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V-Logic

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V-Logic

［V-logic］

①V逻辑多重宇宙（The V -logicMultiverse〈“集合论多重宇宙”的概念在关于集合论基础的争论中出现并逐渐得到重视。

到目前为止，已经提出了几个集合论多重宇宙的概念，所有这些概念都有优点和缺点。

Hamkins的广义多重宇宙([4])，由集合论公理集合的所有模型组成，在哲学上是稳健的，但在数学上是不吸引人的，因为它可能不能满足集合论的基本要求。

steel的集泛多重宇宙([5])由公理ZFC+Large Cardinals的所有布尔值模型VB组成，在数学上是非常有吸引力和丰富的，但过于局限。

特别是，它不能捕获所有可能的外部模型，只关注集合泛型扩展。

最后，Sy Friedman的超宇宙概念([2])，虽然在数学上是多才多艺的，并且具有基础性的吸引力，但其主要缺点是假设V是可数的。

在本文中，我们引入了集合论多重宇宙的一个新概念，即“V-logic多重宇宙”，它扩展了在超无量纲程序([1]，[3])中进行的数学工作，但也利用了集合广义多重宇宙的特征，特别是Steel提出的对它的公理化。

V-逻辑是一种无限逻辑(一种允许公式和无限长度证明的逻辑)，其语言Lκ+，ω，除了一阶逻辑中已经使用的符号之外，还包括κ-多个常数α，每个常数α∈V。

在V-逻辑中，当且仅当M是V的外部模型时，可以保证某些模型M满足关于ZFC+ψ的一致性的陈述，对于某些集合论陈述ψ，当且仅当M是V的外部模型。

通过集合强制、类强制、超类强制以及通常任何能够产生V的宽度扩展的模型理论技术获得的模型。

因此，通过选择合适的一致性声明，我们可以生成具有特定特征的外部模型M。

V逻辑多元宇宙正是V的所有这些外部模型的集合。）

②steel的计划：证据框架、核心和终极-L（Steel’s Programme: EvidentialFramework， the Core and Ultimate- L〈我们利用Steel的多元宇宙公理$\mathf{MV}$和“核心假设”，来确定集合论的“首选”宇宙和扩展$\mathf{ZFC}$的最佳公理。

在第一部分中，我们考察了$\mathf{MV}$的证据框架，特别是大基数和通过强制“表示”$\mathf{ZFC}$的可选扩展而获得的“世界”的使用。

在第二部分中，我们讨论了$\mathf{MV}_T$(其中T是$\mathf{ZFC}$+Large Cardinals)核的存在性和可能的特征。

在最后一部分，我们讨论了核是Ultimate-L的假设，并基于这一事实检验了Core Universist是否以及如何证明V=Ultimate-L是$\mathf{ZFC}$的最佳(和最终)扩展。

为此，我们考虑了几种策略，并根据$\mathf{MV}$的证据框架评估了它们的前景。〉）

多元宇宙上的麦蒂（Maddy On TheMultiverse）佩内洛普·马迪(PenelopeMaddy)最近谈到了集合论多重宇宙，并对其地位和优点表示了保留(Maddy，《集合论基础》，收录于：Caicedo et al(eds)《数学基础》。

《纪念休·伍丁60岁诞辰的论文集》，《当代数学》，美国数学学会，普罗维登斯出版社，第2页。

本文的目的是利用集合论自然主义的解释框架来考察她的担忧。

我首先区分了“多元主义”的三种主要形式，然后继续分析麦蒂的关注。

除其他事项外，我考虑了多元宇宙相关数学的突出方面，特别是集合论中的研究项目，其中多元宇宙的使用似乎是至关重要的，并展示了如何根据对“多元宇宙实践”的仔细分析，对Maddy的关注做出回应。

④多元宇宙理论中柏拉图主义的消解（Abolishing Platonism in MultiverseTheories）至少在过去二十年中，数学基础中争论的一个问题是，通过依赖于除单个集合论宇宙之外的多个集合论宇宙的存在，是否可以合理地论证处理不可判定的数学问题

(例如，连续体假设(CH))的优点，即，与集合的累积层次相关联的众所周知的集合理论宇宙V。

多重宇宙的方法有一些不同版本的多重宇宙的一般概念，但我的意图是主要解决本体论的多重宇宙，例如，Hamkins或Vätänen所提倡的，正是因为他们宣称，在一个或另一个程度上，本体论的关注，以引入各自的多重宇宙理论。

