Stone-Weierstrass定理（数学解释）一

介绍：Stone-Weierstrass定理以及度量空间C[a，b]可分性的证明

本文给出Weierstrass逼近定理的三种证明方法. 第一种方法是概率论的方法, 它用到二项分布以及Chebyshev不等式; 第二种方法是调和分析的方法, 它用到高斯核函数族的性质; 第三种方法是拓扑的方法, 它直接证明Weierstrass逼近定理的推广Stone-Weierstrass定理. 最后, 我们利用Weierstrass逼近定理给出度量空间 (C[α，b]，d∞) 可分性的一个证明.

Weierstrass逼近定理陈述如下.

定理1 (Weierstrass逼近定理). 设 f 是区间 [α，b] 上的连续实值函数. 那么，对每一个 ε＞0，存在多项式函数 p 使得对于所有 x∈[α，b]， 有

|f(x)−p(x)|＜ε.

概率论的方法

引理2 (Chebyshev不等式). 设 X 是一个随机变量, 具有有限的期望 μ 和有限非零方差 σ². 那么对于任意实数 k＞0,

P(|X−μ|≥k)≤σ2

─

k2.

证明. 利用条件期望直接计算得到:

σ²＝E[(X−μ)²]

＝E[(X−μ)²||X−μ|≥k]

⋅P(|X−μ|≥k)

＋E[(X−μ)²||X−μ|＜k]

⋅P(|X−μ|＜k)

≥k²P[|X−μ|≥k]＋0

⋅P(k＜|X−μ|)

＝k2P[|X−μ|≥k].

两边同除以 k² 就得到Chebyshev不等式.

Weierstrass逼近定理的证明(GTM95 Chapter 1). 不失一般性, 我们假设 [α，b]=[0，1]. 任取区间 [0，1] 上的连续函数 f＝f(x). 设 K 是一个随机变量, 服从参数为 n 和 x 的二项分布, 即

P(K＝k)=Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ.

那么

E[f(K

─

n)]＝Bₙ(p)，

其中

Bₙ(x)＝∑ⁿₖ₌₀f(k

─

n)Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ

称为Bernstein多项式.

我们知道二项分布的均值和方差分别是 E(K)＝nx 和 D(K)＝nx(1−x). 利用Chebyshev不等式我们有

P(|K

─

n−x|≥δ)＝P(|K−nx|≥nδ)

nx(1−x) 1

≤────≤───.

n²δ² 4nδ²

由于函数 f＝f(x) 在 [0，1] 上连续, 从而是一致连续的， 因此对任意 ε＞0, 存在 δ＞0， 只要 |x−y|＜δ 就有 |f(x)−f(y)|＜ε. 此外, 它也是有界的, 即存在 0＜M＜∞ 使得 |f(x)|≤M. 于是, 对于任意 x∈[0，1]，

ₙ

|f(x)−Bₙ(x)|＝|∑

ₖ₌₀

[f(x)−f(k

─

n)]Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ|≤∑

{k：|(k/n)−x|≤δ}|f(x)−f(k

─

n)|Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ＋

∑

{k：|(k/n)−x|＞δ}|f(x)−f(k

─

n)|Cᵏₙxᵏ(1−x)ⁿ⁻ᵏ≤ε＋2MP(|K

─−x|≥δ)

n

2M M

≤ε＋──＝ε＋──.

4nδ² 2nδ²

也就是说, 对于Bernstein多项式,

limₙ→∞|f(x)−Bn(x)|＝0，

对所有 x∈[0，1] 成立, 这就证明了Weierstrass定理.

调和分析的方法

引理3. 设 {Kδ}δ＞0 是实直线 ℝ 上的高斯核函数族, 即

Kδ(x)＝δ⁻¹/²e⁻πx²/δ，∀δ＞0.

那么它满足下列性质:

(a) 对所有 δ＞0 ,

∫∞₋∞Kδ(x)dx＝1.

(b) 存在 M＞0 使得对于所有 δ＞0

∫∞₋∞|Kδ(x)|dx≤M.

(c) 对每一个 η＞0， 当 δ→∞ 时

∫|x|＞η|Kδ(x)|dx→0.

引理4. 若 f 是 ℝ 上具有紧支撑的连续函数, 那么， 当 δ→0 时, f ∗ Kδ 一致收敛到 f. 这里 ∗ 表示卷积， 即

(f ∗ Kδ)(x)＝∫∞₋∞f(x−t)Kδ(t)dt.

