高斯绝妙定理

高斯绝妙定理(Theorema Egregium)，拉丁文的remarkable theorem，来看下连高斯都觉得妙的定理到底是怎么回事。

定理的证明主要是通过计算得到的，可能读起来会挺枯燥的，但结论是非常深刻的。

为了书写简便先引进一些记号，(gᵢⱼ) 为第一基本型 l 的矩阵表示， (gⁱʲ) 表示 l 的逆矩阵；同样的 (hᵢⱼ) 为第二基本型 l l 的矩阵表示， (hⁱʲ) 为其逆矩阵。

爱因斯坦求和约定：当求和指标在一项内出现两次，一次上标，一次下标，则表示对这一项求和，比如l＝1，2， αˡ bₗ＝α¹b₁＋α²b₂ ，连个求和符号都想省略掉，可能也预示了微分几何记号繁琐，不知道和微分方程数值解中的繁琐程度孰更胜一筹。

6.1 高斯绝妙定理

我们已经引入了Gauss标架，那么我们就可以用Gauss标架来表示 Tf₍ᵤ₎ℝ³ 中的向量 fᵢⱼ：假设 fᵢⱼ(u)＝α₁(u)f₁(u)＋α₂(u)f₂(u)＋α₃(u)n(u).

接下来把系数用已知量表示出来，首先两端与n 做内积，有 α₃＝hᵢⱼ .

两端与fₖ(u)， k＝1，2 做内积：

₂

fᵢⱼ · fₖ＝α₁f₁ · fₖ＋α₂f₂ · fₖ＝∑ αₗgₗₖ

ₗ₌₁

⇒ αₗ＝gˡᵏ fᵢⱼ · fₖ ≜ Γˡᵢⱼ .（注意这里对 k 求和，GTM51 书上的下标也有错误）

所以用这个新记号：fᵢⱼ · fₖ＝∑ Γˡᵢⱼgₗₖ

ₗ

我们想解的是Gauss标架的系数，我们现在知道它可以表示为Γˡᵢⱼ ，我们再来看看它和第一基本型的关系：

gᵢⱼ，ₖ＝(fᵢ · fⱼ)ₖ＝fᵢₖ · fⱼ＋fᵢ · fⱼₖ＝∑ Γˡᵢₖgₗⱼ＋∑ Γˡⱼₖgₗᵢ. ₗ ₗ

循环i，j，k 可以再得到两个类似的式子，我们考虑光滑函数，所以上述项都是可导的，对称性来自于内积的对称性以及第一基本型本身是对称的。（书上p62 ( α ）式的最后一项下标错了，难道说编辑也懒得验算了= =，这本书之前也有几处指标的错误，不过问题不大了。)

用这样的三个式子便可以解出

1

Γˡᵢⱼ＝ ─ gˡᵏ(gᵢₖ，ⱼ – gⱼᵢ，ₖ＋gₖⱼ，ᵢ)

2

（这里按照求和约定在对k求和）

记Γⱼᵢₖ ≜ gᵢₖ，ⱼ – gⱼᵢ，ₖ＋gₖⱼ，ᵢ ，这个记号被称为Christoffel 第一类记号， Γˡᵢⱼ 被称为Christoffel第二类记号。

所以我们得到了，

fᵢⱼ＝∑ Γˡᵢⱼ(u)fₗ(u)＋hᵢⱼ(u)n(u)

ₗ

同样的，对于nᵢ 也可以在Gauss标架下表示， nᵢ＝–∑ hᵢₗgˡᵏ fₖ ，

ₗ，ₖ

做法和上述一模一样，假设系数，两边同时内积 fₖ，得到第二基本型，第一基本型和系数的关系，把第一基本型“除”到另一边就得到了系数。

由于f 光滑，我们有 fᵢⱼₖ＝fᵢₖⱼ ，由切平面上的部分相等和法向相等，可分别推导出Gauss方程和Codzzi方程。

证明全靠求导，带进Gauss标架里求导，这里Gauss方程中的左边第二部分有一个指标的改变，小心下标（上标）。

Gauss方程：

Γᵐᵢⱼ，ₖ – Γᵐᵢₖ，ⱼ＋∑ (ΓˡᵢⱼΓᵐₗₖ – ΓˡᵢₖΓᵐₗⱼ)＝∑ (hᵢⱼhₖₗ – hᵢₖhⱼₗ)gˡᵐ，

ₗ ₗ

Codazzi方程：

∑ Γˡᵢⱼhₗₖ – ∑ Γˡᵢₖhₗⱼ＋hᵢⱼ，ₖ – hᵢₖ，ⱼ＝0 .

