如何证明集合论基数的Zermelo-Konig定理？

而不能推出严格的不等式

∑αᵢ＜∑βᵢ 和Παᵢ＜∏βᵢ。

iel iel iel iel

例如，取l＝(1，2，3，· · ·)，令αᵢ＝i–1，βᵢ＝i，则有都有αᵢ＜βᵢ (i∈l)。但是根据基数加法与乘法的定义容易得出

0＋1＋2＋3＋· · ·＝R₀，1＋2＋3＋· · ·＝R₀，

即 ∑ αᵢ＝∑ βᵢ。

i∈l i∈l

然而对于基数的和及积之间，有着一个严格的不等式。它是葛尼格 (Julius Konig，1849—1913）1905年给出的。

葛尼格定理 设(αᵢ，i∈l)，(βᵢ丨i∈l)是两个基数集合，其中1为指标集合。如果对于任意的i∈l，都有αᵢ＜βᵢ，则下列不等式成立：

∑ αᵢ＝∑ βᵢ。

i∈l i∈l

证明 选取两个集合族(Aᵢ丨i∈l)和(Bᵢ丨i∈l)，使诸 Aᵢ 是互不相交的各具有势 αᵢ 的集，诸 Bᵢ是各具有势βᵢ的集。

在承认选择公理的情况下，可以假设 l 为良序集③。为简单计，我们用1，2，3，· · · 记 l 的若干元。因诸 Bᵢ 可用与其对等的集来代替而不影响Πβᵢ

i∈l

的大小，故由αᵢ＜βᵢ，可假定 Aᵢ 是 Bᵢ 的真子集，令Cᵢ＝Bᵢ–Aᵢ，

则有 Bᵢ＝Aᵢ∪Cᵢ，而Cᵢ⊃∅。

今由

A＝∑Aᵢ＝A₁∪A₂∪A₃∪· · ·∪ Aᵢ ∪ · · ·

i∈l

，B＝∏Bᵢ＝(B₁，B₂，B₃，· · ·，Bᵢ，· · ·)

‗ ‗

而来证明A＜B，其中B是元复合p=〈b₁， b₂， b₃，· · ·，bᵢ，· · ·〉(bᵢ∈Bᵢ)的集。

‗ ‗

首先有A＜B，事实上，若以cᵢ表示 C=Bᵢ–Aᵢ 中的一个固定元，则下列元复合的每一个

〈a₁，c₂，c₃，· · ·， cᵢ，· · ·〉(a₁∈A₁)

〈c₁，a₂，c₃，· · ·，cᵢ，· · ·〉(a₂∈A₂)

· · · · · · · · ·

〈c₁，c₂，c₃，· · ·，aᵢ，· · ·〉(aᵢ∈Aᵢ)

· · · · · · · · ·

(注意它们只有一个aᵢ，其余都是固定元 c !）当其中 aᵢ “走遍”所属的集 Aᵢ 时，分别构成 B 的一个子集；这些子集互不相交，且各与A₁，A₂，· · ·，Aᵢ，· · ·对等：由此可见，A与B的一子集对等。

另一方面，设

P＝∑ Pᵢ=P₁∪P₂∪P₃∪· · ·∪Pᵢ∪· · ·

i∈l

＿＿＿＿＿＿

是 B 的一个与 A 对等的子集 (其中Pᵢ~Aᵢ) ；我们证明，它不能与整个 B 全同，

‗ ‗ ‗ ‗

从而等式A=B不成立，因此只剩下A＜B。

现考察属于 Pᵢ 的一切元复合

pᵢ=〈bᵢ₁， bᵢ₂， bᵢ₃，· · ·，bᵢᵢ， · · ·〉，

而特别是其中的元 bᵢᵢ： 这些 bᵢᵢ 组成了一个在Bᵢ 中的、

‗ ‗

其势≤ Aᵢ的集Dᵢ (因既然只有Aᵢ个pᵢ，而属于不

同pᵢ的bᵢᵢ又不必不相同，

‗

故至多只有Aᵢ个bᵢᵢ)。因此有 Dᵢ⊂Bᵢ 或

Bᵢ=Dᵢ∪Eᵢ，Eᵢ⊃∅。

对于每一 i∈l，我们从Eᵢ中任取一元eᵢ，则元复合

p=〈e₁，e₂，e₃，· · ·，eᵢ，· · ·〉

与所有的pᵢ都不同 (eᵢ≠bᵢᵢ)，而且对于每一 i 都这样，故p不属于P，因而P=B 为不可能。这就证明了葛尼格的定理。

特殊地，如果定理中0＜α₁＜α₂＜α₃＜· · · 是一列递增的基数，则有

α₁＋α₂＋α₃＋· · ·＜α₂α₃α₄· · ·，

或，当我们令

α=α₁＋α₂＋α₃＋· · ·，β=α₁α₂α₃· · ·时：

α=α₁＋α₂＋α₃＋· · ·＜1 • α₂α₃· · ·≤α₁α₂α₃· · · =β≤ααα· · ·=αℵ⁰，α＜β≤αℵ⁰。

可见存在着满足α＜αℵ⁰的势α，而且有无限多个，因为我们可用一任意大的α₁；开始。但也存在着同样是无限多的、满足c＜cℵ⁰的基数c，这就是具有形式gℵ⁰的基数，因

(gℵ⁰)ℵ⁰=gℵ⁰ℵ⁰=gℵ⁰。

其次，在葛尼格定理中，取 l=N，αᵢ=1，βᵢ=2。于是得到

∑ 1＜∏ 2。

i∈N i∈N

即

1＋1＋1＋· · ·＜2·2·2· · · ·，

根据基数运算的性质，上式就是

‗ ═══

ℵ₀=N＜𝒫 (N)=2ℵ⁰，

此即康托不等式。因此，康托定理是葛尼格定理的特殊情形。

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