同时，考虑到Woodin和Steel的多元宇宙版本，我提出了一个反对多元宇宙论的论点，并在一定程度上反对数学基础中的柏拉图主义，主要是基于主观基础，同时关注Clarke-Doane对Benacerraf挑战的关注。

我注意到，尽管这篇论文是在反对多元论的技术上构建起来的，但不可忽视的哲学部分在一定程度上受到了现象学观点的影响。

11集合论的点态可定义模型PointwiseDefinable Models of Set Theory逐点可定义模型是指其中每个对象都可定义，而在集合论的模型中，这个性质加强了V=HOD，但是不是一阶可表达的。

然而，如果ZFC是一致的，那么连续化ZFC的多个逐点可定义模型。

如果有传递式 ZFC模型，则存在连续体多个逐点可定义传递此外，ZFC的每个可数模型都有一个类强制可逐点定义的扩展。

本文认为，Godel-Bernay集合论的每个可数模型都有一个逐点的可定义扩展，其中每个集合和类都是一阶可定义的没有参数。

12多重宇宙公理的自然模型（ANatural Model of the MultiverseAxioms）如果ZFC是一致的，那么可计数的集合可计算地饱和 ZFC模型满足Hamkins提出的所有多重宇宙公理。

13接地公理与V=HOD一致（Theground axiom is consistent with V=HOD）基础公理认为，宇宙不是任何内部模型的非平凡集强迫扩展。

尽管这个断言具有明显的二阶性质，但它在集合论中是一阶可表达的。

以往已知的Ground Axiom模型都满足V=hod的强形式。

在本文中，我们证明了Ground公理与V=hod是相对一致的，事实上，ZFC的每个模型都有一个类强制扩张，即ZFC+ga+V=hod的模型。　

该方法适用于大基数：例如，每个具有超紧基数的ZFC模型都有一个类强制扩展，其中ZFC+ga+V=hod保留了超紧基数。

由Hamkins和Reitz[Rei06，Rei，Ham05]引入的Ground Axiom是集合论的宇宙不是任何内部模型的非平凡的集强迫扩展的断言。

即，GroundAxiom断言，如果ω是宇宙

V的内部模型，且G对于非平凡强迫是ω-generic，则ω[G]=V。

例如，在可构造宇宙L中，在模型L[0#]中，在可测基数的内部模型L[μ]中，在大多数情况下，在核心模型K中以及在集合论的许多其它正则模型中。

然而，令人惊讶的是，Ground Axiom并不在所有的正则内部模型中成立，因为Schindler已经观察到一个Woodin基数的最小模型M1是其迭代之一的强制扩展(也见下面的定理4)。

尽管GroundAxiom断言具有初步的二阶性质--毕竟，它量化了宇宙的所有内部模型--GroundAxiom实际上是集合论语言中的一阶表达。Reitz[Rei06，Rei]证明了这一点，并在Woodin的文章附录[Woo]中独立地隐含了这一点。

这些论点分别依赖于Laver[Lav]最近的工作，利用Hamkins[Ham03]的方法，以及Woodin[Woo]的独立工作，证明了集合论W的任何模型在其所有集强制扩张ω[G]中都是一阶可定义为一类的。

使用ω中的参数。

由于定义是统一的，因此可以通过量化在该定义中使用的可能参数来有效地量化V的可能地面模型。

Reitz[Rei06，Rei]识别参数的一阶属性，从而允许其成功地定义地面模型。

当然，在任何非平凡集强制之后，Ground公理失败，Reitz观察到它在某些非平凡类强制迭代之后仍然可以成立。

例如，McAloon[McA71]和其他人很久以前就展示了如何强制2000数学主题分类的强版本。

03E35、03E45、03E55。

关键词和短语，强迫，基性公理，序数可定义性，V=hod.我们注意到本文作者组成了三代数学：Reitz是Hamkins的研究生，Reitz是Woodin的研究生。

14L上强迫Souslin树改变自同构塔的高度（Changing the Heights ofAutomorphism Towers by Forcing withSouslin Trees over L）我们证明了在可构造宇宙中存在群，群的自同构塔通过强迫是高度可延展的。

