Riemann-Roch定理

Weil除子

定义：设 X 是一个诺特整概形， X 上的素除子（prime divisor）是指 X 的一个余维数为 1 的不可约闭子集， X 上的一个Weil除子 是指由素除子生成的自由阿贝尔群 Z¹(X) 中的一个元素： Z＝∑ nzZ ，

Z

这里 {Z：nz ≠ 0} 是有限集合. 一个Weil除子 D 称为是有效的（effective），如果所有系数都是非负的. 记 D ≥ D' ，如果 D – D' 是有效除子.

设Z 是 X 的一个素除子，则局部环 𝓞 x，ᴢ 的Krull维数为1 . 若 f ∈ 𝓞 x，ᴢ是一个非零元，则the order of vanishing of f along Z，written ᴢ(f) ，定义为 𝓞 x，ᴢ/(f) 的长度. 这个长度是有限的，且满足 ordᴢ(fg)＝ordᴢ(f)＋ordᴢ(g) . 再设 f 是有理函数域 K(X) 的一个非零元，则 f 可写成

g

f＝─，g，h ∈ 𝓞 x，ᴢ的形式.

h

于是the order of vanishing of f 定义为 ordᴢ(f)：＝ordᴢ(g) – ordᴢ(h).这样，我们得到一个函数：

ordᴢ：K(X)* → ℤ

如果X 是normal scheme，则局部环 𝓞 x，ᴢ 是一个离散赋值环，上述函数 ordᴢ 是对应的赋值. 对 f∈K(X)* ，定义主除子（the principal Weil divisor associated to f ）为：

div f＝∑ordᴢ(f)Z.

Z

可以验证这个和是有限和. 它满足

div fg＝div f＋div g.

这表明我们有同态：

din：K*x(X) → Z¹(X)， f ↦ dib f

故这个同态的像是Div(X) 的子群. Weil除子类群（Weil divisor class group） Cl(X) 定义为 Div(X) 模掉这个主除子生成的子群. 称两个除子是线性等价的（linearly equivalent），如果它们之差是一个主除子. 故Weil除子类群就是除子群 Div(X) 模掉线性等价. 故有正合列

1 → 𝓞 *x(X) → K*x(X) → Z¹(X) → Cl(X) → 0.

设X 是一个normal诺特整概形. 则每个Weil除子决定了一个凝聚层 𝓞 x(D) ：它是有理函数域层 Kx 的子层

Γ(U，𝓞 x(D))＝{f ∈ K*x(U)│div(f)＋D ≥ 0}∪{0}.

可以证明，两个Weil除子D，E 是线性等价的当且仅当 𝓞 (D) ≃ 𝓞 (E)作为 𝓞 x -模层.

例1（仿射概形的除子）：：设 A 是一个诺特Normal整环，考虑仿射概形 X＝Spec A . 则 X 的一个Weil除子是一些环 A 的余维数为 1 的素理想的形式有限和. 现设 p 是 X 的一个素除子，即 p 是环 A 的余维数为 1 的素理想，于是 Aₚ 是一个离散赋值环，其分式域是 X 的有理函数域 K(A) . 于是存在赋值 υₚ：K(A) → ℤ∪{∞}. 有理函数域 K(A) 的每个非零元素 α ，定义了一个主除子

(α)＝∑υₚ(α) · p

其中p 取遍 A 的所有余维数为 1 的素理想.

例如取A＝ℤ ，则它的所有素理想 (p) 都是余维数为 1 的素理想. 取一固定的素数

n

p ， ℤ₍ₚ₎＝{─│p ∤ m，n，m ∈ ℤ}

m

是一个离散赋值环，它的分式域是X 的有理函数域 ℚ ，每个非零 α ∈ ℚ 可唯一写成 pᵏy 的形式，其中 k ∈ ℤ 和 y 的分子分母均与 p 互素. 赋值定义为 υₚ(α)＝k . 于是有理函数域 ℚ每个非零元素 α ，定义了一个主除子

(α)＝∑ υₚ(α) · (p)

p

回顾交换代数的事实：

设A 是一个诺特整环，则 A 是UFD当且仅当它的所有余维数为 1 的素理想都是主理想.