证明. 首先, f 在 ℝ 上是一致连续的, 即对于任意 ε＞0 存在不依赖于 x 的 η＞0 使得只要 |x−y|＜η 就有 |f(x)−f(y)|＜ε. 其次 f 是有界的, 即存在 M≤∞ 使得 |f(x)|≤M 对所有 x∈[α，b] 成立. 利用高斯核函数族的第一个性质, 我们得到

(f∗Kδ)(x)−f(x)＝∫∞₋∞Kδ(t)[f(x−t)−f(x)]dt，

由于 Kδ≥0，因此

|(f∗Kδ)(x)−f(x)|≤∫|t|＞η＋∫|t|≤ηKδ(t)|f(x−t)

−f(x)|dt

≤2M∫|t|＞ηKδ(t)dt＋ε

∫|t|≤ηKδ(t)dt

≤2M∫|t|＞ηKδ(t)dt＋ε.

利用高斯核函数族的第三个性质, 第一个积分项在 δ → 0 时趋于 0. 这就完成了引理的证明.

Weierstrass逼近定理的证明(Stein I Chapter 5). 取 M＞0 使得 (−M，M) 包含 [α，b]. 设 g 是 R 上的连续函数, 它在 [−M，M] 之外等于零, 在 [α，b] 之内等于 f. 这样的函数显然存在. 根据上一引理, 当 δ 趋于零时 g∗Kσ 一致收敛于 g. 于是存在 δ₀ 使得

|g(x)−(g∗Kδ₀(x))|≤ε/2，∀x∈ℝ.

我们知道 eˣ 有幂级数展开 eˣ＝∑∞ₙ₌₀ xⁿ/n!， 并且这个幂级数在 ℝ 的每一个紧区间一致收敛. 因此, 存在整数 N 使得

ε

──

|Kδ₀(x)−R(x)|≤4MB，∀x∈[−2M，2M]，

(−πx²/δ₀)ⁿ

其中 R(x)＝δ₀⁻¹/²∑ᴺₙ₌₀ ────.

n!

接下来, 注意到 g 在 [−M，M] 之外退化, 因此对于任意 x∈[−M，M] 我们有

|(g∗Kδ₀)(x)−(g∗R)(x)|＝|∫ᴹ₋ᴍg(t)[Kδ₀(x−t)−R(x−t)]dt|

≤∫ᴹ₋ᴍ|g(t)||Kδ₀(x−t)−R(x−t)|dt

≤2MB sup |Kδ₀(z)

z∈[−2M，2M]

−R(z)|

≤ε/2.

于是, 根据三角不等式只要 x∈[−M，M] 就有 |g(x)−(g∗R)(x)|＜ε. 而 f 和 g 在区间 [α，b] 上相等，因此只要 x∈[α，b] 就有 |f(x)−(g∗R)(x)|＜ε.

最后，根据定义我们有 (g∗R)(x)＝∫ᴹ₋ᴍ g(t)R(x−t)dt，而 R(x−t) 是 x 的多项式，因此 g∗R 也是 x 的多项式. 这就完成了定理的证明.

拓扑的方法

设 X 是一个紧致Hausdorff空间, Cℝ(X) 表示 X 上的全体实值连续函数构成的集合； Cℂ(X) 表示 X 上全体复值连续函数构成的集合; 当不需要具体指代函数是实值还是复值时, 将它们简记为 C(X).

引理5 (Dini引理). 设 {fₙ}ₙ∈ℕ 是 Cℝ(X) 的一个递增序列(即 fₙ≤fₙ₊₁ 对所有 n 成立). 假设序列 {fₙ} 逐点收敛于某个函数 f∈Cℝ(X), 那它也一致收敛于 f.

证明. 任取 ε＞0. 对每一个 n∈ℕ 设 eₙ＝f−fₙ， 令 Ωₙ＝{x∈X：eₙ＜ε}. 由于 eₙ 是连续的，每个 Ωₙ都是 X的一个开子集. 又由于 eₙ 是单调递减的，因此 Ωₙ⊂Ωₙ₊₁. 此外, 由 fₙ 逐点收敛到 f 可知 {Ωₙ} 覆盖 X. 但 X 是紧致的，它的任意覆盖均有有限子覆盖, 因此存在正整数 N 使得 Ωɴ＝X，也就是说 eɴ(x)＜ε 对所有 x∈X 成立. 于是对所有 n＞N，都有 0＜eₙ(x)＝f(x)−fₙ(x)≤ε 对所有 x∈X 成立. 这就证明了 {fₙ} 一致收敛于 f.