这是这样一个事实的结果，即在合适的菱形假设下，存在足够多的高刚性非同构Souslin树，其同构关系可以通过强制精确控制。

15集合论真理的证据HYPERUNIVERSE计划（EVIDENCEFOR SET-THEORETICTRUTH AND THEHYPERUNIVERSEPROGRAMME）。

⑧在广义多元宇宙中上下移动（Moving Up and Down in the GenericMultiverse）我们简要介绍了一般多元宇宙的模态逻辑。

是一个双模态逻辑，运算符与关系“是一个强制”相对应。

“and”的扩展是“and”的基础模型。

被称为强迫的模态逻辑，我们在早期的工作中研究过。

这第二种关系的片断被称为理由和意志的模态逻辑这是第一次在这里学习。

另外，我们讨论了哪些组合的模态逻辑对于这两个片段是可能的。

⑨集合论的每一个可数模型都嵌入到它自己的可构造性中宇宙（Everycountable model of set theory embedsinto its own constructible universe）本文的主要定理是集合论的每一个可数模型 M，包括每个有良好基础的模型，同构于它自己的子模型换句话说，有一个嵌入的$j:M\到L^M$对于无量词的断言是基本的。

证明使用通用有向图。

组合数学，包括可数随机有向图的非循环版本，我称之为可数随机Q阶有向图和更高的类似物作为不可数的Fraisse极限产生，导致催眠有向图，集合齐次、类通用、超实数分级的非循环类有向图，与超现实数字紧密相连。

证明表明$L^M$包含一个子模型，它是秩为$Ord^M$的泛无环有向图。

证明了集合论的可数模型是线性的按嵌入性预先排序：对于集合论的任意两个可数模型，它们中的一个同构于另一个的子模型。

由嵌入性在有序类型中精确$\ω_1+1$预先良好有序。

具体来说，可数的有良好基础的模型按嵌入性排序根据序数的高度；每个较短的模型嵌入每一个更高的模型；集合论$M$的每一个模型对所有的都是通用的秩至多$Ord^M$的可数有依据二元关系，且集合论的病态模型对所有可数的非循环二进制是普遍的最后，加强Ressayre的一个经典定理，同样证明方法表明，如果$M$是PA的任意非标准模型，则每个集合论的可数模型--特别是ZFC的每个模型--是同构于$M$的遗传有限集$HF^M$的子模式。

确实，$HF^M$对于所有可数的非循环二元关系是通用的。

⑩集合论多重宇宙（The set-theoreticmultiverse）集合论中的多元宇宙观，在这篇文章中被介绍和论证，是这样一种观点：集合有许多不同的概念，每个概念都在一个相应的集合论宇宙。

相反，宇宙观认为有一个绝对背景集概念，有一个相应的绝对背景集集合论宇宙，其中每个集合论问题都有一个确定的回答。

多元宇宙的立场，我认为，解释了我们的经验与集合论可能性的巨大多样性，这一现象对宇宙观，特别是，我认为连续体假说通过我们对多元宇宙行为的广泛了解，确定了多元宇宙的观点在多元宇宙中，因此它不能再以以前希望的。

［玄宇宙种的高度反射］

Sharp/不可辨认生成-真理反射：

例子：0＃存在下的L，可测Vk的无穷迭代

形式：

1.强化Feferman宇宙链：

若V的高度至少是不可达基数，则有初等链：

Vk1→Vk2→Vk3→...→V∞，其中任意i，j∈V∞，都有Vki→Vkj，并且对于任意i∈∞，都有Vki→V∞

2.强不可辨认性

更一般的，对于任意两个n-元组(ωi1，ωi2，ωi3...)，(ωj1，ωj2，ωj3...)，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，都有(ωj1，ωj2，ωj3...)和(ωi1，ωi2，ωi3...)满足相同的，带ωi1∩ωj1中参数的一阶句子

3.高阶不可辨认性：

借鉴亚紧致基数的模式，对于任意位于初等链上的秩ki，kj，用H(ki+)^V与H(kj+)^V满足相同的一阶语句来模拟Vki与Vkj满足相同的二阶语句，考虑带参数的情况，由于ki在H(ki+)中的最大基数地位在H(kj+)中不再保持，正确的带参形式应该是如下的形式：

H(ki+)满足φ(ki)当且仅当H(kj+)满足kj，且存在非平凡初等嵌入j：H(ki+)→H(kj+)，且j(ki)＝kj　

高阶不可辨认性在如下意义上得到了“外宇宙链”的支持：

从H(ki+^α)到H(kj+^α)的嵌入不需要在V中，只需要在“真宇宙”中存在即可

4.高阶强不可辨认链：

考虑两个由诸宇宙组成并允许高阶参数的结构：

Wi＝＜H(ki0+^α)，H(ki1+^α)，H(ki2+^α)...＞，

Wj＝＜H(kj0+^α)，H(kj1+^α)，H(kj2+^α)...＞，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3...＜in)，(j1＜j2＜j3...＜jn)，总有非平凡初等嵌入j:ωi→ωj，且可以带任意通过初等嵌入“对应”的参数