这表明X＝Spec A 每个Weil除子都是主除子. 换句话说，

A 是UFD ⇔ Cl(X)＝0.

在这种情形下，

Cl(X)＝CaCl(X)＝Pic(X)＝0

特别地，对每个域k 我们有

Cl(𝔸ⁿₖ)＝CaCl(𝔸ⁿₖ)＝Pic(𝔸ⁿₖ)＝0

例2（Dedekind概形的除子）： Spec ℤ 的一个除子是有限个素数的整系数形式和，则 Div(Spec ℤ) 恰好是 ℚ 的理想群 Jℚ ，也就是所有分式理想（ ℚ 的有限生成 ℤ-子模）组成的阿贝尔群：单位元是 ℤ ，分式理想 l 的逆是 l⁻¹＝{x ∈ ℚ│xl ⊂ ℤ} . “有理函数域”是 ℚ* . 一个主除子恰好是分式理想 αℤ . 理想类群 ℤ 就是代数数论中 ℚ 的理想类群 Clℚ . 故我们有正合列

1 → ℤ* → ℚ* → Jℚ → Clℚ → 1

更一般地，设K 是一个数域， 𝓞 ᴋ 是其整数环. 考虑 X＝Spec 𝓞 ᴋ. X 的每个Weil除子

D＝∑ nᵢ [xᵢ]

ᵢ

对应分式理想 ∏pᵢⁿⁱ ，

ᵢ

其中 pᵢ 是对应 xᵢ 的 𝓞 ᴋ 的极大理想.

例3（代数曲线的除子）：设 k 是代数完备域. 域 k 上的代数曲线 X 是一个over k 的有限型、整、可分的一维概形.；如果还有 X proper over k ，则称 X 是complete；如果 X 所有局部环都是局部正则环，则称 X 是非奇异的（nonsingular）.

代数曲线X 上一个除子就是有限个闭点的整系数形式和.

例4（黎曼曲面上的除子）：一个黎曼曲面是一个 1 维复流形，故它的余维数为 1 的子流形的维数是 0 . 一个紧黎曼曲面 X 的除子群 Div(X) 就是 Ⅹ 上的点生成的自由阿贝尔群. 给定 X 上任意非零亚纯函数 f ，记 ordₚ(f) 为 f 在点 p 处的阶数，它定义为：若 p 是零点，则它就是零点的阶数；若 p 是极点，则它就是一个极点的阶数加一个负号；其他情形定义为 0 . 于是每个非零亚纯函数 f 定义了一个主除子：

(f)：＝∑ ordₚ(f)p

p∈X

这是一个有限和，因为X 是紧的.

亏格为1的黎曼曲面——torus

例5（射影空间的除子）：设X＝ℙⁿₖ 是域 k 上的射影空间.则每个素除子具有形式

V₊(f).其中f是不可约的齐次多项式.故每个除子具有形式Z＝∑ nᵢ[V₊(fi)].

ᵢ

考虑群同态

δ：Z¹(X) → ℤ， ∑ nᵢ[V₊(fᵢ)]↦∑ nᵢdeg fᵢ i，

ᵢ ᵢ

可以证明它诱导了群同构Cl(X) ≃ ℤ.

Cartier除子

给定黎曼曲面X 的一个Weil除子 D ，局部上 D 可以看成一个亚纯函数对应的主除子：也就是说，存在 X 的一个开覆盖 {Uᵢ} ᵢ∈ₗ 以及每个 Uᵢ 上的亚纯函数 fᵢ 使得 D|ᴜᵢ＝div(f) . 一般来说，在 Uᵢ∩Uⱼ 中， fᵢ 和 fⱼ 的限制不一定相等，但易见在 Uᵢ∩Uⱼ 上，总存在一个处处非零的全纯函数 h 使得 fᵢh＝fⱼ . 另外， fᵢ 的选取也是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全程函数取修正它. 反过来，任意一族这样的数据 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 都给出了 X 的一个除子. 这就是Cartier对于除子的观点. 由此引出如下定义：

定义：设 X 是一个概形. 我们记 Div(X)：＝Γ(Ⅹ，K*x/𝓞 *x) ，这是一个阿贝尔群，并将它的元素称为Cartier除子. 我们把典范态射

Γ(X，K*x) → Γ(X，K*x/𝓞 *x)， f ↦ div f

的像中元素称为主Cartier除子（principal Cartier divisor）. 两个Cartier除子称为线性等价的，若它们之差是一个主除子. 我们记 CaCl(X) 为除子模掉线性等价得到的商群. 故有正合列

1 → 𝓞 *x(X) → K*x(X) → Div(X) → CaCl(X) → 0.

