连续函数的有界定理与最值定理

目录

连续函数 ▹

有界 ▹

有界性定理（Weierstrass第一定理）▹

（一）使用Bolzano-Weierstrass定理 ▹

（二）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（一）▹

（三）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（二）▹

（四）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理 ▹

最值 ▹

最值定理（Weierstrass第二定理）▹

（一）使用Cantor确界存在定理 ▹

（二）使用Bolzano-Weierstrass定理 ▹

（三）使用Heine-Borel-Lebesque有限覆盖定理 ▹

连续函数

设f：X → ℝ 是定义在实数域 ℝ 的子集 [公式]X 上的函数，称函数 f 在某一点 x₀∈X

连续，是指：

对任意给定的ε＞0 ，存在一个 δ＞0 ，使得对一切 x∈X ，当其满足不等式

|x – x₀|＜δ的时候，

均有

|f(x) – f(x₀)|＜ε

对于绝大部分情况，当点x₀ ∈ X 不是孤立点而是集合 X 的极限点时候，函数 f

在点x₀ ∈ X 处连续可以等价描述为：

lim f(x)＝f(x₀)

x→x₀

有界

f：X → ℝ是定义在实数域 ℝ 的子集 Ⅹ 上的函数.

如果存在实数M ，使得对一切 x∈X 都有 f(x)≤M，则说函数 f 是有上界的；

如果存在实数M ，使得对一切 x∈X 都有 f(x)≥ –M，则说函数 f 是有下界的；

如果存在实数M ，使得对一切 x∈X 都有 |f(x)|≤M，则说函数 f 是有界的.

有界性定理（Weierstrass第一定理）

设实数α＜b，设 f：[α，b] → ℝ 是定义在闭区间 [α，b] 上的连续函数.

那么 f 是有界函数，

也即存在着有限的常数m 和 M，使得当 x∈[α，b] 时

m ≤ f(x) ≤ M

原则上，从实数系的每个基本定理（及与之等价的命题）都可以证明有界性定理，这里选取几种证明方法

证明：

（一）使用Bolzano-Weierstrass定理

设函数f 在闭区间 [α，b] 上无界

则对于每个正实数A ，都存在一个 x∈[α，b]

使得 |f(x)| ≥ A

所以对每个n∈ ℕ*，存在 x∈ [α，b]

使得 |f(x)| ≥ n

那么可以找到一个序列 {xₙ}⊂ [α，b]（n∈ℕ* ）

使得 |f(xₙ)| ≥ n

根据Bolzano-Weierstrass定理（又称凝聚定理、列紧性定理或致密性定理）

这个序列{xₙ} （n∈ℕ* ）一定含有收敛子列 {xₙₖ} （ k∈ℕ*）

设 lim xₙₖ＝x₀

k→∞

由于 {xₙₖ} ⊂ [α，b] ，则它的极限 x₀ ∈ [α，b]

又f 是闭区间 [α，b] 上的连续函数

由Heine归结原则

有 lim f (xₙₖ)＝lim f(x)＝f(x₀)

k→∞ x→x₀

|f(x₀)|＜＋∞

lim |f (xₙₖ) |＜＋∞

k→∞

而按照之前的假设

|f (xₙₖ)| ≥ nₖ ≥ k

这样可得

lim |f (xₙₖ) |＝＋∞

k→∞

这与之前的假设是矛盾的

所以 f 是有界函数

命题得证

（二）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（一）

f 是 [α，b] 上的连续函数，由连续函数的局部有界性

f 在任意点 x₀ ∈ [α，b] 连续，则它在此点的某个邻域 ∪ᴇ(x₀) 上有界

对于任意一点 x ∈[α，b] ，都存在这样的邻域 ∪(x)

在集合∪₀(x)＝[α，b]∩∪(x)上，存在正数 Mₓ ，使得 |f(x)| ≤ Mₓ

这样，对一切点 x ∈[α，b] 所构造的所有这样的邻域 ∪(x)，它们的全体组成了闭区间 [α，b] 的一个开覆盖

由Heine-Borel-Lebesgue定理（又称有限覆盖定理）

这个开覆盖中一定能选出有限个开集作为[α，b] 的一个有限子覆盖

这有限个开集∪(x₁)，∪(x₂)，· · ·，∪(xₖ) 覆盖了 [α，b]

并且存在正数M₁，M₂，· · ·，Mₖ，

使得对一切x ∈∪₀(xᵢ)＝[α，b]∩∪(xᵢ)（ i＝1，2，· · ·，k）

有|f(x)| ≤ Mᵢ（ i＝1，2，· · ·，k ）

令M＝max {M₁，M₂，· · ·，Mₖ}

对一切 x∈[α，b] ， x 必属于某个 ∪₀(xᵢ)

