Sylow 定理

老师与学生交流剧情：

啊，如果考试的时候让我自己证明 Sylow 定理，我大概会这么证：先把一个群G 同构到对称群 Sₙ 的子群，也就是把每个群元素的左乘看作一个排列；然后再把 Sₙ 同构到矩阵群 GLₙ(𝔽ₚ) 的子群中去，把每个排列看成对 𝔽ⁿₚ 向量元素的重新排列操作。后者我们知道是有个 Sylow 子群的，就是上三角矩阵，所以下面我们需要证明如果一个群有 Sylow 子群，那么它的子群也有 Sylow 子群 ——

停停停，老师说，我不是想让你当场发明一个新的证明。你不是说你看了书，内容都学过了吗？书上怎么讲的？

呃 ...... 第一个定理说的是，如果群G 有 pⁿm 个元素，其中 p 是素数， p ∤ m ，那么 G 有一个 Sylow 子群，也就是一个大小为 pⁿ 的子群。书上讲的应该是，构造了一个聪明的群作用，好像是 G 作用在它所有大小为 pⁿ 的子集上。怎么作用的？要么是左乘，要么是共轭。我记不住是哪个了，先试试左乘？下面考虑轨道和稳定子群。怎么考虑呢，我记得和 p 的整除性有关系，哦不对，当时好像不是某个轨道里的东西变成了 Sylow 子群，好像是某个别的有关的东西神奇地成为了 Sylow 子群？稳定子群？啊想不起来了。如果我要证明的话，还是把群放进 GLₙ(𝔽ₚ) 最自然。

最自然？我不这么认为，老师说，别人任意给我一个群，我怎么会自然地想到矩阵这个糟糕的东西。矩阵和自由群是代数中两个最糟糕的东西，做题的时候不要往这上想。给了你一个 pⁿm 个元素的群，不知道它的任何结构，让你找一个大小为 pⁿ 的子群，你最自然的想法是怎么找？

呃，不能用矩阵——那我先找一个p 阶的元素，这是 Cauchy 定理。然后再往里加东西，就像给一个向量空间找基一样，或许有某种 Zorn 引理的方法——

我们的群都是有限的，用什么 Zorn ......

您这意思是说，让我直接找一个最大的p 子群？

就是这样！老师说，所以我们第一句话是，设H 为 G 里最大的 p 子群。非常自然。我们希望 H 的大小是 pⁿ ，也就是说， |G|/|H| 不能被 p 整除。现在怎么办呢？ |G|/|H| 这个东西我们不喜欢，因为 H 是一个随机的东西， G/H 不一定是群，极大地限制了我们能做的事。所以怎么办？

你说，G/H 不是群怎么办，那我让他是群呗。拿出 H 的正规化子 N＝Nɢ(H) ， N/H 就是群了。啊哈，这个想法好， N 就是 H 在共轭下的稳定点，那么 |G|/|N| 也有意义！我们可以写出

|G| |G| |N|

──＝── · ──＝(H ) · ( N/H )

|H| |N| |H|

就是这样！老师说。我们希望这个不被p 整除。先看这个商群。做题的时候，凡是遇到商群，你首先应该想到什么？

◯N ↘

◯ q→ N/H

◯ ↗ ◯

商群？你说，那当然是商映射，毕竟商群就是为了研究群同态，用来代表值域的东西嘛。设 q：N → N/H 为商映射，这是个把每 |H| 个元素映射到一个元素的满射同构。下面怎么办？要证明 p 不整除这东西的值域的大小。不整除，这怎么证？

是啊，不整除，每次遇到这种句子你应该怎么办，比如“方程x⁴＋y⁴＝z⁴ 没有解”这种否定句子——

反证法！你说，那我假设p 整除这个群的大小，嗯，那我就有 Cauchy 定理，找一个大小为 p 的子群。为什么不能有大小为 p 的子群？我们手上有个商映射，那把这个子群拉回去看看，我们得到了一个——大小为 p|H| 的子群！啊，这与 H 是最大的 p 子群矛盾！