一个Cartier除子称为是有效除子，如果它是典范态射 Γ(X，𝓞 x∩K*x) → Γ(X，K*x/𝓞 *x) 的像，记为 D ≥ 0 .

由定义，我们可以把Cartier除子D 表示为一族 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ ，其中 {Uᵢ}ᵢ∈ₗ 是 Ⅹ 的一个开覆盖， fᵢ ∈ K*x(X) 满足 fᵢ|ᴜᵢ∩ᴜⱼ ∈ fⱼ|ᴜᵢ∩ᴜⱼ 𝓞 x(Uᵢ∩Uⱼ)*，对所有的 i，j . 两个族 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 和 {(Vⱼ，gⱼ)}ⱼ∈ᴊ 表示同一个Cartier除子，如果对所有的 i，j fᵢ|ᴜᵢ∩ᴜⱼgⱼ|⁻¹ᴜᵢ∩ᴜⱼ ∈ 𝓞 x(Uᵢ∩Uⱼ)*

1. 分别以族 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 和 {(Vⱼ，gⱼ)}ⱼ∈ᴊ 表示Cartier除子 D₁ ，D₂，则 {(Uᵢ∩Vⱼ，fᵢgⱼ)}ᵢ，ⱼ 表示 D₁＋D₂ .

2. D ≥ 0 ⇔ 它可表示为 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ ，其中 fᵢ ∈ 𝓞 x(Uᵢ) .

3. D 是主除子 ⇔ 它可表示为 {(X，f)} .

设D＝{(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 是一个Cartier除子，可定义 Kx 的子层 𝓞 x(D) ：

Γ(U，𝓞 x(D))＝{f ∈ K*x(U)│f fᵢ ∈ Γ(Uᵢ∩U，𝓞 x) i}

可以证明这个定义不依赖代表元{(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 的选取以及 𝓞 x(D) 是一个可逆层. 于是我们得到映射 Div(X) → Pic(X)， D↦𝓞 x(D)

当X 是诺特整概形时，可以证明上述映射诱导阿贝尔群的同构

CaCl(X) ≃ Pic(X) .

定义：设 X 是光滑的射影 k 簇，则 X 的典范除子 K 是指 K ∈ Div(X) 满足 𝓞 x(K) ≃ ωx＝det(Ωx/ₖ) .

现在我们考虑Weil除子和Cartier除子的关系.

设A 是一维诺特局部环. 对 A 的每个正则元 α ， lengthᴀ(A/αA) 是一个有限整数，它可延拓为群同态

Frac(A)* → ℤ， 。α ↦ lengthᴀ(A/αA)

其中 Frac(A) 表示环 A 对全体正则元作局部化. 因为这个同态的核包含 A 的可逆元，所以我们得到群同态

multᴀ：Frac(A)*/A* → ℤ .

设X 是局部诺特概形， x ∈ X 是余维数为 1 的点. 对每个Cartier除子 D ∈ Div(X) ， D 在 x 处的stalk Dₓ 属于 (K*x/𝓞 * x)ₓ＝Frac(𝓞 x，ₓ)*/𝓞 *x，ₓ 令

multₓ(D)：＝mult𝓞 x，ₓ(Dₓ)

─

[D]：＝ ∑ multₓ(D)[{x}] ∈ Z¹(X)

这就给出了群同态：

Div(X) → Z¹(X)， D↦[D]

可以证明当X 是诺特、normal、整概形，我们有同构

Div(X) ≃ Z¹(X)， CaCl(X) ≃ Cl(X).

