skolem定理

司寇伦本人确实是以此悖论来反对集合论的：集合论的概念，终究只是相对的。而当代的司寇伦主义者面对常见的回答也可以疾呼说：当我们带着怜悯的眼神看着那些被困在可数宇宙里的住民时，也许我们也正是那被逐出康托°的乐园中的一员呢？

如果一个人反驳道：我们要么理解得了你的话而证明自己不是模型内部的居民，要么不能理解你的话而使得你的论证不能奏效--司寇伦主义者会回答说：我们是如此之贫乏，以至于甚至无法言说自己的贫乏。我们知道有些东西是真的，却表达不出它们。

这是因为在公理集合论“中，∈只不过是一个符号，它代表的是任何一个符合了集合论公理的二元关系，而并不一定是真正的属干（如果有的话）。因此，我们可以有M ⊨ m1 ∈ m2而m1和m2都不是集合（通过简单的模型论°论证，它们可以兔子、猫，等等）；而m1也可能并不真的是m2的一个成员。同样的，我们也可以找到一种情况，使得M ⊨ m1 ∉ m2，然而m1确实属于 m2.

我们甚至可以找到一个可数模型，使得真实的实数集ℜ是它的一个成员，然而这个模型还是可数的的，这是因为ℜ ≠ {m丨M ⊨ m ∈ ℜ }.

然而、上述分析仍然有一些不严谨的地方。模型(M，E)中的二元关系 E 未必是集合论宇宙上的属于关系，因此，集合{x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ℵᴹ₂}＝{x ∈ M│xEℵᴹ₂} 未必等于ℵᴹ₂，甚至也未必等于M∩ℵᴹ₂＝{x ∈ M│x ∈ ℵᴹ₂}。 ℵᴹ₂ 作为集合论宇宙中的一个对象本身可能是个不可数的集合，甚至任意一个集合；而集合{x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ℵᴹ₂}却有可能并不属于 M。

另一方面，(M，E)当然认为其中存在一个自然数集、记作ωᴹ。类似地，ωᴹ 作为集合论宇宙中的对象可能是任意一个集合，而被 M 当作自然数的对象组成的集合 {x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ωᴹ} 可能不属于M。更重要的是，集合 {x ∈ M│(M，E) ⊨ x ∈ ωᴹ} 及其上的 E 的关系可能并不与集合论宇宙中真正的自然数上的序关系(ω，∈)同构。(M，E)中的自然数序可能是一个非标准模型。

上述种种使得生活在真正集合论宇宙(V，∈)中的人与生活在(M，E)

这里需要选择公理。 125

杨睿之，作为哲学的数理逻辑

第二个原因是，“∃x”和“∀x”这两个量词的模型论解释只对某个模型M的论域进行量化，而我们想要的是它量化在整个集合论牢宙上。

接下来我们来考虑一下传递模型。我们说一个集合是传递的，当且仅当它的每个成员的成员还是它的成员，即y∈x∈X ⇒ y∈X。我们说一个集合论语言的模型是传递模型当它的论域是个传递集°，并且其上的“属于”关系就是真正的属于关系。

定义 3.14(绝对性)  我们称一个集合论公式 φ(ˉx) 对一个集合论模型(M，∈)是绝对的 (absolute)，当且仅当

∀ˉx(φᴹ (ˉx) ↔ φ(ˉx)]，

其中，φᴹ(ˉx)是 φ(ˉx) 在 M 下的相对化(参见第105页)。注意，相对化和绝对性的定义对集合模型和类模型都有效。可以证明、对 ZF 的传递模型来说，下述常见集合论术语(的定义公式)是绝对的：

(1) x 是传递的；

(2) x 是序数；

(3) x＝ω；

(4) x＝Lα；

(5) x ∈ L 。

这些绝对性也大大方便了对传递的玩具模型性质的讨论。

①本书中，在上下文不会造成误解的情况下往往将结构 (M，∈) 简写为 M，把(M，∈) ⊨ φ 简写为 M ⊨ φ. 126

Most importantly，if M is transitive and m ∈ M，then m＝{m' ∈ M丨M ⊨ m'∈m}.

