集合论数学基础

数理逻辑的早期发展史是这样的：

布尔（Boole）于1847布尔代数；

德摩根（de Morgan）在1864引入关系（relation）；

皮尔斯（Pierce）于1885引入量词（quantifier），区分命题（proposition）、一阶（first order）、二阶（second order）层次；

施罗德（Schröder）1877年的《布尔演算的运算》介绍和扩充了布尔的工作，并第一次使用“命题逻辑”“数理逻辑”等词汇；他在1890-1895年间系统地研究和扩充了布尔和皮尔士的工作；

洛文海姆（Löwenheim）在1915年借助施罗德的“将二阶量词理解为一阶量词的无穷积”的技巧证明向下的洛文海姆-司寇伦定理（downward Löwenheim–Skolem theorem）；

皮亚诺于1889年引入常量、函数（含于关系）、量词，在戴德金的哲学/概念分析的基础上提出了皮亚诺公理；

弗雷格于1879年引入谓词和量词，并区分各阶逻辑；

罗素在1901年发现罗素悖论，到1908年发展出类型论以解决集合悖论和语义悖论，怀特海和罗素写出了三大卷《数学原理》（Principia Mathematica），影响了一代逻辑学家，后来的一些重要工作就是在数学原理的框架或是类型论的框架下做的；

希尔伯特和贝奈斯（Bernays）在1898-1905年间谈及完全性、一致性等元逻辑问题；并和阿克曼（Ackermann）将一阶逻辑作为独立研究对象；

司寇伦（Skolem）在1920年给出了Löwenheim–Skolem定理的新形式和新证明；1922年又给出了新的证明；他用Skolem's paradox反对公理集合论作为数学的基础，认为其会导致一种相对性；

直接后继关系是：

布尔-德摩根-施罗德-洛文海姆-司寇伦

施罗德-皮亚诺-罗素

弗雷格-罗素

哥德尔在1929年在他的博士论文中证明了一阶逻辑的完全性定理：任何有效式（在所有interpretation下都为真的）都是可证的/有一个证明；希尔伯特提出了4个问题：

1.证明一阶逻辑的语义完全性；

2.将之推广到高阶；

3.证明算术的一致性和语形完全性（对于系统S中的每个句子φ，要么是S可证φ，要么S可证非φ）；

4.证明分析及其它数学的一致性和完全性。

哥德尔的完全性定理解决了第一个问题，在而哥德尔在尝试证明分析的一致性时，尝试一半时就攻克了后三个问题，他先领悟到真的不可定义性，1930年的柯尼斯堡会议上由卡尔纳普（ Rudolf Carnap ，代表逻辑主义）、海廷（ Arend Heyting ，代表直觉主义）和冯·诺依曼（ von Neumann，代表形式主义）宣读论文，但他们都被一个年轻人的光辉盖过了，哥德尔就宣读了自己的《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题，1》（On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, I）（哥德尔原本还想发表第二篇证明第二不完备性定理并推广到一般的情况，但没想到结论被接受得如此之快），提出了不完备性定理，当时他24岁，这是在他发表完全性定理的证明一年之后。

一个相关推论是二阶逻辑没有语义完全性，这基本确立了一阶逻辑相对于高阶逻辑的优势地位，Lindström's theorem也告诉我们一阶逻辑是最强的同时具有紧致性和向下的Löwenheim-Skolem性质的逻辑。Quine甚至争论说反对二阶逻辑。

集合论的情况则是这样：

虽然早在之前康托就已发现了康托悖论，也有布拉里-福蒂（Burali-Forti）等悖论，但并没有引起太多注意，直到罗素悖论的发现。一个重构是这样的，朴素集合论（naive set theory）只有两条公理：

• 外延公理： ∀x∀y(∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) ↔ x＝y)

概括公理（模式）：对于每一个公式 φ，∃y∀x(x ∈ y ↔ φ)