紧黎曼曲面的Riemann-Roch定理

设X 是亏格为 g 的紧黎曼曲面. 其上的除子 D 的次数 deg(D) 是指它的系数和. 可以证明一个主除子的次数总为 0 ，所以一个除子的次数仅仅依赖它所在的线性等价类. 我们主要关心的量是整体截面

Γ(X，𝓞 x(D))＝{f ∈ K*x(X)│div(f)＋D ≥ 0}∪{0}.

作为ℂ-线性空间的维数 ℓ(D) . 则Riemann-Roch定理是说：存在典范除子 K 使得

ℓ(D) – ℓ(K – D)＝deg(D) – g＋1

维数– 修正项 ＝ 次数 – 亏格 ＋ 1

让我们来看看亏格g＝0 的情形.

∞

-1 1 ·-1 1

0

Riemann sphere

For example, letS be the Riemann sphere. The meromorphic function are just the rational functions (any meromorphic function on the complex plane that isn't rational has an essential singularity at ∞ ). The functions having no poles except at ∞ are the polynomials, by Liouville's Theorem. The space L(m∞) (here, we are taking only one point, namely, p₁＝∞ ) is the set of functions that are holomorphic except at ∞ , where they're alowed to have a zero of order at most m . That's just the set of polynomials of degree ≤ m . So ℓ(m∞)＝m＋1 , for the functions 1，z，z²，· · ·，zᵐ form a basis. Here is a second example. The space L(1∞ – 1(1＋i)) ( so p₁＝∞，m₁＝1， and p₂＝1＋i，m₂＝–1 ) consist of those meromorphic funcitions with a zero at 1＋i and, at worst, a pole of order 1 at ∞ . This is a subspace of L(1∞) , and so it consist of just those functions of the form c(z – 1 – i) ; hence, ℓ(1∞ – 1(1＋i))＝1 . Similarly, L(2∞ – 1(1＋i)) is the space of all those functions of the form (z – 1 – i)(αz＋b) , so the dimension ℓ(2∞ – 1(1＋i))＝2 . Generally, L(m₁p₁＋· · ·＋mₙpₙ) is the space of meromorphic functions of the form (z – p₁)⁻ᵐ¹ (z – p₂)⁻ᵐ² · · · (z – pₙ)⁻ᵐⁿ (c₀zᵈ＋· · ·＋cd)；

where d＝m₁＋· · ·＋mₙ if d ≥ 0 . (If d＜0， the only function satisfying the conditions is the function identically 0 .) So, on the Riemann sphere we always get ℓ(m₁p₁＋· · ·＋mₙpₙ)＝m₁＋· · ·＋mₙ＋1＝d＋1

unless that's negative, in which case we get ℓ(m₁p₁＋· · ·＋mₙpₙ)＝0.

That's a special case of Riemann-Roch for a Riemann surface of genus g＝0 . In this case, Riemann-Roch is enough to tell us exactly what this dimension ℓ is. If D is a divisor of degree d＜0 , then there are no functions other than 0 satisfying the conditions, and so ℓ＝0.

代数曲线的Riemann-Roch定理

设k 是代数完备域，C 是域 k 上的complete，非奇异代数曲线，即是一维整概形，proper over k ，所有局部环都是正则的. 它的几何亏格定义为

g(C)：＝dimₖΓ(C，Ω¹ᴄ)

记ℓ(D)＝dimₖH⁰(X，𝓞 x(D)) .

则Riemann-Roch定理是说：存在典范除子 K 使得

ℓ(D) – ℓ(K – D)＝deg(D) – g＋1

证明：由定义知 ℓ(K – D)＝dimₖH⁰(X，ωx ⨂ 𝓞 x(D)∨) ，而由Serre对偶知‬

H⁰(X，ωx ⨂ 𝓞 x(D)∨) ≃ H¹(X，𝓞 x(D))∨

于是 ℓ(D) – ℓ(K – D) 恰好是除子 D 的欧拉示性数 χ(X，𝓞 x(D)) ，而 χ(X，𝓞 x)＝1 – g ，于是Riemann-Roch定理可改述为：

χ(X，𝓞 x(D))＝deg(D)＋χ(X，𝓞 x)

参考文献：

1. Joseph J.Rotman, An Introduction to Homological Algebra.

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