我们来考虑一个可数传递模型上的司寇伦悖论，这会使得第一种解决方案失效，我们只能纳入量词的考虑。

这可以跟一些对于我们到底能不能量化全体/全集的讨论有关。

一些哲学家争辩说“传递性”是使得skolem悖论有意义的一个必要条件。而另外一些哲学家反说道，在讨论可数模型时引入传递这一个条件会使得不可数集真的不可能出现在其中，因此看不出来到底在哪方面胜过其它类的模型。

集合论悖论表明，我们不应该天真地相信康托尔定理°的表面价值——因此，康托尔的证明本身并不迫使我们接受不可数的集合。司寇伦悖论表明，采用对集合理论公理的代数理解也不会迫使我们接受不可数的集合，因为我们总是可以把这些公理解释为适用于一个只可数的模型。

司寇伦悖论是依赖于一阶逻辑的。当我们使用的是二阶逻辑时，它就会荡然无存。

[2]

我们可以用一些策略来回避斯科勒姆悖论的这种应用。我们可以使用不可数的公理来迫使我们的模型具有不可数的论域，我以求助于向上的洛文海姆-司寇伦定理来证明集合论公理也具有不可数的模型，或者我们可以转向二阶集合论，然后证明这些公理只能被具有不可数论域的模型所满足.不幸的是，这些策略中的每一个都以我们已经事先掌握了不可数集的概念为前提—-例如，为了初步确定不可数集公理的特征，为了表述向上的洛文海姆-司寇伦定理，或者为了证明二阶ZFC只有不可数的模型。所以，这些策略都不能将不可数集“in the firstplace”地引入数学。

一种解读是将之看作对“代数式”(因为代数里，不像对自然数、实数一样，没人会想象一个唯一的、真实的群，或环）观点的反对，即，集合论宇宙就仅仅是集合论公理的模型而已。

它的重构是这样的：因为悖论，我们不再能够相信直觉的、非形式化的集合概念，而只能依赖于公理，而集合论的公理无法将“不可数”这个概念确定下来。“有限”的概念也是如此。这些概念都是相对于语言的。在一个模型下看起来不可数的东西总会在另一个模型下看起来是可数的。

Reference

Button, Tim, and Sean Walsh, 2018,

'Transcendental arguments against

model-theoretical scepticism'Philosophy and Model Theory (Oxford)

Bays, Timothy,"Skolem's Paradox",The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2014 Edition), Edward N.Zalta

(ed.), URL=＜Skolem's Paradox＞.

Bays, Timothy, 2007, "The Mathematics of Skolem's Paradox" in Jacquette,Dale(Ed.) Philosophy of Logic,pp.485-518.

McCarty, Charles and Tennant. Neil.1987."Skolem's Paradox and Constructivism", Journal of Philosophical Logic 16, 165-202.

杨睿之，2016，作为哲学的数理逻辑，复旦大学出版社

Bellotti,L.2006, “Skolem, the Skolem‘Paradox'and Informal Mathematics.”Theoria, 72:177-220.

Thomas, W., 1971, “On Behalf of the

Skolemite" Analysis,31:177-186.

Fine, A.,1968,“Quantification over the RealNumbers,” Philosophical Studies,19:27-31.

参考

1. (Benacerraf 1985; Wright 1985). See Tennant and McCarty 1987 for some objections to the latter view. Wright, C. 1985,“Skolem and the Skeptic,”Proceedings of the Aristotelian Society,59:

116-137.Tennant, N.and McCarty, C., 1987,“Skolem's Paradox and Constructivism,"The Journal of Philosophical Logic,16:165-202.

2. 在构造主义下，也推不出司寇伦定理

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