整数分拆与哥德巴赫猜想

在离散数学和组合数学中，运用生成函数技术解决整数分拆的分拆数计数问题。Euler处理整数分拆的最主要方法就是利用生成函数。

1.乘积形式的生成函数

这里最原始的思想基于熟悉的幂乘积法则，即

qʳ · q⁸＝qʳ⁺⁸. 1

下面，我们将使用这个基本的运算法则。假设我们想要展示出所有分成一个偶数部分和一个奇数部分且都小于7的分拆。我们可以将它们逐一写出来（共有九个）；然后，我们注意到它们显然由下面的多项式乘法生成：

(q²＋q⁴＋q⁶)(q¹＋q³＋q⁵)

＝q²⁺¹−q²⁺³＋q²⁺⁵＋q⁴⁺¹＋q⁴⁺⁵＋q⁶⁺¹＋q⁶⁺³＋q⁶⁺⁵

＝q³＋2q⁵＋3q⁷＋2q⁹＋q¹¹

注意到第二行在指数部分清楚地展示了所有分成一个偶数部分和一个奇数部分且都小于7的分拆，并且这个事实可以通过上式和多项式乘法法则直接解释。这个简单的想法很容易被扩展到其他特殊的分拆或更加一般的分拆问题上[1]。

2 更一般的生成函数

生成函数又称为发生函数或者母函数，它的提出巧妙地将离散数学与连续数学结合起来，为离散数学中特别是当中组合数学的许多问题提供了好的解决办法，成为研究组合数学必不可少的工具之一。生成函数作为一种十分有用的方法，它的运用非常广泛，它处理问题的思想也不复杂，其主要思路就是把离散的序列和相应的幂级数联系起来，通过对幂级数之间的运算，来得到相应的离散序列之间的一些性质及其相互关系等。

实际上，生成函数就是一种形式幂级数，所以有必要先来给出形式幂级数的定义：

定义1[2] 形式幂级数是指形如：

α₀＋α₁x＋α₂x²＋α₃x³＋. . .

的表达式，其中的{[αₙ]} 是系数序列。

这里的形式幂级数的概念实质上是二项式概念的推广，并且当两个形式幂级数的系数全部对应相等时，就说这两个形式幂级数相等。

定义2[3] 对于给定的实数或复数序列 [公式] ，我们称形式幂级数

g(x)＝Σ∞ₙ₌₀αₙxⁿ＝α₀＋α₁x＋α₂x²＋. . .＋αₙxⁿ＋. . .

为这个序列的生成函数，并且一般把这种形式的生成函数称为普通型生成函数。

整数分拆与组合数学中的很多实际问题都有关联，即很多组合数学中的实际问题都可以看成是对某些整数按照给定的条件进行分拆，进而通过计算分拆的方法数来解决问题，而对于处理分拆问题，生成函数自然不失为一种非常有效的工具。

整数分拆问题是组合数学中一个十分重要而有趣的问题，而整数分拆问题研究中最重要的是讨论和研究分拆函数的一些性质，通过对分拆函数的运算和分析得到一些想要的结果。这其中生成函数则刚好成为一个十分有效的工具，所以分拆理论的研究很自然地会经常用到生成函数法。

3 特殊的整数分拆生成函数

3.1 运用（1）式的方法计算偶数2m（m＞0）的奇数分拆数，显然构造下式即可

G(x)＝(x³＋x⁵＋x⁷＋. . .＋x²ᵐ⁻¹)(x³＋x⁵＋x⁷＋. . .＋x²ᵐ⁻¹)。

3.2 如果计算偶数2m（m＞2）的奇素数分拆数，我们可以

G(x)＝(x³＋x⁵＋x⁷＋. . .＋xᵖⁿ)(x³＋x⁵＋x⁷＋. . .＋xᵖⁿ)，

其中Pₙ表示第n个奇数，2m＜pₙ。

显然这就是哥德巴赫猜想问题，只是一个特殊的整数拆分问题(拆分为2个奇素数)。

参考

1.（美）George E. Andrews, （瑞典）Kimmo Eriksson, 整数分拆, 傅士硕，杨子辰译，北京：科学出版社,.2017,9.

2. 柯召，魏万迪． 组合论( 上册) ［M］． 北京: 科学出版社， 2010．

3. 卢光辉，孙世新，杨国武． 组合数学及其应用［M］． 北 京: 清华大学出版社， 2014．

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