那么就会有

Let R＝{x│x ∉ x}，then R ∈ R ⇔ R ∉ R

但是，这也并不意味着“数学危机”这种提法很有合理性，

当然，集合论的基础存在着危机，但即使在这里，许多数学家也继续以非形式的方式工作，而不赖于这些悖论的这种或那种解决方案。例如，Hausdorff（1914）的集合论教科书几乎没有提到它们。除非人们已经接受了数学的集合论还原，否则没有理由将其视为数学基础的危机；但在对悖论进行令人满意的解决之前，更自然的反应是将其视为对这种还原的可能性的反驳。（[1], 16）

zemelo先提出了集合论的公理化，他的主要目的在于以清晰的方式用大家都能接受的选择公理证明佐恩引理以证明良序定理；他的公理化中没有替换公理，这是由Frankel加上去的（司寇伦也独立发现了替换公理），这也是ZFC之所以叫ZFC的原因。正则公理是由冯诺依曼提出的。

布尔巴基学派采用以集合论为基础的方式讲述数学（当然，布尔巴基学派所采用的集合论并不完全是ZFC式的，例如ta们使用了Hilbert的ε算子，也没有采用正则公理；ta们也不是很注重数理逻辑）发挥了重大影响（ta们声称在ta们的形式系统中基数1的非缩写形式的字符数是“个把千个”（Bourbaki 1956, p.55），但实际数字是10^12（Mathias 2002）（转引自[1], 18））。

到20世纪60年代，使用公理模式以一阶形式陈述数学理论已经成为标准（16）。

如果我们从元理论的角度来看待这个问题，这种不足的原因就很清楚了：在level是V是无限的情况下，二阶分离公理包含了不可数的实例（参见康托尔定理9.2.6），而一阶模式只有可数的实例，因为集合论的语言是可数的。（[1], 43）

纯粹集合论式的观点，即集合论宇宙中只有集合而没有个体（individual/atom，例如桌子椅子天使这些东西）除了纯粹性的简便性和对于作为数学基础来说足够（任何数学、抽象或具体对象的组合，无论如何形成，都可以是一个collection（或class），例如一个函数就是其的像/图（graph），如一个从{0，1} 到 {0，1} 并有 f(0)＝1，f(1)＝0 的函数也就是集合 {＜0，1＞，＜1，0＞} ）以外，许多证明方法在加上个体时无法施用。不过个体的研究价值得以保留下来，Frankel发现了一种方法，可以证明选择公理相对于允许个体的系统ZU的独立性，并被Lindenbaum、Mostowski和Mendelson等人发展。

层谱（hierarchy）式的集合观：

集合的宇宙分层为一系列“阶段”（stages），每个阶段都有一个序号，最低的阶段，即阶段0，由所有没有成员的实体组成。第0阶段唯一有的就是空集。每一个新的阶段中的集合由所有更低的阶段中的元素形成。这些阶段形成了一个嵌套的、有秩序的序列，如果集合的成员关系是传递性的（transitive），就会形成一个层次结构。

层叠集合观（The Iterative Conception of Set）以一种很好的方式避开了罗素、Burali-Forti和Cantor的著名悖论。这些悖论都是由于不加限制地使用了朴素集合理论的原则而产生的。像“所有集合的类”或“所有序数的类 ”这样的集合包括来自迭代层次的所有阶段的集合。因此，这样的集合不可能在任何特定的阶段形成，因此也不可能是集合。 ∨ω*ω

⋰

∨3ω ∨2ω

⋰

∨ω＋2

∨ω＋1

∨ω

⋰

∨ ∨5

∨4

∨3

∨2

∨1

∨0

虽然冯诺依曼为其打下了公理基础（V=WF（良基，well-founded）），但对于其的具体的哲学论证

只有当Godel(1947, p.519)不只是像Mirimanoff那样把有根类（grounded collections）作为集合宇宙的一个子宇宙，而是作为一个独立的有动机的层谱（hierarchy），正如他所指出的，“从来没有导致任何二律背反”时，事情才开始发生变化。（[1], 52）

对层叠集合观的经典论证参见收录于普特南和贝纳塞拉夫编的《数学哲学》中的王浩和boolos的文章。

参考文献：

[1] set theory and its philosophy: A Critical Introduction, Michael Potter, Oxford, 2004.

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