引理6. 对 n 递归地定义 [−1，1] 上的一列多项式函数 {pₙ} 如下：

p₀＝0， 1

pₙ₊₁(x)＝pₙ(x)＋─(x²−p²ₙ(x))，对所有 n∈ℕ.

2

那么 {pₙ} 在 [−1，1] 上一致收敛于 f(x)＝|x|.

证明. 序列 {pₙ} 显然是递增的, 并且 pₙ(x)≥0 对所有 n≥0 以及 x∈[−1，1] 成立. 接下来我们证明对每一个 n≥0 都有 pₙ(x)≤|x|. 对 n＝0 这是显然的. 假设它对某个 n≥0 成立. 那么，对于所有 x∈[−1，1]，

pₙ₊₁(x)＝|x| 1

−(|x|−pₙ(x))(1−─(|x|＋pₙ(x)))≤|x|.

2

于是序列 {pₙ}ₙ∈ℕ 是递增的并且是有界的, 因此它逐点收敛于某个函数 f. 对任意 x∈[−1，1]， 将递归关系式两边对 n 取极限得到 f²(x)＝x². 但是 0≤f(x)≤|x|，因此 f(x)＝|x|. 最后，利用Dini引理就证明了多项式序列 {pₙ} 在 [−1，1] 上一致收敛于|x|.

引理7. 假设 X 至少有两个元素. 令 H 是 Cℝ(X) 的一个子集，满足下面的两个条件：

(a) 对所有 u，υ∈H，函数 sup(u，υ) 和 inf(u，υ) 属于 H.

(b) 若 x₁，x₂ 是 X 中两不同点并且 α₁，α₂ 是实数，则存在 u∈H 使得 u(x₁)＝α₁ 以及 u(x₂)＝α₂.

那么 H 在 Cℝ(X) 中稠密.

证明. 任取 f∈Cℝ(X) 以及 ε＞0 . 我们要寻找 ε＞0 中一个 ε 接近于 f 的元素. 首先，固定 x∈X. 根据假设(b)，对每一个 y≠x 存在 uy∈H 使得 uy(x)＝f(x) 以及 uy(y)＝f(y).

对 y≠x，令 Oy＝{x′∈X：f(x′)−uy(x′)＜ε}. 这是一个包含 x 和 y 的开集, 因此 X＝∪y≠xOy. 由于 X 是紧致的，它可以被有限个 Oy 覆盖：X＝∪ʳⱼ₌₁ Oyⱼ， 其中 yⱼ≠x 对所有 j 成立. 现在令 υₓ＝sup(uy₁，⋯，uyᵣ). 利用假设(a)，一个简单的归纳就能证明 υₓ∈H. 另一方面， υₓ(x)＝f(x)，并且 f(x′)−υₓ(x′)＜ε 对所有 x′∈X 成立.

现在让 x 变化，并且对每一个 x∈X 令

Ωₓ＝{x′∈X：f(x′)−υₓ(x′)＞−ε}.

那么 Ωₓ 是 X 的一个包含 x 的开子集; 再次利用 X 的紧致性, 我们可以选择 X 的有限个点 x₁，⋯，xₚ 使得 Ωₓ₁，⋯，Ωₓₚ覆盖 X. 最后, 令 υ＝inf(υₓ₁，⋯，υₓₚ). 那么 υ∈H 并且 −ε＜f(x)−υ(x)＜ε 对所有 x∈X 成立, 即 ‖f−υ‖≤ε.

定义1. C(X) 的一个子集称为是分离的(separating), 若对于 X 的任意两不同点 x，y ， 存在 h∈H 满足 h(x)≠h(y). Cℝ(X) 的一个子集 H 称为是一个格子(lattice)，若对于任意 f，g∈H，函数 sup(f，g) 和 inf(f，g) 也属于 H.

注意, Cℝ(X) 的一个向量子空间 H 是格子当且仅当 h∈H 时 |h| 也属于 H.

引理8. 若 H 是 Cℝ(X) 的一个分离的向量子空间，并且是包含常值函数的格子, 则 H 在 Cℝ(X) 中稠密.