也即是，ωi和ωj满足相同的一阶句子，这等价于两个由宇宙组成的结构满足相同的α阶句子，且带任意通过初等嵌入得到的参数

考虑将语言扩展到更高阶的情况，若语言允许将H(k+^α)视为参数，则得到由宇宙间聚合组成的二重聚合结构之间的正确链，同理，这样的反射可以像任意阶扩展

不可辨认反射中介更少，更直接，并且支持宇宙间关系反射，注意到超宇宙反射需要以On为中介进行多次反射才能将宇宙内的k发送到外宇宙序数Ω，而不可辨认/sharp反射允许将任意有限参数，以及宇宙本身作为参数的句子φ(V*，x1*，x2*...xn*)反射回V中，得到形如φ(Vk，x1，x2，x3...xn)←→φ(V*，x1*，x2*...xn*)的反射结果，也即，存在非平凡初等嵌入(这个嵌入不需要在V中或V*中)j:V→V*，cr(j)＝k，且j(k)＝k*，任意x∈V，都有j(x)＝x*

5.不可辨认生成

称宇宙V是不可辨认生成的，当且仅当：

1.有一个长度为 On的连续序列κ0＜κ1＜...，使得κOn=On，并且有换元初等嵌入πi，j:V→V，其中πi，j有临界点κi且π(κi)＝κj

2.对于任何 i≤j，V的任何元素在V中都可以被πi，j值域中的元素和{κ∗:i≤∗＜j}内的元素一阶定义

6.＃-生成

称一个结构(N，U)是一个sharp，当且仅当：

1.N是一个弱ZFC模型(ZFC-pow，替换公理可以换成收集公理)，且存在最大基数k，且k是一个强不可达基数——允许存在这样一种情况，对于任意α＜k，P(α)∈N，但是对k本身则有P(k)∉N

2.(N，U)是amenable的，即x∈N蕴含x∩U∈N

3.U是k上的一个normal超滤，对于任意退行函数f:k→k，f(α)＜α，存在β＜k，使得{α:f(α)＝β}∈U

4.N是可迭代的，并且任意从(N，U)出发的迭代超幂都是良基的(N自己当然也是)，它们构成一条无界长的迭代链：

(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...

对于任意i，j，i＜j，有πij(Ni)＝Nj，πij(Ui)＝Uj

虽然这样的初等嵌入会被宇宙识别为Σ1初等嵌入，但是在宇宙外可以归纳证明其为初等嵌入，证明的核心思想为：

取j:Ni→Nj为Σ1初等嵌入，对于任意Σ1语句φ，Nj满足任意x，φ(x)，则存在Vα^Nj，任意x∈Vα^Nj，φ(x)，由于j为共终嵌入，因此存在β∈Ni，j(β)＞α，选取对应的β，使得Nj满足，任意x∈Vj(β)^Nj，φ(x)，则由于有界量词句子的复杂度为△0，Mi也满足任意x，φ(x)

称宇宙V为＃生成的，当且仅当存在一条长度为V的高度的迭代链：(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...，且V等于Vki^Ni(i∈∞)的联合

可以知道，这两个定义是等价的

7.SIMH＃+LCA

1.强＃-最大化

称宇宙V为强＃-最大化，当且仅当：

·V是＃-生成的

·对于任意＃-生成的V的外模型V*，若一个带有参数ω1，ω2的句子在V*的一个尊重参数的内模型上成立，则它也会在V的一个内模型上成立

2.称V满足SIMH＃，当且仅当V是强＃-最大化的

3.+LCA

如果存在无界多武丁基数和在此之上的一个不可达基数，则对于语句φ，若φ被Vk(k为可测基数)满足，则存在一个传递模型同时满足SIMH＃+φ

具体建构为：取(H(k+)，U)为N0，则由于k为可测基数，N0为一个sharp，将N0迭代到足够的高度，得到ωF(N∞)＝M，使得M包含见证SIMH＃成立的A，同时，由于Vk∞是初等链的联合，Vk与Vk∞共同满足φ

Sharp以自己的方式容纳了任意强的大基数公理