Peano 自然数公理体系

本文我们介绍一下 Peano 的自然数公理体系来对自然数0，1，2，. . . 从逻辑上给出严格的定义 .

定义：设N 是一非空集合 , 且有

(i) 在N 内存在一个特定元素 0 ;

(ii) 存在N 到自身的一个映射 , 记作 n ↦ n⁺ , 称为后继映射 , 且满足 ∀n∈N ，有 n⁺ ≠ 0 和 n ↦ n⁺ 是一个单射 , 而 N 的一个子集 T 满足归纳公理 , 即如果具备下面的条件：

(a)0∈T；

(b) 若0∈T，则 n⁺ ∈T ，进而有 T＝N ；

此时称N 是一个自然数系 , N 内的元素 n 称为自然数 .

从自然数系定义中的归纳公理出发 , 就立马可以得到下面的第一归纳原理 .

定理(第一归纳原理): 如果每个自然数n 都对应于某个命题 E(n) , 如果命题 E(0) 和 E(n) 成立 , 则命题 E(n⁺) 成立 , 故可以断言命题 E(n) 对一切自然数 n 均成立 .

上面的第一归纳原理就是我们中学中常用的数学归纳法的理论来源 , 接下来我们再从N 的定义出发 , 在 N 内定义加法和乘法 , 于是我们先来证明下面的递归原理 .

定理(递归原理)：令S 是一个集合 , φ 是 S 到自身的一个映射 , α 是 S 的一个固定元素 , 则存在 N 到 S 的唯一的映射 f 满足

(i)f(0)＝α；

(ii)f(n⁺)＝φ(f(n)) .

证明：考察集合A＝{(n，s)：n∈n，s∈S} , 设 Γ 是具有下面性质的 A 的子集 ∪ 构成的集合 , 即 ∪ 满足 (0，α)∈∪ 和若 (n，b)∈∪ , 则 (n⁺，φ(b))∈∪ . 显然 A∈Γ , 故 Γ ≠ ∅ , 再令 F 是 Γ 内所有集合的交集 , 故有 (0，α)∈F , 进而得到 F ≠ ∅ , 下面证明 F 的两条基本性质 .

(i)∀n∈N , ∃b∈S 使得 (n，b)∈F . 证法如下：令 T＝{n∈N： b∈S， (n，b)∈F} , 且由于 0∈T , 若 n∈T , 即存在 b∈S 使得 (n，b)∈F , 则 (n，b) 属于 Γ 的任意元素 ∪ , 故 (n⁺，φ(b)) 属于 Γ 的所有元素 ∪ , 即 (n⁺，φ(b))∈F , 于是有 n⁺∈T , 根据归纳公理可知 , 得到 T＝N .

(ii) 若(n，b)∈T 和 (n，b')∈S , 则有 b＝b' . 证法如下：令

T＝{n∈N： (n，b)∈F (n，b')∈F， b＝b'} , 由于 (0，α)∈F , 若 (0，α')∈F 和 α ≠ α' , 故从 F 中去掉 (0，α') 后得到 A 的子集 F' , 显然有 F'∈Γ , 故 F ⊆ F' , 此时与 F' 是 F 的真子集矛盾 , 故有 α＝α' , 即有 0∈T , 然后只需证明若 n∈T , 则 n⁺∈T 即可 , 假设 n⁺ ∉T , 于是取 (n，b)∈F , 此时 (n⁺，φ(b))∈F , 且有 c ≠ φ(b) 使得 (n⁺，c)∈F , 则从 F 中去掉 (n⁺，c) 得到子集 F' , 显然有 F'∈Γ , 故 F ⊆ F' , 推出与 F' 是 F 的真子集矛盾 , 因此根据归纳公理可知 , 有 T＝N .

(iii) 现在定义N 到 S 的映射 f 为若 (n，b)∈F , 且令 f(n)＝b , 则有 f(0)＝α 和 f(n⁺)＝φ(f(n)) . 如果另有从 N 到 S 的映射 g 也满足定理的要求 , 则可以利用归纳公理可知 , 对所有 n∈N , 都有 g(n)＝f(n) , 这就说明 f 是唯一定理满足要求的映射 , 至此定理证毕 .

下面我们介绍一下N 内的加法 , 乘法和序 .

(1)N 内的加法运算

任取m∈N , 在递归公理中取 S＝N , α＝m 且 φ 为后继映射 , 然后得到从 N 到 N 的一个映射 fₘ , 对任意的 n∈N , 定义 fₘ(n)＝n＋m 为 N 内的加法运算 .

N 内的加法运算满足下面的运算规律：

(i)n＋0＝n；

(ii) 交换律n＋m＝m＋n；

(iii) 结合律(m＋n)＋l＝m＋(n＋l)；

(iv) 消去律m＋n＝l＋n ⇒ m＝l.

(2)N 内的乘法运算

任取m∈N , 在递归公理中取 S＝N , α＝0 且 φ 为映射 n ↦ n＋m , 然后得到从 N 到 N 的一个映射 fᵐ , 对任意的 n∈N , 定义 fᵐ(n)＝nm 为 N 内的乘法运算 .

N 内的乘法运算满足下面的运算规律：

(i)0 · m＝0；

(ii) 交换律m · n＝n · m；

(iii) 结合律(m · n) · l ＝m · (n · l)；

(iv) 消去律m · n＝l · n，n ≠ 0 ⇒ m＝l；

(v) 分配律l · (m＋n)＝l · m＋l · n.

(3)N 内的序

∀m , n∈N，若 ∃x∈N , 使得 m＝n＋x , 则可以定义 m ≥ n 或 n ≤ m , 且满足下面的规则：

(i)m ≥ n，n ≥ m ⇔ m＝n；

(ii) 若m ≥ n 和 n ≥ l , 则有 m ≥ l；

(iii) 对于任意的m , n∈N，必有 m ≥ n 和 n ≥ m 之一成立 ;

(iv)N 的任意一个非空子集 S 中都存在最小自然数 , 即 ∃l∈S , 使得 ∀m∈S 有 m ≥ l；

(v) 若m ≥ n , 则 m＋l ≥ n＋l；

(vi) 若m ≥ n , 则 m · l ≥ n · l .

因此有了上述三方面的结果 , Peano 的自然数公理体系就严格地确立了 .

推荐阅读和参考文献：

[1] Jacobson , Nathan . 《Basic Algebra》

[2] Grove, Larry C. 《Algebra》

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。