ZFC是矛盾的：为什么类模型不是模型

Paradox： ZFC is inconsistent.

Proof：令FORM₁ 为集合论语言中只有一个自由变元的公式（的编码）集合。按照我们编码公式的习惯，可以假设所有公式符号都落在 Vω 中。现在定义：

G＝{(⌜φ⌝，α} ∈ FORM₁ × Vω：V ⊨ φ[α]} ⊂ Vω × Vω.

所以，Gᵤ：＝{α：(u，α)∈G}，当 u 取遍 Vω 时，就列举了 Vω 中所有可定义的子集。显然，当 u ∈ FORM₁ 时 Gᵤ 才可能不为空集，这时 Gᵤ＝Gφ 为由 u＝⌜φ⌝ 定义的子集。现在采取康托的对角线论证法，定义 D＝{u ∈ Vω：u ∉ Gᵤ} 。按定义， D ≠ Gᵤ，∀u ∈ Vω。所以 D 是不可定义的。但是我们明明已经定义了 D，矛盾。 ▢

揭晓答案，这个证明的错误在于“V ⊨ φ[α]”这个（二元）关系是不可定义的，原因是 V＝{x：x＝x} 是一个真类。

回忆一下在模型论里我们定义过A ⊨ φ[σ]这个三元关系 R(A，⌜φ⌝，σ) ，其中 σ ∈ Aⱽᵃʳ 为赋值序列：

• 若 φ 是原子公式，即 φ 为 x₁ ∈ x₂ 或者 x₁＝x₂ ，那么 R(A，⌜x₁ ∈ x₂⌝ ，σ) ⇔ σ(x₁)∈σ(x₂)，而 R(A，⌜x₁＝x₂⌝ ，σ) ⇔ σ(x₁)＝σ(x₂)；

• 若 φ 是一个否定式，即 φ 为某个 ¬ψ ，那么 R(A，⌜¬ψ⌝，σ) ⇔ ¬R(A，⌜φ⌝，σ)；

• 若 φ 是一个蕴含式，即 φ 是 ψ₁ → ψ₂ ，那么

R(A，⌜ψ₁ → ψ₂⌝，σ) ⇔ ¬R(A，⌜ψ₁⌝，σ)∨R(A，⌜ψ₂⌝，σ)

• 若 φ 是一个存在式，即 φ 为 ∃x₁ψ(x₁，x₂，· · ·，xₙ) ，那么

R(A，⌜∃x₁ψ⌝，σ) ⇔ ∃y ∈ A[R(A，⌜ψ⌝，σ＋(x₁/y))].

其中 σ＋(x₁/y) 为将 σ(x₁) 的值换成 y 后得到的赋值序列。

通常我们将R(A，⌜φ⌝，σ) 写成 A ⊨ φ[σ]。

注意到，这个定义有意义的原因在于，所有参数都是集合，而且我们实际上在使用递归定义定理来统一地定义R ，也即由递归定义定理， R 能写成一条公式（尽管很复杂）。但如果A不是集合，而是真类，那么递归定义定理就失效了，也就不能再像上面那样定义关于真类的满足关系。

而且从一开始展示的悖论也能看到，不可能有任何方法定义关系V ⊨ φ[σ] 使得： φ[σ] ⇔ V ⊨ φ[σ].

这就是为什么当哥德尔构造出了可构造宇宙L 并且证明 L 是ZFC的（类）模型之后，我们也不能就此认为ZFC是一致的，因为 L 是一个真类。

另一方面，我们还有另一种满足关系的定义，叫做相对化。注意，相对化是在元理论里定义的，它本质上只是对表达式的改造：任给集合论的一阶公式φ ，公式 M(x) 看作类，公式 E(x，y) 看作M上的属于关系，我们可以如下定义 φ 的相对化（也是一个公式），记为 φᴹ’ᴱ ：

• 若 φ 为 x∈y 或 x＝y ，则公式 (x∈y)ᴹ’ᴱ 就是 E(x，y) ，公式 (x＝y)ᴹ’ᴱ 就是 x＝y ；

• 若 φ 是 ¬ψ 或者 ψ₁ → ψ₂ ，则公式 (¬ψ)ᴹ’ᴱ 就是 ¬ψᴹ’ᴱ ，公式 (ψ₁ → ψ₂)ᴹ’ᴱ 就是 ψ₁ᴹ’ᴱ → ψ₂ᴹ’ᴱ；

• 若 φ 是 ∃xψ(x，y) ，则公式 [∃xψ(x，y)]ᴹ’ᴱ 就是 ∃x[M(x)∧ψᴹ’ᴱ(x，y)] 。

那么，当我们想表达集合A的相对化时，就取M(x) 为 x ∈ A ， E(x，y) 为 x∈y 即可，此时我们简记为 φᴬ 。

可以对表达式的长度归纳地验证，任给集合A ，我们有 φᴬ[σ] ⇔ A ⊨ φ[σ]。（这实际上是一条定理模式，即对每个公式 φ 有一条相应的定理，归纳是在元理论里完成的）。

相对化的好处是，我们可以讨论真类的相对化，然后不假思索地将真类的相对化看成是真类的满足关系。这样做在一定程度上是可行的，原因在于一个很明显的结论：将任何一个（在元理论里给出的）证明序列里的公式做相对化后依然是一个证明序列。从而仅就讨论ZFC理论的相对一致性来说，相对化就已经足够了。

有人也可能会想到，如果我们用相对化代替上面证明中V ⊨ φ[α] 的位置行不行呢？比如说：

G＝{(α，⌜φ⌝)∈ FORM₁ × Vω：φⱽ[α]}

这种定义乍一看可行，但仔细想就会发现很荒唐。因为

x ∈ G ⇔ (∃u ∈ FORM₁)(∃α ∈ Vω)[x＝(u，α)∧φ[α]]

这个 φ 不是固定的，而随着u的改变而改变，所以上面右边实际上应该写成无穷条公式的析取：

x ∈ G ⇔ ∨ (∃α ∈ Vω)(x＝(⌜φ⌝，α)∧φ[α]).↑

⌜φ⌝∈FORM₁

这显然是不可能的，因为集合论中公式都是有穷的。

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