西罗定理

西罗第一定理：对于任意素数p， pᵏ 整除有限群 G的阶，则G 中有 pᵏ 阶子群。

证明: 主要思路是考虑群G在G的全体pᵏ 元子集上的群作用，使得集合中某个元素的稳定子阶为 pᵏ 。

设|G|＝pˡm ， (m，p)＝1 。于是 k ≤ l ，令 r＝l – k 。设G的全体 pᵏ 元子集为 Ω ，

(pˡm)

显然 |Ω|＝(pᵏ)。定义群作用 σ：G × Ω → Ω ， σ(g，ω)＝{gx丨x ∈ ω}， g · ω＝σ(g，ω) 。

我一直觉得代数的记号很原始，比如G × Ω → Ω，柯里化一下就是 G → (Ω → Ω) ，对于任意 g∈G ， σ(g) 用lambda表示 σ(g)＝x → g · x 。于是 σ(αb)＝x →(αb) · x＝x → α · (b · x)＝σ(α)◦σ(b)， σ(e)＝x → x，其中 x → x 是 SΩ 的单位元。 σ(g)◦σ(g⁻¹)＝σ(g⁻¹)◦σ(g)＝idΩ，于是 σ(g) 是 Ω 上的双射， σ(g) ∈ SΩ ， σ 是G → SΩ 的同态。

对于任意ω ∈ Ω ， x ∈ ω ， Gω 为 ω 的稳定子， G(ω) 为 ω 的轨道。 x ∈ ω ⊂ G， Gω＜G， Gωx是 Gω的右陪集，∀g ∈ Gω ， g · ω＝ω ， gx ∈ ω ， Gωx ⊂ ω ，因此|Gω|＝|Gωx| ≤ |ω|＝pᵏ 。根据轨道稳定子定理

|G| pˡm

|G(ω)|＝── ≥ ──＝pʳm。

|Gω| pᵏ

如果存在 ω 使得 Gω＝pᵏ ，原题得证，否则 ∀ω ∈ Ω 都有 |G(ω)|＞pʳm 。

我们只关心p的阶，引入p进求值函数υₚ(x)，他代表素数p在x中的阶。由代数基本定理有 υₚ(x × y)＝υₚ(x)＋υₚ(y) ，υₚ(x＋y) ≥ min{x，y} 。

∀ω ∈ Ω：υₚ(|Gω|) ≤ k，当不存在 ω 使得 υₚ(|Gω|)＝k，则 υₚ(|Gω|)＜k 。根据轨道稳定子定理 |G|＝|Gω| × |G(ω)| ， υₚ(|G|)＝υₚ(|Gω|)＋υₚ(|G(ω)|)， υₚ(|G(ω)|)＞1 – k＝r ，|Ω|＝∑G(ωᵢ)＝min(ω₁，ω₂，. . .，ωₙ)＞r

i∈l

（其中 ωᵢ 为每条轨道的代表元）。

(pˡm) pˡm (pˡm – 1)

|Ω|＝ ＝── ×

(pᵏ) pᵏ (pᵏ – 1)

pˡm pᵏ – 1 pˡm – i pˡm

＝── × ∏ ───＝──

pᵏ i＝1 pᵏ – i pᵏ

i

pᵏ – 1 pˡ⁻υₚ⁽ⁱ⁾m – ──

υₚ(i)

× ∏ ────────

i＝1 pˡ⁻υₚ⁽ⁱ⁾ – i

──

υₚ(i)

，其中 i＜pᵏ ，υₚ(i)＜k ≤ l ，因此 p丨pˡ⁻υₚ⁽ⁱ⁾ 且 p丨pᵏ⁻υₚ⁽ⁱ⁾ ，

i

但 p ∤ ──，

υₚ(i)