证明. 若 X 只包含一个元素, 那么结论是显然的. 假设 X 至少包含两个元素; 我们只需验证上一引理的假设(b). 设 x₁ 和 x₂ 是 X 的两不同元素. 由于 H 是分离的, 存在 h∈H 使得 h(x₁)≠h(x₂). 若 α₁ 和 α₂ 是实数，那么方程组

{λh(x₁)＋μ＝α₁

{λh(x₂)＋μ＝α₂

显然有唯一解 (λ，μ)∈ℝ². 对这样的 (λ，μ)， 我们看出 (λh＋μ)(x₁)＝α₁ 以及 (λh＋μ)(x₂)＝α₂. 此外，λh＋μ∈H，因为 H 是包含常值函数的线性空间.

定义2. C(X) 的一个向量子空间称为是一个子代数，若它在乘法下封闭, 即对于任意 f，g∈H 都有 fg∈H.

定理9 (Stone-Weierstrass定理, 实情形). Cℝ(X) 的每一个包含常值函数的分离子代数在 Cℝ(X) 中都是稠密的.

证明(GTM192 Chapter 1). 若 H 是 Cℝ(X) 的一个包含常值函数的分离子代数, 那么它的闭包 ˉH 也是. 因此只要证明 ˉH 是一个格子然后利用上一引理就可以了. 设 f 是 ˉH 的一个非零元素. 根据引理6我们知道存在 ℝ 上的一列多项式 {pₙ}，它在 [−1，1] 上一致收敛于函数 x↦|x|. 这样的话，函数列 {pₙ(f/‖f‖)} 一致收敛于 |f|/‖f‖，因此 |f| 是序列 {‖f‖pₙ(f/‖f‖)} 的一致极限. 由于 ˉH 是 Cℝ(X)的子代数，该序列中的所有项都属于 ˉH，从而它们的一致极限 |f| 也属于 H¯. 这就证明了 ˉH 是格子.

假如 X＝[α，b] , 那么全体多项式函数构成的集合显然满足上述定理的所有条件, 因此Weierstrass逼近定理是上述定理的一个特例. 这就给出了Weierstrass逼近定理的拓扑证明.

定义3. Cℂ(X) 的一个子集 H 称为是自共轭的, 若对于任意 h∈H，它的共轭 ˉh 也属于 H. 这里，h 的共轭 ˉh 通过 ˉh(x)───

＝h(x) 定义.

定理10 (Stone-Weierstrass定理, 复情形). Cℂ(X) 的每一个自共轭的包含常值函数的分离子代数 H 在 Cℂ(X) 中都是稠密的.

证明 (GTM192 Chapter 1). 令 Hℝ＝{h∈H：h(x)∈ℝ，∀x∈X} . 显然，Hℝ 是 Cℝ(X) 的一个包含常值函数的子代数. 现在，若 f∈H，则它的实部和虚部属于 Hℝ，因为 H 是自共轭的并且 Re(f)＝(f＋ˉf)/2，Im(f)＝(f−ˉf)/(2i). 若 x₁ 和 x₂ 是 X 中不同的两点, 根据假设存在 h∈H 使得 h(x₁)≠h(x₂). 因此，存在 g∈g(x₁)≠g(x₂)：根据情况选 g＝Re(h) 或 g＝Im(h) 即可. 于是 Hℝ 是分离的，继而根据上一定理，它在 Cℝ(X) 中稠密. 由于 Cℂ(X)＝Cℝ(X)＋iCℝ(X) 并且 H 包含 Hℝ＋iHℝ，这就完成了证明.

度量空间 (C[α，b]，d∞) 可分性的证明

定理11.度量空间 (C[α，b]，d∞) 是可分的, 其中 C[α，b] 是区间 [α，b] 上的全体连续函数构成的集合.

证明. 令 M 是全体有理数系数多项式构成的集合. 对于任意 f∈C[α，b] 和 ε＞0，根据Weierstrass逼近定理, 存在多项式函数 p 满足 d∞(f，p)＜ε/2 . 又根据 ℚ 在 ℝ 中的稠密性可知存在有理系数多项式函数 q∈M 使得 d∞(p，q)＜ε/2. 于是根据三角不等式，我们有

d∞(f，q)≤d∞(f，p)＋d∞(p，q)＜ε.

这就证明了 M 在 C[α，b] 中稠密.

为了证明 M 是可数的, 定义V Mₙ 为次数等于 n 的全体有理系数多项式构成的集合, 那么 Mₙ 与 ℚⁿ × ℚ\{0} 等势, 因此是可数的. 于是 M＝∪∞ᵢ₌₁ Mₙ 是可数集合的可数并，所以也是可数的. 这就证明了(C[α，b]，d∞) 是可分的.

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