数学联邦政治世界观
超小超大

格代数中的Fibonacci数列

降集:令L 是一个格代数, A⊆L ,定义 A↓={x∈L:∃α∈A,x≤ʟ α} 是 A 的降集。令 𝕺(L)表示 L 的全部降集。

定理:定义如下格代数Lₙ={α₁,· · ·,αₙ,b₁,· · ·,bₙ},满足对于任意 i≤n ,都有αᵢ<bᵢ 和 αᵢ<bᵢ₊₁ 。求证: |𝕺(Lₖ)|=fₖ₊₂ ,其中 f₁=f₂=1 且 fₖ₊₂=fₖ₊₁+fₖ 是Fibonacci数列。

证明:首先给出上述格代数Lₙ 的Hase图

b₁ b₂ b₃ bₙ

↓↗↘↗ · · · ↙↘

α₁ α₂ bₙ₋₁ αₙ.

为了证明定理,我们首先证明如下引理:对于任意格代数L ,都有 |𝕺(L)|=|𝕱|,其中 𝕱 表示 L 中全体反链构成的集合。引理的证明很简单:必要性,每个反链都唯一地诱导一个降集;反过来假设 A⊆L 是一个降集,令 ℭᴀ={B⊆A:B↓=A↓},定义 ℭᴀ 的偏序为 P⊆Q ↔ Q ≤ ℭᴀ P,根据佐恩引理,我们可以得到 (ℭᴀ,ℭᴀ) 的一个极大元 B ,如果 B 不是反链,那么存在 x,y∈B 满足 x<ʟ y,因此 (B−{y})↓=B↓ ,这与 B 是极大元矛盾,反证充分性成立。因此引理成立。(根据格论的对偶原理,我们还可以定义“升集”,并证明升集的数量和反链的数量一样)。

根据引理,定理就转化为Lₖ 的反链的个数是多少。下面利用数学归纳法证明: k=1 时显然定理成立。假设 Lₖ 满足定理,求 Lₖ₊₁ 满足定理。设 A⊆Lₖ₊₁ 是一条反链,如果 αₖ₊₁∉ A,那么 A∈𝕱(Lₖ),其中 𝕱(Lₖ) 是 Lₖ 的全体反链;如果 bₖ₊₁∉A 但 αₖ₊₁∈A ,那么由于 αₖ₊₁ 与 Lₖ 中全部元素都没有序关系,因此这样的 A 有 |𝕱(Lₖ)| 个;如果 bₖ₊₁∈A ,此时 αₖ∈A ,不能看出,这样的反链 A 的个数=│{B∈𝕱(Lₖ):αₖ∈B}│ ,即 |𝕱(Lₖ₋₁)| ,那么 |𝕱(Lₖ)|=2|𝕱(Lₖ)|+|𝕱(Lₖ₋₁)| ,由递归可得 |𝕱(Lₖ)|=fₖ₊₁+2fₖ₊₂=fₖ₊₄ ,由数学归纳法可得定理成立。

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(笔尖小说网http://www.bjxsw.cc),接着再看更方便。

相关小说

长夜的消散 连载中
长夜的消散
泪落朽木
白色的风筝也要独属于它的夜晚
0.2万字2个月前
我嘞个豆啊循环 连载中
我嘞个豆啊循环
云开半雾
以后再说吧反正剧情自我感觉良好哈只是文笔不太好如果有人看可以看见意想不到的反转哈
0.9万字2个月前
神仙爱情手札 连载中
神仙爱情手札
青衣如故QYRG
渣爹再婚后,他被继后的儿子宠哭了。【1v1,双洁,日久生情,远古洪荒,无逻辑,勿考究。】经常修文
3.3万字2个月前
逆仙之途 连载中
逆仙之途
土豆西红柿
这是一个神秘而广袤的修仙世界,名为灵境。灵境中,各个门派林立,修仙者们追求着长生不老与强大的力量。天地间灵气充盈,但修仙之路充满艰辛与挑战,......
5.4万字1个月前
快穿:一统乙女游的白月光 连载中
快穿:一统乙女游的白月光
遥望星星的月
她是一统乙女游的白月光是所有人的月亮是所有人的心头肉是所有人的掌上明珠1:娱乐圈的白月光在组合内,她是当之无愧的顶流女爱豆,公司要求演戏,她......
10.2万字3周前
梦里逢仙 连载中
梦里逢仙
念乡也
简介:“睡吧,梦里什么都有。”更新中:青衣女魃一次意外,闻歌在睡梦中见到了传说中的神仙,每一个夜晚,她都会进入那些神仙的记忆里,去观看她们的......
20.6万字2周前