绝对无限（番外篇章）

绝对无限是所有序数的类，记为 Ord，尽管 Ord 不是集合，但也是传递的并且 ∈ 是 Ord 上的良序关系，我们可以很容易想象诸如 Ord+1 ， Ord×Ord ，ωOrd+1CK 甚至 ℵOrd+1 这样似集合的对象。

不妨定义集合是 0-型类，而 Ord 和 V这样非 0-型类的类是 1-型类，不是 0-型类的 1-型类就叫做真 1-型类。设 T：={φ：V⊨φ} ，则 T0 中语句为 T 中语句的每个变元 xi 追加“并且 xi 是 0-型类”，以此类推， Tα 中语句为 T 中语句的每个变元 xi 追加“并且 xi 是 α-型类”

若称 V[α] 是由所有 α-型类构成的宇宙，那么至少得有 V[α]⊨Tα 并且{V[β]：β＜α}∈V[α] ，这样才能在 V[1] 中见证开头所述的那些对象。

类似的， Ord[1] 是 V[1] 中满足“ x 是传递的并且 ∈ 是 x 上的良序关系”的 α 构成的 2-型类。

V 是由 0-型类构成的宇宙& 1-型类。

V[α] 是由 α-型类构成的宇宙& α+1-型类。

对于极限序数 λ ， x 是 λ-型类当且仅当 x∈V[λ] 。

最终，超越这一切的大全就是终极类Ⅴ

Ⅴ：={x：∃y(x∈y)} ，称 y 是终极类，当且仅当不存在 x ，使得 y∈x 。

可知对任意 Ⅴ

Ⅴ 中的“传递的并且 ∈ 是其上的良序关系的”α ，均有

Ⅴ

V[α]∈Ⅴ 。

尽管如此，却还是有 Ⅴ∃x(Ⅴ∈1x) ，∈ 只是 ∈1 的一种限定，在 Ⅴ

Ⅴ 之上仍有

Ⅴ

Ⅴ[α] ，其中 α 是 1-传递的并且 ∈1 是 α上的良序关系。

而称 y 是究极类，当且仅当不存在 x ，使得 y∈1x 。

显然， ∈α 比起

Ⅴ

Ⅴ[α] 更加无止境，而其终极，便是 Λ：={x：x=x} ，因此

Ⅵ

Ⅵ 都不可为 x ，而是 X 或 x1 ，x0，…，xn 和 x01，…，xn1 是两组不同的变元，使得 ∀x∃x1(x=x→x∈x1) 成立。

此外，与前面类似，适用于 x1 的谓词是 ∈α1 。

最终， Θ：=⋃{{xα：xα=xα}：α∈θOrdθ} 囊括了这一切的一切。

然而，即使是在 Θ 中，也不存在α∈θOrdθ ，使得存在双射函数 f：α→P(ω) 。

但在含有非标准 ω⋆ 的模型 Ψ 中，ω∈Ψω⋆ 只是一个有穷序数， 而有穷序数的幂集当然存在基数并且仍是有穷序数，换言之你可以在 Ψ 中找到P(ω) 本不存在的“基数”，特别地，对任意 α∈θOrdθ 都存在 P(ω)={x：x⊂Ψω}的一个良序子集 A ，使得 α 是 A 的序型，尽管大于 ω 的 α 在 Ψ 中不被认为是序数，但 ∈θ⊂ΨVω⋆2 。

尽管 ω⋆ 对于 Θ 而言是非标准的，但对于 Ψ 而言 ω⋆ 就是真正的自然数集，那么自然也会存在对应的非标准ω⋆⋆∈Ψ1Ψ1 ，并且同样特别地有∈Ψ⊂Ψ1Vω⋆⋆2 。

感觉太草了还是修改下

V 是所有集合的类，其究竟有多大已是超越人的想象。

就像 V 已不是集合一样，V 的所有子类构成的幂类同样不再是幂集。

但这有可能存在吗？V 真的还能被超越吗？

而在 V 的幂类存在之前，首先需要存在的是 V 的子类，比如绝对无限是 V 中所有序数的类，那么绝对无限存在吗？既然绝对无限可以存在，V 的其它子类为什么不可以存在？而既然 V 的类都可以存在，那这幅本体论背景本身不就可以视为 V 的幂类了？如此，V 的幂类的幂类，又有什么理由说一定不存在呢？只是本体论的深度越来越深而已。

