格的笛卡尔积的同余关系

设L，M 为两个格，定义 (L × M，∧，∨) 为(l₁，m₁) ∧ (l₂，m₂)＝(l₁∧l₂，m₁∧m₂)，(l₁，m₁)∨(l₂，m₂)＝(l₁∨l₂，m₁∨m₂)。

定理：假设ψ 是 L × M 的同余关系，那么存在 L，M 上的同余关系 α，β 满足 α ⨂ β＝ψ ，其中 α ⨂ β＝{[α，x)，(b，y)]：(α，b)∈α，(x，y)∈β} 。反过来，对于任意 L，M 上的同余关系 α，β ， α ⨂ β 都是 L × M 上的同余关系。

证明：首先证明第二个定理。假设[(α，x)，(b，y)] ∈α ⨂ β，任选 (c，z)∈L × M，求 [(α∧c，x∧z)，(b∧c，y∧z)]∈α ⨂ β。因为 (α，b)∈α → (α∧c，b∧c)∈α且 (x，y)∈β →(x∧z，y∧z)∈β，那么 [(α∧c，x∧z)，(b∨c，y∨z)]∈α ⨂ β；同理可证 [(α∨c，x∨z)，(b∨c，y∨z)]∈α ⨂ β，因此对于任意 L，M 上的同余关系 α，β ，α ⨂ β 都是 L × M 上的同余关系。

再证明第一个定理。假设ψ 是 L × M 的同余关系，定义 (α，b)∈α↔∃x∈M，[(α，x)，(b，x)]∈ψ，注意到如果 [(α，x)，(b，y)]∈ψ，那么有 [(α∧(α∨b)，x∧x∧y)，(b∧(α∨b)，y∧x∧y)]∈ψ，即 [(α，x∧y)，(b，x∧y)]∈ψ，进一步可得 [(α，y)，(b，y)]∈ψ。因此我们有如下定理：如果存在 x，y∈M 满足[(α，x)，(b，y)]∈ψ ，那么对于任意 z∈M 都有 [(α，z)，(b，z)]∈ψ。因此我们可以把 α 的定义改为 (α，b)∈α ↔ ∀x ∈ M，[(α，x)，(b，x)]∈ψ。

下面求α 是 L 的同余关系。由于 (α，b)∈α 蕴含 ∀x ∈ M，[(α，x)，(b，x)]∈ψ，那么 [(α∧c，x)，(b∧c，x)]∈ψ 和 [(α∨c，x)，(b∨c，x)]∈ψ 成立，因此 α 是 L 的同余关系。同理，我们可以根据 ψ 诱导出 M 上的同余关系 β 。

下面证明ψ＝α ⨂ β 。假设 [(α，x)，(b，y)]∈ψ，那么 [(α，x)，(b，x)]∈ψ 和 [(α，x)，(α，y)]∈ψ，因此 (α，b)∈α 和 (x，y)∈β，可得 ψ ⊆ α ⨂ β；假设 (α，b)∈α 和 (x，y)∈β ，那么 (x∧y，x)∈β 和 (x∧y，y)∈β，因此 [(α，x∧y)，(α，x)]∈ψ 和 [(b，x∧y)，(b，y)]∈ψ 与 [(α，x∧y)，(b，x∧y)]∈ψ，由 ψ 的传递性可得 [(α，x)，(b，y)]∈ψ，即 ψ ⊇ α ⨂ β ，因此 ψ＝α ⨂ β 。

上面的定理表明α，β 和 ψ 是一一对应关系，因此如果 L × M 的只有奇数个同余关系，那么 L，M 至少有一个是只有一个元素的格，因为两个及以上元素的格 L 至少有两个同余关系：相等关系和 L² 。

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