《数理哲学导论》（二）

十五、命题函项

• 我们用“命题”这个词主要地是指一些字或者其他符号组合成的一种形式，这种形式所表达的或者是真或者是假。

• 一个“命题函项”其实就是一个表达式，这表达式包含了一个或者多个未定的成分，当我们将值赋予这些成分时，这个表达式就变成了一个命题。一个命题函项即是其值为命题的函项。在命题函项中，它们的值必须实实在在陈述了一些命题。

• 只有两个东西可以用命题函项来完全说明，一个是断定它在一切情形下都真，另一个是断定它至少在一种情形下为真，或者在有些情形下为真。

• 无穷公理用命题函项的语言表达出来就是：“命题函项‘如n为一归纳数，则a为一n个个体的类对于a的某些值为真’对于n的一切可能的值都是真的”。

• 说一个函项ϕχ恒真这个语句是说非－ϕχ有时真这个语句的否定，说ϕχ有时真这个语句是说非－ϕχ恒真这个语句的否定。

• 不含约束变元的命题称为“初等命题”。从这些简单的命题用以上所说明的方法，一步一步地我们可以达到真值函项的理论。

• 假定S是所有能使ϕχ为真的那些项χ的类，P是所有能使ψχ为真的那些项x 的类，那么就有：“所有的S都是P”的意思就是“‘ϕχ蕴涵ψχ’恒真”。“有的S是P”的意思就是“‘ϕχ且ψχ’有时真”。“没有S是P”的意思就是“‘ϕχ蕴涵非－ψχ’恒真”。“有的S不是P”的意思就是“‘ϕχ且非－ψχ’有时真”。

• 当我们的意思是“ϕχ蕴涵ψχ”恒真时，我们说“ϕχ恒蕴涵ψχ”。“ϕχ恒蕴涵ψχ”这种形式的命题称为“形式蕴涵”。

• “所有的S都是P”并不蕴涵“有的S是P”，因为前者允许S不存在，而后者是不允许S不存在的；于是“所有S都是P，所以有的P是S”这样的换位不能成立。

• “存在”这概念有几个形式，至于最基本的形式乃是从“有时真”这概念直接推导出来的。

• 在命题函项的情形下三分法是明显的：如ϕχ是某个命题函项的一个尚未规定的值，若函项恒真，它是必然的，若函项有时真，它是可能的，若函项绝不为真，它是不可能的。

十六、摹状词

• 一个非限定的摹状词是一个这种形式的词组：“一个某某”；一个限定的摹状词是一个这种形式的词组：“那个某某”。

• 只有当x是一个限定的或非限定的摹状词时，像“x是不实在的”这样的命题才有意义；在这个情形下如果“x”是一个摹状什么也没有的摹状词，这个命题为真。

• “一个有性质ϕ的对象有性质ψ”这样的一个语句，其意义就是：“ϕχ和ψχ的联合断定不常假”。

• “苏格拉底是人”中的“是”表示主词和谓词之间的关系，而“苏格拉底是一个人”中的“是”表示等同。在“苏格拉底是一个人”中的等同乃是名字称呼的对象和一个非限定地摹状的对象之间的等同。

• 一个名字乃是一个简单的符号，直接指一个个体，这个体就是它的意义，并且凭它自身而有这意义，与所有其他的字的意义无关。一个摹状词由几个字组成，这些字的意义已经确定，摹状词所有的意义都是从这些意义而来。

• 假若“x”是一个名字，那么，不论“x”是什么名字，“x＝x”和“那个写《瓦弗利》的人是那个写《瓦弗利》的人”不是相同的命题。因此从“x＝x”这样形式的一切命题全真这个事实我们不能毫无困难地推论“那个写《瓦弗利》的人是那个写《瓦弗利》的人”。事实上，“那个某某是那个某某”这样形式的命题不是恒真的，欲其常真必需：那个某某存在。

• “那个满足函项ϕχ的项存在”的意义是：“有一项c，使得ϕχ的真假值和‘x是c’的真假值恒相等。”

• “满足函项ϕχ的项满足ψχ”定义为：“有一项c，使得（1）ϕχ的真假值恒等于‘x是c’的真假值，（2）ψc真”。

• 存在只有用于摹状词才有意义；因为如果“a”是一个名字，它必指某个东西，如若有意把它作为一个名字用，那么它是没有意义的符号；一个摹状词不会仅仅因为它不摹状任何东西而变成没有意义的，原因是它是一个复合的符号，它的意义是从组成它的符号的意义得来的。

• 如果一摹状词出现于其中的命题是从某个命题函项ϕχ将其中的“x”代以摹状词而得到的，那么这摹状词称为在这命题中有一个“主要的”出现；如果将ϕχ中的x代以这摹状词后所得的只是原有命题的一部分，那么这摹状词称为在这命题中有一个“次要的”出现。

十七、类

• 如果命题函项“‘x是一个a’的真假值恒等于‘x是c’的真假值”不常假，或者，如果有一项c，使得在x是c时且只有在x是c时，x是α的一分子，那么类α称为是一个“单一的”类。

