Tauber定理及其证明

Tauber 定理：设在 −1＜x＜1 上，有 f(x)＝∑∞ₙ₌₀ αₙ xⁿ ， limₙ → ∞ nαₙ＝0 若 limₓ→₁ˉf(x)＝S ，则 ∑∞ₙ₌₀ αₙ 收敛，且其和为 S .

证明：

ₙ ₙ ∞ ∞ ₙ ₙ

|∑αₖ−S|=|∑ αₖ−∑αₖxᵏ＋∑αₖxᵏ−S|≤|∑αₖ−∑αₖxᵏ|

ₖ₌₀ ₖ₌₀ ₖ₌₀ ₖ₌₀ ₖ₌₀ ₖ₌₀

∞ ∞ ₙ ∞

＋|∑αₖxᵏ|＋|∑αₖxᵏ−S|＝|∑αₖ（1−xᵏ）|＋|∑αₖxᵏ

ₖ₌ₙ₊₁ ₖ₌₀ ₖ₌₀ ₖ₌ₙ₊₁

∞

|＋|∑αₖxᵏ−S|

ₖ₌₀

估计右端的三项。

由 limₙ→∞ nαₙ＝0 ⇒∀ε＞0，∃N₁，∀n＞N₁：|nαₙ|＜ε

─

3

，同时 n|αₙ|＜ ε

─

3

，并且

ₙ

Σ k|αₖ|

lim ₖ₌₀

ₙ→∞ ───

n

ₙ

Σ k|αₖ|

ₖ₌₀ ε

＝lim n|αₙ|＝0 ⇒ ──＜─

n 3

由 limₓ→₁−f(x)＝S⇒∃N₂，∀n＞N₂，|f

1 ε

(1 − ─)−S|＜─

n 3

1

取 x＝1−─， N＝mαx{N₁，N₂} ，当 n＞N 时： n

|∑ⁿₖ₌₀ αₖ(1−xᵏ)|≤∑ⁿₖ₌₀|αₖ|(1−x)|1＋x＋⋯＋xᵏ⁻¹|≤∑ⁿₖ₌₀ k|αₖ|(1−x)＝1

─

n

ε

∑ⁿₖ₌₀ k|αₖ|＜─

3

|∑∞ ₖ₌ₙ₊₁ αₖxᵏ|≤| 1

─

n

ε

∑∞ₖ₌ₙ₊₁ k|αₖ|xᵏ|≤─

3

1

• ─

n

ε 1 ε

|∑∞ ₖ₌ₙ₊₁ xᵏ|≤─ • ──＝─

3n 1−x 3n

1 ε

• ─────＝─.

1−（1−1） 3

─

n ε

|∑∞ ₖ₌₀ αₖxᵏ−S|＝|f(1 − 1)−S|＜─

─ 3

n

.

所以

|∑ⁿₖ₌₀ αₖ−S|≤|∑ⁿₖ₌₀ αₖ(1−xᵏ)|＋|∑∞ ₖ₌ₙ₊₁ αₖxᵏ|＋|∑∞ ₖ₌₀ αₖxᵏ−S|≤ ε ε ε

─＋─＋─＝ε

3 3 3

因此Σ∞ₙ₌₀ αₙ 收敛，且Σ∞ₙ₌₀ αₙ＝S.

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