ₗ ₗ

求和号都可以略去，可以看出求和约定相当方便。

事实上轮换 i，j，k 的位置，所有的Gauss方程都是等价的，而存在两个不同的Codazzi方程。

我们主要看这个唯一的Gauss方程，左边是第一基本型的一阶导，二阶导，右边是第二基本型，这说明第一第二基本型并不是独立的！

我们再改写改写这个式子，

左边：

Rᵐᵢⱼₖ ≜ Γᵐᵢⱼ，ₖ – Γᵐᵢₖ，ⱼ＋∑(ΓˡᵢⱼΓᵐₗₖ – ΓˡᵢₖΓᵐₗⱼ)， ₗ

再把右边的第一基本型乘到左边：

Rᵢₗⱼₖ ≜ ∑ gₗₘRᵐᵢⱼₖ＝hᵢⱼhₖₗ – hᵢₖhⱼₗ.

所以就有了一些对称性：

Rᵢₗⱼₖ＝–Rᵢₗₖⱼ＝–Rₗᵢⱼₖ＝Rⱼₖᵢₗ，且R₁₂₁₂＝det(hᵢⱼ)＝det(l l)

Theorem 6.1.1 (Theorema Egregium) 高斯曲率

R₁₂₁₂

K(u)＝──── .

det(l)

这说明高斯曲率是曲面的一个内蕴量，我们可以在任意空间中，研究一张曲面的不变性质了！

回头看高斯绝妙定理的证明过程，并没有什么稀奇的，定义了不少记号，用局部标架进行了些计算，但结果绝对是不平凡的，由此发展出的内蕴几何为之后的研究指引了方向。

关于高斯绝妙定理的意义和一些历史背景，我觉得这篇科普就写的很好：

这里就不赘述了。

接下来的定理也很重要，它告诉我们该怎样唯一决定一个曲面，这里的决定是连空间位置都确定，所以仍然需要第二基本型的参与：

Theorem 6.1.2 （Fundamental theorem of surfaces with prescribed first and second fundamental forms） U ∈ ℝ² 是一个开的单连通区域， lᵤ，l lᵤ 是定义在其上的二次型，且其系数都是可微的，如果他们满足： lᵤ 正定；Gauss和Codazzi方程，那么：

i)存在一个曲面f：U → ℝ³ ，lᵤ，l lᵤ 是它的第一第二基本型；

ii)任何上述的两个曲线间差个等距映射B ： ∼f＝B◦f .

类似之前的曲线基本定理，这里最关键的存在性都是需要解决微分方程，由这个问题引出的一阶线性PDE叫做Pfaff system，详细证明参见Ciarlet,P.G. 的Linear and nonlinear functional analysis with applications. 当年学微分方程数值解的时候常听到的名字CIA.

正如名字中的微分所示，微分几何是离不开PDE的。

接下来举个例子，算一下Gauss曲率.

6.2 等温坐标系(Isothermal coodinates)

Definition 6.2.1 对任意给定的正则曲面片（曲面局部的性质），若存在一个 f：U → ℝ³，U ∈ ℝ²，使 f 的第一基本型矩阵表示 gᵢⱼ＝Eδᵢⱼ，其中 E(u)＞0 . 满足这样条件的坐标叫做等温坐标。

事实上总是可以通过坐标变换找到这样的等温坐标系的，但我还不知道该怎么证...听说存在性是Korn 和 Lichtenstein的结果。

那么来计算下它的Gauss curvature：

det(lᵤ)＝E²

R₁₂₁₂＝g₂₂R²₁₁₂

Γˡᵢⱼ 共有 2³ 种可能，再加上对称性，只有6个不同的项，在展开计算 R²₁₁₂ 的时候，需要计算其中5项，

1

每个 Γˡᵢⱼ＝ ─ ∑ gˡᵏ(gᵢₖ，ⱼ – gⱼᵢ，ₖ＋gₖⱼ，ᵢ)

2 ₖ

，里面又要求逆又要求导，所以计算起来还是挺麻烦的，好在是等温坐标系。

1 1 1 ∂ ln E

Γˡᵢⱼ＝─ ─ E₁＝─ ───；

2 E 2 ∂u₁

类似的可以算其他几个Christoffel记号，

组合起来，

1 ∂² ln E 1

R²₁₁₂＝–─ ─── – ─ ↓

2 ∂u²₁ 2

∂² ln E 1

───＝– ─ Δ ln E ←

∂u²₂ 2

所以等温坐标系的Gauss曲率：

1

K(u)＝– ── Δ ln E .

2E

类似的我们也可以计算正交坐标系的Gauss曲率，所谓正交坐标系也就是第一基本型满足：g₁₁＝E，g₂₂＝G，g₁₂＝g₂₁＝0.

这种计算虽然繁琐，但是用来熟悉定义是很好的。

参考：

[1]厦门大学杨波老师的讲义： math.xmu.edu.cn/group/g...

[2]W. Klingenberg.A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.

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