• 类的符号只是方便，并不代表称作“类”的对象，而且类事实上像摹状词一样是逻辑的虚构，或者用我们的话说是“不完全的符号”。

• 在给定函项真时，其他的也真，在给定函项假时，其他的也假。如果两个命题函项有这样的情形，我们称这两命题函项为“形式等价”，两个命题同真同假时，我们称这两命题的真假值相等或等价；两个命题函项ϕχ，ψχ恒等价，这两函项就是形式等价。

• 一个符号如用作类，以下的条件是必需而又充分的：（1）每一个命题函项必决定一个类，这个类所包括的分子就是使函项为真的那些主目。（2）两个形式等价的命题函项必决定同一个类，两个不形式等价的命题函项必决定不同的类。（3）我们必须找到某种方法不仅定义类，还定义类的类。（4）无论在什么情形下，假定一个类是它自己的一分子或者不是它自己的一分子都是没有意义的。（5）必须能够作出关于由个体组成的一切类的命题，或者关于属于某一逻辑“类型”的对象所组成的一切类的命题。

• 包含一个函项ϕχ的语句，如果经过任何形式等价的函项代入后它的真假值不变，我们称它为函项ϕχ的一个“外延”函项。当一个函项的函项不是外延的，我们称它为“内涵的”。一个函项x的外延函项可以看成是由x决定的类的函项，而内涵函项则不能如此看待。

• 所有的特殊的函项的函项都是外延的。假使α是ϕχ所决定的类，“ϕχ恒真”等价于“每个东西都是α的一分子”，“ϕχ有时真”等价于“α至少有一个分子”。

• “若原函项为“函项ϕχ有性质f”，它便是：“有一个函项有性质f，且与ϕχ形式等价”。这样的函项我们称为“导出的外延函项”。断定“由函项ϕχ决定的类有性质f”就是断定ϕχ满足由f导出的外延函项。

• 不涉及任何函项集合的函项被称为“直谓的a函项”。我们称直谓的a函项为第一级类型的a函项；涉及全体第一级类型的a函项称为第二级类型的a函项；如是类推。没有一个a函项的变元能历经所有不同的类型：到某一个固定点，它必须突然停止。

• “还原公理”叙述如下：有一个a函项的类型（譬如说τ），使得给定任何a函项，有属于所说类型的某个函项与它形式等价。

• 类的理论可以归约到一个公理和一个定义。这公理是：有一个类型τ，使得如果ϕ是一个能取一给定对象作为主目的函项，那么有一个函项ψ，ψ属于类型τ，并且和ϕ形式等价。这定义是：如果ϕ是一个能取一给定对象作主目的函项，τ是以上公理所说的一个类型，那么说由ϕ决定的类有性质f，就是说，有一个函项，这函项属τ类型，和ϕ形式等价，并且有性质f。

十八、数学与逻辑

• 数学与逻辑二者等同的证明自然是一件很细致的工作：从普遍承认属于逻辑的前提出发，借助演绎达到显然也属于数学的结果，在这些结果中我们发现没有地方可以划一条明确的界限，使逻辑与数学分居左右两边。

• 称为算术或者逻辑都无不可的这门学科的某些特征是很明显的。在这门学科中我们不从处理特殊的东西或者特殊的性质入手：我们从形式上研究所谓任何的东西或者任何的性质。

• 形式是作为组成的成分进入逻辑命题中。一个命题的“形式”乃是当命题的每一个成分为其他的东西所替换后命题中仍然不变的东西。

• 逻辑的或者数学的命题能够从一个不含变元的命题得到，即是将其中每一个成分改为一个变元，并且断定所得的结果恒真或有时真，或者先断定其对于某些变元恒真，再断定以上结果对于其余变元有时真，或者作任何其他类似的断定，就可以得到一个逻辑的或数学的命题。

• 形式能够用特殊的词以外的其他方法表示：词的次序可以将所要表示的表示出一大半。

• 假定命题的形式可由另一些命题形式表示，在其中并没有用到任何特殊的指明形式的词，我们将得到一个语言，在这个语言中每一个形式的东西属于句法而不属于词汇。在这样的一个语言中即使我们一个词都不知道，我们还是能够表达出所有的数学命题。

• 逻辑命题的特征之一是：设有一个适当的语言，一个人只知道这语言的句法，可是对于词汇中的一个词都不知道，他也能够在这语言中断定一个如是这般的命题。

• 逻辑常项可以用我们定义形式的方式一样地定义；它们本质上是一回事。一个基本的逻辑常项就是许多命题所共同的东西，这些命题中的任一个都可以从其他的任一个将项加以替换得到。

• 虽然所有的逻辑的（或者数学的）命题能完全由逻辑常项以及变元表达出来，反之，能以这种方式表达出来的命题并不都是逻辑的。

• 那些说逻辑命题的特征就在于它能从矛盾律演绎出来的人，他们感觉到了并且打算定义出我们所寻求的逻辑命题的特征。我们可以暂且称这种特征为“同语反复”。

• 逻辑命题是可以先验地认识的，不需对于实际世界作一番研究。

• 逻辑的符号系统对于数理哲学精确的和彻底的讨论是绝对必需的。

参考文献

罗素，《数理哲学导论》

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