V 的定义依赖于序数，或者一般的说依赖于“传递且∈是其上的良序关系的x”，记绝对无限为 Ord，显然“Ord 是传递且∈是其上的良序关系”，Ord+1 也同样如此，可得 V=VOrd ， V 的幂类 = VOrd+1 。

可以期待，所有这些似集合的类也会形成类似 V 的大全，要不就记为 Ⅵ，其也绝不仅限于提升一个 V 的高度，这仅仅只是 VOrd+Ord 而已。

就像我们不知 V 有多大一样，我们同样不可能知道 Ⅵ 会有多大，但至少，V应当是 Ⅵ 的初等子模型，换言之，即使是在 Ⅵ 中，Ord 也绝非可定义之物，并且对任意 α∈Ord，Ord 都是 α阶语言不可描述的。

反之，如果不存在 V 的幂类的话，Ord都不能具有任何二阶描述，因为在本体论上已经不允许进一步的量化描述了。

当然，通过引用谓词 “x 是集合”，Ord在 Ⅵ 中还是可以被定义的，但这种语言也不再是集合论语言了，因为这本身可以视为允许语句将 Ord 作为参数使用。

类似地，Ⅵ 作为囊括一切类的大全，其也不再是一个类了。

吾不知其名，强曰为超类。

于是我们便再一次遇到那个问题：Ⅵ 的子超类存在吗？出于简洁表达，这里就不再论述存在的含义变化，就单纯作为设定是否能用。

而与之前不同，这里我们就需要慎重考虑了，因为一旦开了超类这个口子，似乎就没有什么能阻止我们滑向一个谬论的深渊而不自知，这个滑坡通向的就是超超类 Ⅶ：囊括一切超类的大全；以及超超超类 Ⅷ：囊括一切超超类的大全。

假设这一切真的是可能的，它们应当会构成一个无穷的模型链：V ≺ Ⅵ ≺ Ⅶ ≺Ⅷ ≺ ……

而让我们彻底解放一切拘束，将其一般推广为 V[α] 和 Ord[α]，考虑到允许Ord[Ord[α]] 的引发可能情况，这简直是对我们设想的一种轰炸，根本上我们都不知 Ord 和 Ord[1] 有何其之大，已经是超越设想的了，Ord[α] 能遍及到何种程度早已是步入不可知的境地。

留给我们的仅仅只是，对任意 Ord[α] 终有 Ord[α]∈Ord[α+1]。

那么，有没有可能存在那种终极类，即“不存在y，使得 x∈y”？比如 Λ={x|存在y，x∈y} 就是这样一个终极大全，它是如此的远离我们，以至于 V 都不再会是Λ 的初等子模型。

可这，就是真的是最终了吗？

就像集合与类的区分一样，∈本身是否也存在类似的分野？比如，尽管不存在y，使得 Λ∈y。

但有没有可能存在x，使得 Λ ∈1 x ? ∈关系管辖不到 Λ，但 ∈1 可以，∈ 在根本上只是对 ∈1 的一种限定。

甚至对于由所有终极类构成的大全Λ[1]，仍存在 Λ[1] ∈1 Λ[2] ，并最终再次来到 {x|存在y，x ∈1 y} 。

在我们彻底抛弃一切枷锁后，也能很容易预料到 Θ=∪{{x|存在y，x ∈α y}|α∈ΘOrdΘ }，其中 ∈Θ 和 OrdΘ 均是对Θ 所做的相对化，尽管这是种意义不明的循环定义，但我们别无他法，唯一可说的或许是 Θ={x|x=x} 。

明明 Θ 已经囊括了所有全部一切的大全，我们却仍能够妄想更多。

就像二阶语言区别了一阶变元 x1，…，xn和二阶变元 X1，…，Xn 那样，但不仅限于此的，区分 x1，…，xn 和 x11，…，xn1 ；尽管不存在 x = {x|x=x}，但或许存在 x1 ={x|x=x}，并且存在 x1 ∈1 y1 。

这一切的一切都让我们不禁困惑，我们究竟是在说些什么？

或许，这一路下来，比如 Θ 的基数是OrdΘ ，全局选择公理一直都在成立，而在全新的领域中，众多全新的实数涌现了出来，以至于实数集不再具有基数，甚至此前众多的序数都能与一个实数集的良序子集同构。

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