很好，所以N/H 的大小不被 p 整除是很容易证明的。这就是为什么我们一定要找一个群来工作。下面来看这个更麻烦的集合：设 X 为 H 的共轭组成的集合。自然地， G 以共轭作用在这个集合上。可是只有一个轨道，怎么更好地利用这个群作用呢？我们一开始希望的是这个集合的大小不被 p 整除。什么样的群作用可以和 p 扯上关系？

你思考了一会。需要一个群作用来判断p 的整除性。这个技巧我好像见过，你想，那是在证明一个大小为 pⁿ 的群的中心不平凡的时候。那现在我们就需要一个这种群。 H 就是这样的。所以您说的是，让 H 以共轭作用在 Ⅹ 上？

老师微笑说，你继续。

好，那H 以共轭作用在 H 的所有共轭构成的集合上。因为 H 的大小是 p 的幂，轨道要么只有一个元素要么有 p 的倍数个元素。假如所有轨道大小都是 p 的倍数怎么办？

这很明显是不可能的，为什么？老师问。

很明显？

对。哪个轨道很明显只有一个元素？

H 作用在 H 的共轭组成的集合上。啊，那就是 H 了，它最特殊，如果用 H 的东西共轭得到的东西总会在 H 里。可如果万一我们正好有 p – 1 个 H 的别的共轭，轨道也只有一个元素怎么办？

那我们就来看看吧，老师说。假设gHg⁻¹ 就是这样一个共轭，那么公式

h(gHg⁻¹)h⁻¹＝gHg⁻¹

对H 中的所有 h 都成立。这样的话，整个群 gHg⁻¹ 在共轭作用下都让 H 成为不动点。也就是说， gHg⁻¹ 被包含在 N 里，然后呢？

⇁ N/H

~S⁻¹HS ⇁ (e)

10 S⁻¹Hs＜MRQ →＝N

10 S⁻¹Hs＝H

呃，N 这里又拿出来了，是不是在提示我也要把刚才那个商映射 q：N → N/H 拿出来呢？如果我们把 gHg⁻¹ 用 q 送进 N/H 里，我们发现，发现我们得到的一个单元素集合！因为 gHg⁻¹ 和 H 一样大！而 gHg⁻¹ 本身又是个群，所以那个单元素必须是 1 ！也就是说， gHg⁻¹ ⊂ ker q。也就是说，gHg⁻¹＝H。Sylow 定理得证！

真的吗，你确定？老师问。

你想了一下。Sylow 定理说的是，第一，存在 Sylow 子群；第二，Sylow 子群的数量除p 余 1 ——如果每个 Sylow 子群都在 X 里多好啊——可这说的是，每个 Sylow 子群都共轭，所以第二条和第三条等价。那这就是我们现在的愿望，想每个 Sylow 子群都在 Ⅹ 里。为什么呢？

很好，但这很简单，老师说，因为方法跟刚才一样。

跟刚才一样？但这次我们的子群K 如果作用在 X 上， H 就不特殊了啊，你说。

不过没关系，老师说。因为你已经知道X 的大小除 p 余 1 了。

那就可以跳过中间那步，直接找一个大小为 1 的轨道，所以K 的所有元素 k 都满足 k(gHg⁻¹)k⁻¹＝gHg⁻¹ 。还像刚才那样，把这句话翻转一下，就是， g⁻¹ Kg 在共轭作用下让 H 成为不动点，所以 g⁻¹Kg 在 N 里面，而它是个和 H 一样大的子群，所以由同样的推理它就是 H ，也就是说， K＝gHg⁻¹ ∈ X 。QED！

习题：设 G 为群， H 是 G 的正规子群， P 是 H 的 Sylow 子群，求证 G＝HNɢ(P) 。

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