则|f(x)| ≤ Mᵢ ≤ M

可得f 在 [α，b] 上有界

命题得证

（三）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理（二）

任取x∈[α，b]

f 是 [α，b]上的连续函数，它在点 x₀ 处连续

则对任意给定的ε₀＞0，以及任意的 x₀∈[α，b]

存在δₓ₀＞0

使得对任意x' ∈(x₀ – δₓ₀，x₀＋δₓ₀)∩[α，b]

|f(x') – f(x₀)|＜ε₀

区间族{(x – δₓ，x＋δₓ)}ₓ∈[α，b] 构成了闭区间 [α，b] 的一个开覆盖

由Heine-Borel-Lebesgue定理

这个开覆盖中一定能选出有限个开集作为[α，b] 的一个有限子覆盖，即

{(xᵢ – δₓᵢ，xᵢ＋δₓᵢ)，i＝1，2，· · ·，k)

令ᴹ⁼ᵐᵃˣ ₁≤ᵢ≤ₖ {|f(xᵢ)|＋ε₀}

对任意的x∈[α，b] ，当

x∈(xⱼ – δₓⱼ，xⱼ＋δₓⱼ)，j＝1，2，· · ·，k时

|f(x)| ≤ |f(x) – f(xⱼ)|＋|f(xⱼ)|＜|f(xⱼ)|＋ε₀ ≤ M

可得f 在[α，b]上有界

命题得证

（四）使用Cauchy-Cantor闭区间套定理

设函数f 在闭区间 [α，b] 上无界

则令α₁＝α，b₁＝b

α₁＋b₁

闭区间[α₁，b₁]被中点───一分为二

2

α₁＋b₁ α₁＋b₁

两段闭区间[α₁，─── 和 ───， b₁]

2 2

至少有一个，函数 f 在其上无界

将函数f 在其上无界的那段闭区间记为

[α₂，b₂]

α₁＋b₁

如果在两段闭区间[α₁，─── 和

α₁＋b₁ 2

───，b₁]

2

上函数f都无界

则任取其中一个闭区间记为[α₂，b₂]

重复这一过程

α₂＋b₂

闭区间[α₂，b₂]被中点───一分为二

2

α₂＋b₂ α₂＋b₂

两段闭区间[α₂，─── 和 ───，b₂]

2 2

至少有一个，函数 f 在其上无界

将函数f 在其上无界的那段闭区间记为 [α₃，b₃]

α₂＋b₂

如果在两段闭区间[α₂，───] 和

2

α₂＋b₂

[───，b₂]

2

上函数f都无界

则任取其中一个闭区间记为[α₃，b₃]

这样不断重复下去

可得到一列闭区间套[𝐼ₙ] ， 𝐼ₙ＝ [αₙ，bₙ]，n∈ℕ*

显然满足

𝐼₁⊃𝐼₂⊃𝐼₃⊃ · · · ⊃ 𝐼ₙ₋₁ ⊃𝐼ₙ ⊃ 𝐼ₙ₊₁ ⊃ · · ·

并且

|𝐼ₙ|

|𝐼ₙ₊₁|＝──

2

bₙ – αₙ

bₙ₊₁ – αₙ₊₁＝───

2

b₁ – α₁ b – α

|𝐼ₙ|＝bₙ – αₙ＝───＝───

2ⁿ⁻¹ 2ⁿ⁻¹

（n∈ℕ*）

显然闭区间套{𝐼ₙ} 满足：

在每个闭区间𝐼ₙ＝[αₙ，bₙ]（ n∈ℕ* ）上，函数 f 都无界

lim|𝐼ₙ|＝0

n→∞

根据Cauchy-Cantor闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ∈∩∞ 𝐼ₙ

n＝1

即lim (bₙ – αₙ)＝0，

n→∞

lim αₙ＝lim bₙ＝ξ

n→∞ n→∞

αₙ ≤ ξ ≤ bₙ

在这一点ξ 的任意邻域，函数 f 都无界

而ξ∈[α，b]

函数f 在 [α，b] 上连续，则对 ξ∈[α，b] ，函数 f 应在其某个邻域内满足局部有界性

这样导出矛盾

所以f 是有界函数

命题得证

最值

设f：X → ℝ 是定义在实数域 ℝ 的子集 X上的函数，并设 x₀∈X.

如果对于一切x∈X ，都有 f(x₀) ≥ f(x)（ f(x₀) ≤ f(x)），

则称函数f 在 x₀ 处达到最大值（最小值），

点x₀ 称为函数的最大值点（最小值点）.

最大值和最小值统称最值，最大值点和最小值点统称最值点.

最值定理（Weierstrass第二定理）

设实数α＜b ，并设 f：[α，b] → ℝ 是在闭区间 [α，b] 上连续的函数.

那么f 在某点 xₘαₓ ∈[α，b]处达到最大值，在某点 xₘᵢₙ ∈[α，b] 处达到最小值.

