集合论多元宇宙（第二版本）篇章

Towards an axiomatization of the set theoretic multiverse

MATTEO DE CEGLIE

FACHBEREICH PHILOSOPHIE(KGW)

UNIVERSITAT SALZBURG

宇宙主义

只有一个独持的数学世界，所有的数学都是在里面进行的。如果V之外似乎有什么东西，这只是一种幻觉。

通常提出以下理由转发作为对宇宙主义的维护。

娄别性：二阶集合论二阶集合论

的每个候型（=论域）都是同构的phir（=mqual”），所以我们实际上是在处理

一个单一的宇宙，

反驳：这样的分类结果需要非常强的假设，而这些假设不容易被证明是合理的（例如，通往阶的通道、马丁的唯性假设和麦基的u relations公理）。

出于这些原因，多元宇宙的集合论方法比宇宙主义的辩护更站得住脚

• 数学特征：经典集合论（ZFC）以非常简单和优雅的方式进行公理化，而多元宇宙概念非常复杂，需要已经发展和先进的集合论知识；

• 前数学直觉：所有ZFC和V证明了我们对集合和成员关系的前数学直觉是正确的，因此没

有必要背离它们。

• 数学特征：这一点与其说是反对整个多元宇宙的立场，不如说是反对某些特定的多元宇宙概念。虽然它的一些数学特征确实非常复杂，但多元宇宙也可以用ZEC同样优雅的方式加以公理化；

• 前数学直觉：同样，

这种反对是针对某个特定的多元宇宙的。有可能定义这样的多元宇宙，在其中我们对集合和成员关系的前数学直觉被证明是正确的，就像ZFC和V

有些数学问题在数学中没有答案我们目前的框架观点pub（策梅洛-弗兰克尔集合论与选择ZFC），在累积层级V→ • 连续统假设（ch）：2 0＝ 1；

• 广义连续统假设：2 n＝ n+1；

• 如果集合A的元素比B少，那么A的子集也比B少

因此，我们目前的框架是不完整的，我们需要完成→例如通过给ZFC增加新的公理，或者给V增加新的集合

有没有独特的方式没有完成ZFC吗？

多元主义→ 集合论（数学）世界不止一个。这些宁宙中的每一个都是同等合法的，它主要是（但是不仅是）通过使用强多元主义 制。这些宇宙然后连接在一起，形成一个多元宇宙。→有各种理由支持这样一个概念：

• 更好地解释不完整；

• 与当前集合论（数学）实践的一致性；

• 独立问题的解决；

• 可用定理类型的最大化；

• 先前结果的守恒。

关于数学和哲学特征有几种不同的概念集合论多元宇宙

集合通用多元宇宙：这个多元宇宙是公理化的，它是集合通用强制产生的V的所有扩展的集合。它验证了ZFC+大红雀。

V-逻辑多元宇宙可数扩五。

V-逻辑

（例三） V V₁ V₂ V₃ V₄ V₅ V₆

Figure 8：The Parallel universe（图8平行宇宙）

激进多元宇宙：集合论的每一个可以想象的模型都是这个多元宇宙的一部分，对它的产生方式没有任何限制（因此我们有由任何初始守宙的任何类型的作用力产生的宇宙，以及所有这些可能的内部模型等）。）.ZFC的所有可计算饱和模型的集合满足了这种多元宇宙公理化

↓（例一） ↘（例二）

W₅ 1999 V⁺ V₁⁺ Vₙ⁺

W₄ V V₁ Vₙ

W₃ Figure 7：The

Hyperuniverse（图7）超宇宙

W₂

W₁

W₀

（core）

Figure 6（图6）： The V-logic multiverse（V-logic多元宇宙）

• 类别

• 强迫的玩具模型方法；

• 过于复杂的数学特征多元宇宙概念的三化；

• 前数学直觉

V Vₙ[G]

∪∪ₙ[G]

W Wₙ[G]

Figure 4： A representation of the Radical Multiver： W₃ W₂ W₁ V W₁ W₂ W₃

(core)

反方观点虽然很吸引人，但强迫的玩具模型方法并不能真正解释当前的集合论实践。此外，它还限制了可用定理的数量。

更好（也更接近我们目前的实践和直觉）

的方法是自然强迫。

根据这种方法，当使用强制时，我们应用

它向整个宇宙V延伸，从而为它产生一个扩展V【G】。

V

M[G]

M

Figure 2：A representation of the toy model approach to foecing

玩具模型方法：当我们使用强制来产生新模型（宇宙）时，我们，不是真的在做，而是我们在模似V里面的一切。

集合论V的世界是一个累积的层次结构：

层次结构是因为所有集合都是按层次组织的，累积是因为从一个层次到下一个层次，我们添加了所有新的可能集合使用集合创建工具

Vλ

Vα+1

Vα

V₃

V₂

V₁

V₀

Figure 1: The cumulative hierarchy

• v 0＝；

• vα+1＝

• V＝V（适用α 《λ，其中λ是极限序数》

只有一个独持的数学世界，所有的数学都是在里面进行的。如果V之外似乎有什么东西，这只是一种幻觉。

V V[G]

Figure 3：A representation of the natural interpretation to forcing

更好（也更接近我们目前的实践和直觉）

的方法是自然强迫。

根据这种方法，当使用强制时，我们应用

它向整个宇宙V延伸，从而为它产生一个扩展V【G】。

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