数学联邦政治世界观
超小超大

格代数中的Fibonacci数列

降集:令L 是一个格代数, A⊆L ,定义 A↓={x∈L:∃α∈A,x≤ʟ α} 是 A 的降集。令 𝕺(L)表示 L 的全部降集。

定理:定义如下格代数Lₙ={α₁,· · ·,αₙ,b₁,· · ·,bₙ},满足对于任意 i≤n ,都有αᵢ<bᵢ 和 αᵢ<bᵢ₊₁ 。求证: |𝕺(Lₖ)|=fₖ₊₂ ,其中 f₁=f₂=1 且 fₖ₊₂=fₖ₊₁+fₖ 是Fibonacci数列。

证明:首先给出上述格代数Lₙ 的Hase图

b₁ b₂ b₃ bₙ

↓↗↘↗ · · · ↙↘

α₁ α₂ bₙ₋₁ αₙ.

为了证明定理,我们首先证明如下引理:对于任意格代数L ,都有 |𝕺(L)|=|𝕱|,其中 𝕱 表示 L 中全体反链构成的集合。引理的证明很简单:必要性,每个反链都唯一地诱导一个降集;反过来假设 A⊆L 是一个降集,令 ℭᴀ={B⊆A:B↓=A↓},定义 ℭᴀ 的偏序为 P⊆Q ↔ Q ≤ ℭᴀ P,根据佐恩引理,我们可以得到 (ℭᴀ,ℭᴀ) 的一个极大元 B ,如果 B 不是反链,那么存在 x,y∈B 满足 x<ʟ y,因此 (B−{y})↓=B↓ ,这与 B 是极大元矛盾,反证充分性成立。因此引理成立。(根据格论的对偶原理,我们还可以定义“升集”,并证明升集的数量和反链的数量一样)。

根据引理,定理就转化为Lₖ 的反链的个数是多少。下面利用数学归纳法证明: k=1 时显然定理成立。假设 Lₖ 满足定理,求 Lₖ₊₁ 满足定理。设 A⊆Lₖ₊₁ 是一条反链,如果 αₖ₊₁∉ A,那么 A∈𝕱(Lₖ),其中 𝕱(Lₖ) 是 Lₖ 的全体反链;如果 bₖ₊₁∉A 但 αₖ₊₁∈A ,那么由于 αₖ₊₁ 与 Lₖ 中全部元素都没有序关系,因此这样的 A 有 |𝕱(Lₖ)| 个;如果 bₖ₊₁∈A ,此时 αₖ∈A ,不能看出,这样的反链 A 的个数=│{B∈𝕱(Lₖ):αₖ∈B}│ ,即 |𝕱(Lₖ₋₁)| ,那么 |𝕱(Lₖ)|=2|𝕱(Lₖ)|+|𝕱(Lₖ₋₁)| ,由递归可得 |𝕱(Lₖ)|=fₖ₊₁+2fₖ₊₂=fₖ₊₄ ,由数学归纳法可得定理成立。

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