pikry forcing

设M是ZFC的可数传递模型，κ是M里的可测基数，D是κ上的normal measure。

我们构造一个力迫扩张M[G]使得基数还是基数，但κ的cofinal变成w。

定义P={(s，A)|s是κ的有限子集，A∈D}，(s，A)≥(t，B)当且仅当(t，B)可以这样由(s，A)得到：把A里大于max(s)的一些元素添加进s里，然后删掉A里的一些元素。

对任意s，A，B，(s，A)与(s，B)是兼容的，所以P满足κ⁺-cc。所以大于κ的基数还是基数。

设s是κ的有限子集，σ是力迫语句。我们证明，存在A，使得(s，A)决定σ。

设s'是κ的有限子集。若存在X使得(s∪s'，X)⊩σ，就给s'染上红色。若存在X使得(s∪s'，X)⊩¬σ，就给s'染上蓝色。若(s∪s'，X)对所有X无法决定σ，就给s'染上白色。

注意：显然不可能有s'同时涂红蓝。

由normal measure的性质，存在A使得对任意n，A的所有n元子集都是单色的。若(s，A)无法决定σ，则存在它的两个增强分别force σ和¬σ。设为(s∪s'，X)和(s∪s''，Y)。不妨设|s'|=|s''|，X=Y。s'和s''都是A的子集，它们一红一蓝，与A的选取矛盾！

下面我们证明，κ在M[G]中的有界子集也是M的元素。由于两个序数的双射可以编码为它们乘积的子集，所以M中小于κ的基数在M[G]里还是基数。在M[G]里，κ是一列基数的极限，也是基数。

设λ＜κ，X是λ的M[G]-子集。任取(s，A)∈G使得(s，A)⊩(X的名字是λ的子集)，

对任何α＜λ，我们增强(s，A)但不改变s，以确定(α∈X的名字)是否成立。经过λ次增强，A变小了λ次，可以取交，我们得到了一个条件使我们能确定X。

所以(s，A)⊩(X的名字∈Pᴹ(λ))，所以M[G]⊨X∈Pᴹ(λ)。

最后，我们证明在M[G]里cf(κ)=w。

G的所有元素的左分量可以组装成一个长度为w的序列s。

对任意α＜κ，考虑P中的稠密集D={(s，A)|max(s)＞α}。G与D相交。因此s里有大于α的元素。

因此s在κ里是无界的。

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