Cayley定理

我来举一个最简单的例子抛砖引玉。群论中著名的Cayley定理其实就是Yoneda lemma的特殊情况

Cayley定理：每个群都同构于某个对称群的某个子群。

为了看清两者之间的关系，我们令C 表示只有一个对象 • 的（局部小）群胚，因此 G＝Homᴄ(•，•) 在态射的复合下构成一个群（并且，显然的，任何一个群都能被这样实现）。那么，一个协变函子 C → Set 就由一个集合 X 和一个群同态 G → Perm(X) 组成，从而 X 是一个 G-set，而协变函子之间的自然变换就是 G-set之间的等变映射（equivariant map）。因此， Hom (•，–) 就对应 G 左乘自己而定义的群作用。由Yoneda lemma，自然变换的集合 Nat(Hom(•，–)，Hom(•，–)) ≅ Hom(•，•)。另一方面，我们不难知道，等式左边在复合运算下构成群 Perm(G) 的一个子群，而且这个集合范畴内的同构也是一个群同态。因此 G 同构于 Perm(G) 的一个子群。这就是Cayley定理。

当然，以上只是局部小范畴的Yoneda lemma的一个运用。但我们对于一个对称闭幺半范畴ν＝ν₀，⨂，l，α，λ，ρ （ν₀ 是局部小且完备的）上的一个充实范畴（enriched category) A ，也有（strong) Yoneda lemma[1]：

（strong) Yoneda lemma：给定一个ν -函子 F：A → ν 及一个 A -对象 K ，我们有一个对于 A 的 ν -自然的映射 Fᴋᴀ：A(K，A) → [FK，FA]，它在伴随 ν₀(X，[Y，Z]) ≅ ν₀(Y，[X，Z])下的转换 фᴀ：FK → [A(K，A)，FA] 也是 ν -自然的。（strong) Yoneda lemma宣称， фᴀ 将 FK 表示为end ∫ᴀ[A(K，A)，FA] ，使得我们有同构 ф：FK ≅ [A，ν](A(K，–)，F)

它是局部小范畴的Yoneda lemma的推广（我们取ν＝Set 就回到局部小范畴的Yoneda lemma）。

Remark 2.1.14. There is a natural way for sPr(C) to be enriched over Set such that S ⨂ P＝∐ₛ∈s P ≅ S × P where P is a presheaf and S is a set viewing it as a constant presheaf as well. Then the above lemma actually says P ≅ ∫ᶜ∈C P(c) ⨂ h(c) is the coend. For a simplicial version you can look at the Definition A.5.17.

For a presheaf P：Cᵒᵖ → Set，we can define a Cᵒᵖ-indexed diagram Dᴘ in Pr(C) such that for any object c of C，Dᴘ(c) is the constant presheaf Pᴄ of the set P(c). Then ∫ᶜ∈Cᵒᵖ h(c) × Dᴘ(c) is just ∫ᶜ∈C P(c) ⨂ h(c) since ∐ h(c') Ⅱ (h(c') ≅ ∐(h(c') × Pᴄ).Therefore P ≅ ∫ᶜ∈Cᵒᵖ h(c) × Dᴘ(c).

注意：

∐ ∐

u：c' → c，p∈P(c) u：c' → c

Lemma 2.1.15. If F is α simpliciαl presheαf αnd ωe define α Δᵒᵖ-indexed diαgrαm in sPr(C) such thαt it sends [n] to Fₙ，ωhich is α presheαf of sets but ωe υieω it αs α discrete simpliciαl presheαf.

Then the geometric reαlizαtion |DF| is just F.

Proof. In Definition A.5.17，we have |Dғ|＝△⨂ Δᵒᵖ Dғ＝∫[ⁿ]∈Δᵒᵖ Δⁿ ⨂ Dғ([n]).

For a fixed object c of C，we obtain |Dғ|ᴄ＝∫[ⁿ]∈Δᵒᵖ Δⁿ ⨂ Dғ([n]，c). Since Dғ([n]，c) is just the constant simplicial set of Fᴄ([n])， from the remark above we see it will be isomorphic to Fᴄ. Therefore |Dғ| ≅ F.□

Lemma 2.1.16.Under αssumptions αbουe，in sPr(C)ᵢₙⱼ the Bousfield-Kαn mαp hocolimDғ → |Dғ| is α ωeαk equiυαlence. And therefore hocolimDғ is ωeαkly equiυαlent to F.

Proof.In sPr(C)ᵢₙⱼ cofibrations are just objectwise cofibrations and in sSet cofibrations are injective maps.

Therefore any object F in sPr(C)ᵢₙⱼ is cofibrant. Then from Definition A.5.22，for any simplicial object X in sPr(C)ᵢₙⱼ its homotopy colimit is computed by the coend N(– ↓ Δ ᵒᵖ)ᵒᵖ ⨂Δᵒᵖ X. Fixing the object c of C，Xᴄ will be a simplicial object in sSet and its homotopy colimit is just the value of hocolimX on c. From Corollary A.5.30 we see the map hocolimXᴄ → |Xᴄ| is a weak equivalence. But |Xᴄ|＝|X|(c)，this means the Bousfield-Kan map hocolimX → |X| is an objectwise weak equivalence. Especially when X＝Dғ，hocolimDғ → |Dғ| is a weak equivalence. □

The above two lemmas are in [DHl04，Remark 2.1].

参考

1. 见G.M.Kelly的Basic Concepts of Enriched Category Theory的2.4节 The (strong) Yoneda lemma for V-CAT; the Yoneda embedding

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