同样，从实数系的每个基本定理（及与之等价的命题）都可以证明最值定理，这里选取几种证明方法

证明：

（一）使用Cantor确界存在定理

值域f([α，b]) 非空

由于f 在 [α，b] 上有界，由Cantor确界存在定理（又称确界原理）

f 的的值域 f[α，b] 有上确界和下确界

分别记作M＝sup f([α，b])，m＝inf f([α，b])

接下来只考虑上确界

假设对一切x∈[α，b]都有 f(x)＜M

构造函数

1

φ(x)＝───

M – f(x)

由于f(x) 是连续的，且 f(x)＜M

所以φ(x) 也是连续的

φ(x) 是闭区间 [α，b] 上的连续函数，根据有界性定理

存在有限常数μ，使得

1

0＜φ(x)＝───＜μ

M – f(x)

对一切x∈[α，b] 成立

即

1

f(x)＜M – ─

μ

对一切x∈[α，b] 成立

1

即M – ─ 是值域 f([α，b]) 的一个确界

μ

这与M 是值域 f([α，b]) 的上确界矛盾

从而必然存在xₘαₓ ∈[α，b]

使得f(xₘαₓ)＝M

1

同理可以构造函数ф(x)＝────

m – f(x)

证明必然存在xₘᵢₙ ∈[α，b]

使得f(xₘᵢₙ)＝m

命题得证

（二）使用Bolzano-Weierstrass定理

值域f([α，b]) 非空

由于f 在 [α，b] 上有界，由确界原理， f 的值域 f([α，b]) 有上确界和下确界

分别记作M＝sup f ([α，b])，m＝inf f([α，b])

接下来只考虑上确界

令n∈ℕ*

1

显然M – ─＜M

n

由于M 是 f([α，b]) 的最小上界

所以存在y∈f([α，b])，使得

1

M – ─＜y＜M

n

也即存在x∈[α，b] ，使得

1

M – ─＜f(x) ≤ M

n

那么可以找到一个序列{xₙ} ⊂ [α，b]（ n∈ℕ*）

1

使得M – ─＜f(xₙ) ≤ M

n

根据Bolzano-Weierstrass定理

这个序列{xₙ} （ n∈ℕ*）一定含有收敛子列 {xₙₖ}（ k∈ℕ*）

设lim xₙₖ＝xₘαₓ

K→∞

由于{xₙₖ} ⊂ [α，b] ，则它的极限 xₘαₓ ∈ [α，b]

1

M – ─＜f(xₙₖ) ≤ M

nₖ

又f 是闭区间 [α，b] 上的连续函数

由Heine归结原则

有lim f(xₙₖ)＝lim f(x)＝f(xₘαₓ)

k→∞ x→xₘαₓ

1

将M – ─＜f(xₙₖ) ≤ M 取极限，由夹逼定理 ↑

nₖ

可得

f(xₘαₓ)＝M

同理可证明必然存在xₘᵢₙ ∈[α，b]

使得f(xₘᵢₙ)＝m

命题得证

（三）使用Heine-Borel-Lebesgue有限覆盖定理

值域f([α，b]) 非空

由于f 在 [α，b] 上有界，由确界原理， f 的值域 f([α，b]) 有上确界和下确界

分别记作M＝sup f ([α，b])，m＝inf f([α，b])

接下来只考虑上确界

假如对任意一点x₀∈(α，b)，成立 f(x₀)＜M

1

取δ(x₀)＝─(M – f(x₀))，显然 δ(x₀)＞0

2

则存在点x₀ 的邻域 ∪(x₀)

对任意x' ∈∪(x₀)，f(x')＜M – δ(x₀)

对于α，b 两点，也存在邻域∪ (α)，∪(b)

对任意x' ∈∪(α)∩[α，b]，f(x')＜M – δ(α)

对任意x' ∈∪(b)∩[α，b]，f(x')＜M – δ(b)

这样，对一切点x∈[α，b]所构造的所有这样的邻域 ∪(x)，它们的全体组成了闭区间 [α，b] 的一个开覆盖

由Heine-Borel-Lebesgue定理

这个开覆盖中一定能选出有限个开集作为[α，b] 的一个有限子覆盖，即

有限个开集∪(x₁)，∪(x₂)，· · ·，∪(xₙ) 覆盖了 [α，b]

对任意x∈∪(xᵢ)∩[α，b] 上

f(x)＜M – δ(xᵢ)，其中 δ(xᵢ)＞0

(i＝1，2，· · ·，n)

取δ＝min {δ₁，δ₂，· · ·，δₙ}＞0

则对一切x∈[α，b]

f(x)＜M – δ

这与M 是 f 的值域的上确界矛盾

从而一定存在xₘαₓ ∈ [α，b]

f(xₘαₓ)＝M

同理可证明必然存在ₘᵢₙ ∈ [α，b]

使得f(xₘᵢₙ)＝m

命题得证

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