求积符号里的每一项都没有p的因子。 υₚ(|Ω|)

pˡm

＝υₚ (──)＝r，与 (|Ω|)＞r 矛盾，

pᵏ

因此一定存在 ω 使得 |Gω|＝pᵏ 。

西罗第二定理：群G的p子群包含于某个西罗p子群，西罗p子群彼此共轭

引理：p群H在集合 Ω 有一个群作用 σ：H × Ω → Ω，则 |Ω| ≡ |Ω₀|(mod p)。

定义 Ω 上的关系，因此p││H(ωᵢ) 他满足自反性： σ(e，α)＝α ，对称性： σ(g，α)＝b 则 σ(g⁻¹，b)＝σ(g⁻¹，σ(g，α))＝σ(g⁻¹g，α)＝α，传递性： σ(g，α)＝b， σ(h，g)＝c 则 σ(gh，α)＝σ(g，σ(h，α))＝c 。它是一个等价关系，每个等价类是 Ω 的一个轨道。如果某个轨道只有一个元素 ω ，则他的稳定子

|H|

|Hω|＝───＝|H|，

H(|ω|)

于是 ω 是不动点，他的稳定子是整个群。

令Ω₀ 为 Ω 的所有不动点，|Ω|＝|Ω₀|＋∑|H (ωᵢ)| i∈l

，其中 ωᵢ 为非不动点轨道代表元，因此 H(ωᵢ)＞1，又 |H(ωᵢ)|

|H|

＝ ───，

|Hωᵢ|

因此 p丨丨H(ωᵢ) ， |Ω| ≡ |Ω₀|(mod p)。

证明：对于任意G的p子群H，西罗p子群P，令Ω 为G到P的左商集，

[G]

|Ω|＝[G：P]＝──＝m。

|P|

定义群作用 π：H × Ω → Ω ， π(h，gP)＝(hg)P 。由引理 |Ω| ≡ |Ω₀|(mod p) ， |Ω₀|＞0 ，因此 Ω 有不动点 gP 。 ∀h ∈ H，π(h，gP)＝(hg)P＝gP，于是 hg~g （左陪集等价）， g⁻¹hg ∈ P ，设 g⁻¹hg＝p ，h＝gpg⁻¹ ∈ gPg⁻¹ ， H ⊂ gPg⁻¹ 。当H是西罗p子群时

|H|＝|P|＝|gPg⁻¹| ，于是 H＝gPg⁻¹ ， 因此西罗 p子群彼此共轭， gPg⁻¹ 也是西罗p子群。

西罗第三定理：群G的阶为 pˡm 且， (m，p)＝1，令西罗p子群的个数为 ⁿp ，则：

1. nₚ|m ，m为西罗p子群在G中的指数。

2. nₚ ≡ 1(mod p)

3. nₚ＝[G：Nɢ(P)] ，P为G的任意一个西罗p子群，Nɢ(P) 为P在G中的正规化子。

设G的全体西罗p子群为Ω ，考虑G在 Ω 上的共轭作用 σ：G × Ω → Ω ， σ(g，P)＝gPg⁻¹，P的稳定子 Gᴘ 就是P在G中的正规化子 Nɢ(P) 。

∀p ∈ P：pPp⁻¹ ⊂ P， |pPp⁻¹|＝|P| ，于是 pPp⁻¹＝P ， P ⊂ Nɢ(P) ， ∀α ∈ Nɢ(P)，αPα⁻¹＝P ，因此 P ◃ Nɢ(P) 。

证明：西罗p子群彼此共轭，于是∀P ∈ Ω ， nₚ＝|G(P)|＝[G：Gᴘ]＝[G：Nɢ(P)]。 |G|

──

|G| |P|

[G：Nɢ(P)]＝───＝───

|Nɢ(P)|| |Nɢ(P)|

────

|P|

m

＝────

[Nɢ(P)：P]

，因此 nₚ丨m ， (nₚ，p)＝1。

考虑P在Ω 上的共轭作用 τ：P × Ω → Ω ， (|Ω|，p)＝1，于是 Ω 有不动点。取 Q ∈ Ω₀ ， ∀p ∈ P pQp⁻¹＝Q，于是 P＜Nɢ(Q) ，因此P也是 Nɢ(P) 的西罗p子群，又 Q ◃ Nɢ(Q) ，于是 P＝Q ， |Ω₀|＝1 。 nₚ＝|Ω| ≡ |Ω₀| ≡ 1(mod p) 。

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