无限Galois理论

在无限扩张的时候，有限Galois对应定理是不成立的，为此我们利用拓扑推广Galois对应定理

先引入拓扑

Def 1

设G＝Gal(Ω/k)，其中 Ω/k 为Galois扩张

∀σ ∈ G，对所有有限子Galois扩张 K/k ，陪集 σGal(Ω/K) 组成 σ 的邻域基‬

称此拓扑为Krull拓扑

定义G × G → G ， (σ，τ)↦στ

G → G，σ↦σ⁻¹

为连续映射，则G 为拓扑群

我们来研究G 的拓扑性质

Prop 2

G 紧且Hausdorff

pf

任取互异的σ ，τ ∈ G，存在有限Galois子扩张 K/k 使得 σ[ᴋ ≠ τ] ᴋ

于是σGal(Ω/K) ≠ τGal(Ω/K) 且 σGal(Ω/K) ∩ τGal(Ω/K)＝∅

于是G Hausdorff

考虑映射

h：G → ΠᴋGal(K/k)

σ↦Πᴋσ|ᴋ

此处K/k 取遍所有有限Galois子扩张

而Gal(K/k) 离散，于是为紧群，于是 ΠᴋGal(K/k) 紧

由于∀K，σ|ᴋ＝1 ⇔ σ＝1，

于是h 为单射

集族Πᴋ≠ᴋ₀Gal(K/k) × {ˉσ} 构成 ΠᴋGal(K/k) 的子基‬

其中K₀/k 取遍有限子扩张， ˉσ ∈ Gal(K₀/k)

取上述集族中的一个记为U

若σ 为 ˉσ 的原像，则 h⁻¹(U)＝σGal(Ω/K₀)

于是h 连续

而h(σGal(Ω/K₀)＝h(G)∩U

于是h 开，于是 h 为同胚‬

下证h(G) 在紧集 ΠᴋGal(K/k) 中闭

任取两个k 的有限子Galois扩张 L' ⊇ L

考虑

Mʟ'/ʟ＝{Πᴋσᴋ∈ΠᴋGal(K/k)|σʟ'|ʟ＝σʟ}

而h(G)＝∩ʟ' ⊇ ʟMʟ'/ʟ

于是只需说明Mʟ'/ʟ 闭

若Gal(L/k)＝{σ₁，. . .，σₙ}， Sᵢ ⊂ Gal(L'/k) 为 σᵢ 在 ʟ' 上的扩张（延拓）

则

Mʟ'/ʟ＝∪ⁿᵢ₌₁ (Πᴋ≠L，ʟ'Gal(K/k) × Sᵢ × σᵢ)

于是Mʟ'/ʟ 闭

下面推广Galois对应定理

Thm 3

设Ω/k 为Galois扩张，则

K↦Gal(Ω/K)

为子扩张K/k 与 Gal(Ω/k) 的闭子群的双射

Gal(Ω/k) 的开子群对应有限子扩张

pf

所有Gal(Ω/k) 的开子群也是闭的，因为作为其开陪集的补集，于是闭

若K/k 为有限子扩张，则 Gal(Ω/K) 开，因为 ∀σ ∈ Gal(Ω/K)

σGal(Ω/N) ⊆ Gal(Ω/K)

其中N 为 k 在 K/k 中的正规闭包‬

若K/k 为任意子扩张，则

Gal(Ω/K)＝∩ᵢ Gal(Ω/Kᵢ)

其中Kᵢ/k 取遍 K/k 的有限子扩张

于是Gal(Ω/K) 闭

由于K 为 Gal(Ω/K) 的固定域，于是 K↦Gal(Ω/K) 单

为了说明满，我们证明任意Gal(Ω/k) 的闭子群 H

有H＝Gal(Ω/K) ，其中 K 为 H 的固定域

H ⊆ Gal(Ω/K) 显然

反过来，任取σ ∈ Gal(Ω/K) ，若 L/K 为 Ω/K 的有限子Galois扩张

则σGal(Ω/L) 为 σ 在 Gal(Ω/K) 中的邻域基

考虑映射g：H → Gal(L/K)

因为g(H) 有固定域 K ，于是等于 Gal(L/K)

映射H → Gal(L/K)满

于是可取τ ∈ H 使得 τ|ʟ＝σ|ʟ ，即 τ ∈ H ∩ σGal(Ω/L)

则σ 属于 H 在 Gal(Ω/K) 中的闭包（ σ 每个邻域基中都有 H 中的点）

于是H ⊇ Gal(Ω/K)

于是K↦Gal(Ω/K) 满

若H 为 Gal(Ω/k) 的开集，则其闭，于是 H＝Gal(Ω/K)

但Gal(Ω/k) 为 H 的开陪集的不交并‬

由于Gal(Ω/k) 紧，存在有限个 H 的开陪集的并等于 Gal(Ω/k)

于是[Gal(Ω/k)：H]＜∞

则[K：k]＜∞

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