德勒兹2（三）

参考文献：

Note

1. Albert Lautman, Essai sur l’unité des mathématiques et divers écrits (Paris: Union générale d’éditions, 1977), p. 23.

2. Lautman,Essai sur l’unité, p. 24.

3. See Jean Dieudonné in Lautman,Essai sur l’unité, p. 15.

4. Jean Petitot, ‘La dialectique de la vérité objective et de la valeur his-torique dans le rationalisme mathématique d’Albert Lautman’, inSciences et Philosophie en France et en Italie entre les deux guerres, edited by J. Petitot and L. Scarantino (Napoli: Vivarium, 2001), p. 83.

5. Albert Lautman,Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques. I. Les Schémas de structure. II. Les Schémas de genèse. (Paris: Hermann, 1938); Albert Lautman, Essai sur l’unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel (Paris: Hermann, 1938).

6. Dieudonné in Lautman,Essai sur l’unité, p. 16.

7. Dieudonné in Lautman, Essai sur l’unité, p. 16.

8. Dieudonné in Lautman,Essai sur l’unité, p. 16.

9. Lautman,Essai sur l’unité, p. 145.

10. Maurice Loi, ‘Foreword’, in Lautman,Essai sur l’unité, p. 13.

11. The axiomatic method is a way of developing mathematical theories by postulating certain primitive assumptions, or axioms, as the basis of the theory, while the remaining propositions of the theory are obtained as logical consequences of these axioms.

12. Lautman,Essai sur l’unité, p. 146.

13. Lautman,Essai sur l’unité, p. 147.

14. Lautman,Essai sur l’unité, p. 25.

15. Lautman,Essai sur l’unité, p. 25.

16. Lautman,Essai sur l’unité, p. 136.

17. The Bourbaki project explicitly espoused a set-theoretic version of mathematical structuralism.

18. Dieudonné in Lautman,Essai sur l’unité, pp. 15–20.

19. According to mathematical structuralism, mathematical objects are defi ned by their positions in mathematical structures, and the subject matter that mathematics concerns itself with are structural relationships in abstraction from the intrinsic nature of the related objects. See Geoffrey Hellman, ‘Structuralism’, in Stewart Shapiro (ed.),The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic (Oxford: Oxford University Press, 2005), p. 256.

20. Dieudonné in Lautman,Essai sur l’unité, p. 16.

21. Lautman,Essai sur l’unité, p. 24.

22. Lautman,Essai sur l’unité, p. 38.

23. Lautman,Essai sur l’unité, p. 23. The logicist thesis was that the basic concepts of mathematics are defi nable by means of logical notions, and the key axioms of mathematics are deducible from logical principles alone.

24. The main aim of Hilbert’s programme, which was fi rst clearly formulated in 1922, was to establish the logical acceptability of the principles and modes of inference of modern mathematics by formalising each mathematical theory into a fi nite, complete set of axioms, and to provide a proof that these axioms were consistent. The point of Hilbert’s approach was to make mathematical theories fully precise, so that it is possible to obtain precise results about properties of the theory. In 1931 Gödel showed that the programme as it stood was not possible. Revised efforts have since emerged as continuations of the programme that concentrate on relative results in relation to specifi c mathematical theories, rather than all mathematics. See José Ferreirós, ‘The Crisis in the Foundations of Mathematics’, inThe Princeton Companion to Mathematics, edited by Timothy Gowers, June Barrow-Green and Imre Leader (Princeton: Princeton University Press, 2008), Ch. 2.6.3.2.

25. Lautman,Essai sur l’unité, p. 282.

26. See Jean Largeault,Logique mathématique. Textes (Paris: Armand Colin, 1972), pp. 215, 264.

27. Lautman,Essai sur l’unité, p. 9.

28. Petitot, ‘La dialectique de la vérité’, p. 98. The term ‘meta-mathematics’ is introduced by Hilbert in ‘Uber das Unendliche’,Mathematische Annalen 95 (1926), pp. 161–90.

29. Lautman,Essai sur l’unité, p. 26.

30. Lautman, Essai sur l’unité, p. 26.

31. Lautman,Essai sur l’unité, p. 26.

32. David Hilbert,Gesammelte Abhandlungen (New York: Chelsea Pub. Co., 1965), p. 180. Cited in Lautman,Essai sur l’unité, p. 30.

