群的阶和基数的区别有哪些？

简单地说，这俩都是指群中元素的个数，不同的是出发的角度：基数是从集合的角度来看，阶则是从群的角度来看。

何为集合的基数？对于一个集合A ，其中元素的个数称为集合 A 的基数（或者称为势），记作 |A|. 依据 |A| 的有限与无限，可将集合分为有限集和无限集，例如： |{2，8，6，1，7}|＝5＜∞ , 从而 {2，8，6，1，7} 是有限集；而 |ℤ|＝∞ , 因此 ℤ 是无限集.

何为群的阶？由于群肯定是一个非空集合，对任一群G ，其集合基数就称为群 G 的阶，记为 |G| . 若 |G|＜∞ , 则称 G 为有限群，否则称 G 为无限群. 例如，三次对称群 S₃ 的阶 |S₃|＝3！＝6＜∞ , 为有限群.

另外，对于群G 中的任意元素 x , 也有阶的定义：由 x 生成的 G 的循环子群〈x〉的阶 |〈x〉| 称为 x 的阶，记为 |x| 或 ord(x).

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