说法，即从大基数领域到V=L上下文“没有翻译”，“添加V=L……阻止了我们不要问那么多问题。”也就是说，V=L的信徒似乎完全相信能够与任何大型基数集理论家进行有意义的交谈，简单地通过想象大基数集理论家目前生活在可数传递模型。通过应用翻译ψ7−→'存在ZFC+ψ'的传递模型，V＝L的构造在力量上超过了大基数集合论家，同时保持V=L，同时保持完全能够分析和携带找出大基数合论家的论点和构造传递模型。此外，如果大基数集理论家相信她的公理由于哲学反思原理的论证，那么她同意集合论真理最终是在及物性中被捕获的设置，因此最终她同意V=L信徒的进步把大基数理论放在一个传递集合中。这很简单增强了V=L信徒捕捉到的准确性情况。尽管我正在讨论的翻译不是一个“公正的解释”在[16]的技术意义上，正如第2节所讨论的，尽管如此，在我看来，从某种意义上说，这是一个公平的解释，因为允许V=L信徒理解和欣赏大基数集合论者的论点和建构。

现在让我更进一步。我的主张是，在多元宇宙的观点上在[9]中描述它（另见[5，8，7]），完整的外部多元宇宙的性质V在一定程度上是通过我们在集合论的可数模型。据我们所知，我们的当前集合论宇宙V只是在另一个大得多的宇宙中的一个可数传递集宇宙V+，它将V视为一个玩具。所以当我们能够证明某种行为在任何模型的玩具多元宇宙中都是普遍存在的根据集合论，那么我们应该期望在玩具中也能发现这种行为V+的多元宇宙，包括实际的很大一部分V的多元宇宙。通过这种方式，我们开始了解完整的多元宇宙通过对玩具模型多元宇宙进行一般性研究。只是由于每个可数模型都有实际的强制扩展，我们期望我们的宇宙具有实际的强制扩展；就像每个可数模型一样可以最终推广到V=L的模型，我们期望整个宇宙V可以最终扩展到其中V＝L成立的宇宙；等等。如何，幸运的是，研究可数之间的联系集合论的模型是一种纯粹的数学活动在我们的理论范围内。这些数学知识，如结果，第3节中提到的或[5]的结果，表明多元宇宙[9]的公理在可数可计算饱和模型中成立集合论反过来又支持关于自然的哲学结论全套理论多元宇宙。

玩具多元宇宙的普遍特征是证据的原则因为完整多元宇宙中这些特征的真实性是一个反映原则类似于那些经常被用来为大基数提供哲学理由的东西。正如这些反思原则认为完整的宇宙V从根本上是不可访问的，但反映在各种各样宇宙中较小的部分，这里的原理是关于完整的多元宇宙从根本上说是不可访问的，但在一定程度上作为给定宇宙中的玩具多元宇宙出现在当地。因此，我们对模型多元宇宙成为完整多元宇宙的证据。

最终，多元宇宙的愿景需要一个向上可扩展的集合概念，其中任何当前的集合论宇宙都可以扩展到一个更大、更高的宇宙。当前的宇宙变成了一个可数的在一个更大的宇宙中的模型，它有更大的扩展，有些具有大基数，有些没有，有些有连续体假设，有些没有，有些具有V=L，有些没有，在一系列比我们想象的持续时间更长的进一步扩展中。似乎有0的模型♯扩展到更大的模型，其中0的版本♯不再作为0♯，根据新的序数。任何给定的集合论情形都是可见的与V=L基本兼容，如果愿意移动到一个更好、更高的宇宙。每一个集合，每一个集的宇宙，都变成。

如果我们等待足够长的时间，既可计数又可构造。因此，可构建的宇宙L成为患者的回报，揭示了隐藏的任何给定数学对象或宇宙的可构造性结构，如果一个人应该只将序数扩展到一个人当前的理论宇宙之外足够远的地方。这个视角使V≠L通过最大化其头上的自变量，因为通过最大化序数，我们似乎能够恢复V=L，我们可以随心所欲，将我们当前的宇宙扩展到更大和以各种方式摧毁更高的宇宙，达到V=L并以时断时续的模式，在集合论多元宇宙中密集向上，当序数永远向上建立，最终超越任何特定的他们的概念。

参考文献

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3.Jon Barwise。可接受的集合和结构。施普林格出版社，柏林，1975年。一种可定义性理论的方法，数理逻辑透视。

4.Sy David Friedman。内部一致性和内部模型假设。公牛符号逻辑，12（4）：591–6002006。

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10.乔尔·大卫·哈姆金斯、大卫·莱涅茨基和乔纳斯·雷茨。可点定义集合论模型。发表在《符号逻辑杂志》上。

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