peano公理(皮亚诺公理)

公理1：0是一个自然数

公理2：如果n是自然数，那么n++也是一个自然数

(n++代表n的后继，有时候也表示为n+)

定义1：我们定义1为0++（也就是0的后继）,2：=1++，3：=2++(x：=y代表说x被定义为y)

定义2：0不是任何自然数的后继，也就是说对于任意的自然数n，n++≠=0

公理3：不同的自然数有不同的后继，也就是若自然数n，mn≠m，那么n++≠m++

换句话说，如果n++=m++，那么n=m

公理4：（数学归纳法）如果P(n)是一个和n的有关的命题，如果P(0)是对的，且假设P(n)是对的时候，P(n++)也是对的，那么我们就说对于任意自然数n，P(n)是对的

加法

定义3 如果m，n为自然数，则我们定义0+m：=m且若我们定义了(n+m)，则我们定义(n++)+m为：(n++)+m：=(n+m)++

定理5：加法具有交换性，也就是说对于自然数n，m，n+m=m+n

定理6：加法具有结合律，也就是对于自然数a，b，c，(a+b)+c=a+(b+c)

定理7：加法有消除率，也就是对于自然数a，b，c，a+b=b+c,则b=c

定义4:如果一个正整数被称为正，当且仅当他不等于0

定义5：若n，m是自然数，则我们称n大于等于m，或者n≥m当且仅当对于某个自然数a，n=m+a

定理8：(自然数中对于顺序的定义)

1，自反性：a≥a

2，传递性a≥b，b≥c则a≥c

3，反对称：若a≥b，b≥a则a=b

4，加法保留顺序：a≥b当且仅当a+c≥b+c

5，a＜b当且仅当a++≤b

6，a＜b当且仅当对于自然数db=a+d

定理9：序的三分:如果a，b为自然数，那么以下三个命题中只有一个是正确的：a＜b，a=b，a＞b

定理10：第二数学归纳法:若m0为一个自然数，且P(m)为与自然数m有关的的命题，假设对于m≥m0

我们有以下的性质：假设对于自然数m'，满足m≤m′

乘法

定义6：m是自然数，我们定义0乘m为0×m：=0，现在假设我们定义了n乘以m，此时我们定义n++乘以m为(n++)×m：=(n×m)+m

定理9：乘法具有交换律；如果n，m是自然数，那么n×m=m×n

定理10：对于自然数n，m，若n×m=0当且仅当n，m中至少有一个是0，

定理11：乘法的分配率：对于自然数

a，b，c，a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca

定理12：乘法的结合律：对于自然数

a，b，c，(a×b)×c=a×(b×c)

定理13：乘法保留顺序：如果a，b是自然数，且a＜b，且c是正数，那么ac＜bc

定理14：乘法消去律：对于a，b，c为自然数，且ac=bc，而且c不是0，那么a=b

定理15：欧拉算法：对于自然数n，正整数m，则存在自然数m，r使得0≤r＜q，n=mq+r

定理16：自然数的幂运算：对于自然数m，我们定义m的0次方为，且m0：=1，且00：=1接下来，如果mn已经被定义，那么：mn++：=mn×m

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