Cauchy-Davenport定理

对于群(G，＋) 上的两个非空集合 A，B ，我们定义他们的Minkowski 和为

A＋B：＝{α＋b：α ∈ A，b ∈ B}

那么给定|A| 和 |B| ， |A＋B| 至少有多大呢？这个问题是堆垒数论，加性组合等领域的重要问题之一。历史上，这类问题也曾被称为 α＋β 问题；Mann [1]因为在 density 意义下证明了 α＋β 问题而获得了 Cole 数论奖。

当我们将群选取为(ℤ，＋) 时，只应用小学数学知识，可以很容易的证明下述结论。

Observation：如果 A 是整环 ℤ 的非空有限子集。那么 |A＋A| ≥ 2|A| – 1 。

证：由于 A＋A 包含 A＋min A 以及 A＋max A 于是命题显然。这里 min A，max A 指 A 中的最小元素和最大元素。

但是对于一般的群，这个问题就变得没那么显然了。比如对于一个和整数很像的群ℤ/pℤ ，即素数阶循环群。这时候群上的两个集合的Minkowski和最小是多少呢？这个就是著名的Cauchy-Davenport定理：

定理（Cauchy-Davenport）：如果 A，B 是 ℤ/pℤ 中的两个非空子集，那么 |A＋B| ≥ min{|A|＋|B| – 1，p}.

Cauchy-Davenport定理虽然和最上面提到的整数上的现象十分相似，但是证明的难度却相差很多。目前最简单的证明是通过 Nullstellensatz 来证（见 Yifan：我的Prelim考试试题）。

那么对于其他的群呢？

一般的，我们用(G，·) 来表示一个群，于是Minkowski和的定义变为了 AB＝{αb：α ∈ A，b ∈ B} 。

集合的大小实际上是离散拓扑下的测度。对于局部紧群，我们都有唯一的Haar测度。于是在这种群上我们都可以问，AB 的测度最小是多少呢？

为了简单起见，我们假设A，B 均为紧集，这时候 AB 也是紧集，于是可测。（一般的，如果 A，B 两个集合均可测， AB 不一定可测。学过实分析的同学可以尝试自己构造一下）

如果我们的群G 不包含任何有限正测度子群：即对任意子群 H ，要么 H 零测，要么 H 测度是无穷。这时候，直觉上群中的子群对 AB 的测度大小的影响比较小。比如欧氏空间 ℝⁿ 中，我们有 λ(A＋A) ≥ 2ⁿλ(A) ，其中 λ 是 ℝⁿ 上的一个Lebesgue测度。可以看到，这时 A＋A 的测度相对于 A 的测度增长很快。这个不等式也被称为Brunn-Minkowski不等式，在几何中有很多应用。这个方向在一般群上的进展也是我和朋友之前证明的一个结果，详见 Yifan：一个Brunn-Minkowski不等式 。

这里我们主要考虑的情况是，在群G 包含有限正测度子群时， A＋B 的测度可以有多小。容易看出，假设 H 是某个正测度紧群，且 A＝B＝H ，那么有 μ(AB)＝μ(A)＝μ(B) 。这时我们看不到 AB 在测度意义下有任何扩张。（这里 μ 是一个左Haar测度。）

上文也解释了这个现象：在整数中，一个元素加上另一个元素，会等于某一个元素（通俗的说一个数加一个数不会变成俩数）。这是由于整数 ℤ 上包含的最大正测度子群是 {1} ，测度是 1，因此这个子群会“吸收” A＋B 上的一个元素。另一方面，两个数加两个数最少包含三个数，这也是由于上述子群最多只能帮我们吸收掉一个元素。

上面的现象看似平凡，但是并没有很平凡。比如在实数ℝ 上，我们搭配 λ 为其上的一个Lebesgue测度。我们可以将整数一一对应到 ℝ 上的区间，比如 1 对应到 [0，1] ， 2 对应到 [1，2] 等等。但是这个时候，我们会发现 [0，1]＋[0，1]＝[0，2] ，即两个长度为 1 的区间加到一起变成了长度为 2 的区间（如果把区间当做数，相当于出现了一个数加一个数变成了两个）。这是由于 ℝ 是连通的，于是它不包含任何有限正测度的子群。这时候就没有子群帮助我们“吸收” A＋B 的大小了。

通过对比上文中ℤ/pℤ 上的 Cauchy-Davenport 定理，我们可以猜测，一般群上可能长这样：

μ(AB) ≥ min{μ(A)＋μ(B) – μ(H)，μ(G)}

其中H 是 G 中测度最大的真子群。考虑到 ℤ/pℤ 最大真子群大小为 1 ，上面的式子，如果成立，完美包含了原来的Cauchy-Davenport。

上面我们的“猜想”，对一般的幺模群是对的。这个结果的各种情况有很多数学家证过，最终阿贝尔群被Kneser证明（现在一般称为Kneser不等式），普通的幺模群被Kemperman证明（现在称为Kemperman不等式）。

可是这个式子在最一般的局部紧群是错的。一般的，假设 μ 是群上左平移不变的Haar测度， A 是某个紧集， 我们选取 B 使得 B 中只包含将 A 向右平移到测度非常小的集合。这时候， μ(AB) 可以非常接近 μ(B) ，哪怕群 G 上并没有任何有限正测度的子群。（特别的， μ(AB) 可以小于 μ(A) ）

因此在一般群上，我们需要同时引入左平移测度和右平移测度，来中和一个方向平移带来的影响。下面是我和朋友 Minh[2]最近证明的定理：

定理（J. -Tran, 2021）：如果 G 是局部紧群， Δɢ：G → ℝ 是modular function， μ 是一个左平移Haar测度， ν 是一个右平移Haar测度且满足 ν＝μ⁻¹ 。如果 A，B 是 G 上的正测度紧集，且 α＝inf Δɢ(x)，β＝sup Δɢ(y) 。 x∈A

y∈B

我们有

{ ν(A) μ(B)

min (───＋───)

{ ν(AB) μ(AB)

μ(H)

(1 – ───────)

ον(A)＋β⁻¹μ(B)

μ(G)

，───} ≤ 1，

μ(AB)

其中 H 是 ker Δɢ 上测度最大的紧真子群。

注意到当G 是幺模群时， α＝β＝1 ， μ＝ν ，上述定理中的不等式会退化成 μɢ(AB) ≥ min{μɢ(A)＋μɢ(B) – μɢ(H)，μɢ(G)} ，于是也蕴含了最原始的Cauchy-Davenport定理。

参考

1. Henry Mann, A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers, Annals of Mathematics, 43 (3) 523-527, 1942.

2. Yifan Jing and Chieu-Minh Tran, A Cauchy-Davenport theorem for locally compact groups, arXiv:2106.02924, 2021.

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