33. Lautman,Essai sur l’unité, p. 27.

34. Lautman,Essai sur l’unité, p. 25.

35. Lautman,Essai sur l’unité, p. 25. See Léon Brunschvicg, Les Étapes de la philosophie mathématique (Paris: A. Blanchard, 1993).

36. Lautman,Essai sur l’unité, p. 25.

37. Lautman, Essai sur l’unité, p. 25.

38. Lautman,Essai sur l’unité, p. 87.

39. A mathematical defi nition is impredicative if it depends on a certain set,N, being defi ned and introduced by appeal to a totality of sets which includes N itself. That is, the defi nition is self-referencing.

40. Lautman,Essai sur l’unité, p. 88.

41. The law of the excluded middle states that every proposition is either true or false. In propositional logic, the law is written ‘P V ¬P’ (‘P or not-P’).

42. Lautman,Essai sur l’unité, p. 48.

43. Loi in Lautman,Essai sur l’unité, p. 13.

44. Petitot, ‘La dialectique de la vérité’, p. 81.

45. Lautman,Essai sur l’unité, p. 89.

46. Lautman, Essai sur l’unité, p. 89.

47. Lautman, Essai sur l’unité, p. 27.

48. Lautman, Essai sur l’unité, p. 28.

49. Lautman,Essai sur l’unité, p. 28.

50. Lautman,Essai sur l’unité, p. 211.

51. Lautman,Essai sur l’unité, p. 28.

52. Lautman, Essai sur l’unité, p. 87.

53. Lautman,Essai sur l’unité, p. 87.

54. Lautman,Essai sur l’unité, p. 140.

55. Albert Lautman,Nouvelles recherches sur la structure dialectique des mathématiques (Actualités scientifi ques et industrielles. Paris: Hermann, 1939), p. 630.

56. Lautman,Nouvelles recherches, p. 630.

57. Lautman,Essai sur l’unité, p. 28.

58. Lautman, Essai sur l’unité, p. 29.

59. Lautman, Essai sur l’unité, p. 29.

60. Lautman, Essai sur l’unité, p. 28.

61. Lautman, Essai sur l’unité, p. 28.

62. Lautman,Essai sur l’unité, p. 28.

63. Lautman,Essai sur l’unité, p. 147.

64. Lautman,Essai sur l’unité, p. 143.

65. Lautman,Essai sur l’unité, p. 204.

66. See Catherine Chevalley, ‘Albert Lautman et le souci logique’,Revue d’Histoire des Sciences 40:1 (1987), p. 61.

67. Lautman,Essai sur l’unité, p. 204. See also pp. 143–4, 302–4; Emmanuel Barot, ‘L’objectivité mathématique selon Albert Lautman: entre Idées dialectiques et réalité physique’. Cahiers François Viète 6 (2003), p. 7 n. 2.

68. See Chevalley, ‘Albert Lautman et le souci logique’, p. 60.

69. Lautman,Essai sur l’unité, p. 253.

70. Lautman, Essai sur l’unité, p. 253.

71. Lautman,Essai sur l’unité, p. 210.

72. Which are also referred to and operate as ‘dualities’. See Charles Alluni, ‘Continental Genealogies: Mathematical Confrontations inAlbert Lautman and Gaston Bachelard’, inVirtual Mathematics: The Logic of Difference, edited by S. Duffy (Manchester: Clinamen Press, 2006), p. 78.

73. Lautman,Essai sur l’unité, p. 253.

74. Lautman,Essai sur l’unité, p. 28.

75. Which he therefore also refers to as ‘logical schemata’. See Lautman,Essai sur l’unité, p. 142.

76. Lautman,Essai sur l’unité, p. 28.

77. Lautman,Essai sur l’unité, p. 135.

78. Lautman, Essai sur l’unité, p. 142.

79. Lautman,Essai sur l’unité, p. 203.

80. Lautman,Essai sur l’unité, p. 10. From Lautman’s correspondence with Fréchet dated 1 February 1939.

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