线性代数群-序言

Linearalgebraicgroup z² z¹ z³ z⁰＝1

z⁴ z⁵

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cyclic_group.svg

一、什么是代数群，代数群可以研究什么？

本文章所涉及的教材主要是 James. Humphreys 的 Linear Algebraic Groups. 此教材主要对代数闭域K 上的仿射代数群进行了详细讨论，而可以证明此时仿射代数群可以嵌入到一个线性代数群 GL(n，K) 中，从而一定程度上我们可以直观地认为代数群 G 就是其某一子群。

一般地，代数群可以用范畴(Category)和概型(Scheme)的语言去定义，但限于笔者水平本文将不涉及，本文中也将忽略许多数学上的细节而仅谈思路，如许多连通性、开闭条件等。在本文中我们所指的代数群一般是一个仿射代数簇G ，其同时为一个群，关于群乘法 m：G × G → G 和取逆 l：G → G 均为 morphism (regular map)，其中代数簇的积为代数簇范畴中的积(与Zariski拓扑的积不同)(如果忽略 G 是一个群，则可以用范畴定义一系列交换图使得 m，l 满足群公理)。

目前笔者所理解的，此教材的最大的目标便是实现约化代数群的分类。此外课本还涉及一些部分半单代数群表示的内容，这些在代数闭域上都有着很轻松的结果。最后一章给出的k ⊂ K 时 k -代数群的结论，其涉及一般的代数几何理论，笔者目前未做深入研究。

二、Humphreys 教材各章节的目标与结果

Chapter1. Algebraic Geometry

本章主要介绍了代数几何中的一些基本概念与一些性质，如代数簇、维数、态射、切空间、完备簇(Complete varieties)。基本定义只需要基础的代数几何知识，其中有部分小节是为后续证明做铺垫，如实现齐次空间 G/H 的方法，还有morphism的性质来辅助后续的证明。第一章中的1，4，6节中的性质后续使用会稍多一些，但是教材中第一章代数几何的部分需要命题的陈述与条件有失严谨并且证明存在恶劣跳步，后续章节使用性质时会标明前文序号，因此使用时再查询亦可。

Chapter2. Affine Algebraic Groups

如同李代数的 A，B，C，D 的四类结构，教材给出了四类典型的代数群结构。在第8节中，教材给出了代数群作用(同样是态射)的一些性质，包括稳定化子、轨道等的拓扑。由于群在线性空间上的作用可以导出群同态，8.5节中我们需要具体化一个群G 在 K[G] 上的作用，最终在8.6得到了任意仿射代数群可以嵌入 GL(n，K) .

Chapter3. Lie Algebras

在此章中我们实现了代数群的李代数的定义与性质。同样地，类似于微分流形中的做法，我们可以将代数群的李代数等同为群单位元处的切空间（代数几何意义上），但是此时李括号将难以定义。我们将李代数视为代数群 G 的多项式环 K[G] 上的导子（当然这样与微分流形上的做法更直接接近了）此时便可以定义李代数的结构，且与切空间同构。

第10节中的微分的计算有许多小的结果，对后文中许多计算有辅助作用。需要着重关注 Translation 和 Adjoint representation 的结果，后续定义一般的 semisimple elements 与 unipotent elements 需要K[G] 上G - Translation 的观点。而 Ad 表示更是重点研究内容。

Chapter4. Homogeneous Spaces

本章主要处理齐次空间。假设H＜G为子群，我们在抽象群论中可以知道有陪集$G/H$，但在一般的代数群中我们如何处理 G/H 的结构？（想想范畴论会怎么做！泛性质！） 本章证明了 G/H 可以给予一个拟射影代数簇的结构，而当 H 是一个正规子群时，其恰为一个射影代数簇。

教材中根据泛性质定义了所需一个代数簇的结构G/H ，而12节具体构造了所需要空间，并逐一给出了其所需要的性质，如拓扑、层结构等。

Chapter5. Characteristic 0 Theory

特征0时，代数群具有相当清晰的结构，第13节给出了代数群和其李代数的1-1对应关系，正规子群和李代数理想的1-1对应，中心与中心化子的关系，半单代数群和半单李代数的关系。 特征0时的半单代数群我们还有一些表示论上的结果（14节）。

Chapter6. Semisimple and Unipotent Elements

在李代数中，我们有 线性算子的 Jordan-Chevalley 分解，x＝xₛ＋xₙ 其中 xₛ 为半单元， xₙ 为幂零元，两者可交换。相似地，在代数群里面我们也有分解 x＝xₛxᵤ 其中 xₛ 为半单元， xₙ 为幂幺元。如果是 GL(n，K) 中我们有 x＝xₛ＋xₙ＝xₛ(1＋xₛ⁻¹xₙ) 因此我们可以将 xᵤ 视为特征值全为1的元素。

16节中引入了 Tori 的概念，相对应的我们首先有d-群 和可对角化群的概念，这两个概念在某些意义上是相近的。一个连通的 d-群成为了一个 torus. 一个 torus 同构于 Gₘ × · · · × Gₘ . (非按照定义的逻辑)

由此我们可以得到 weights 和 roots 的概念，G 作用在 V 上时，其 torus (可对角化群即可) T 的作用可以化为一系列特征向量和特征值. Vα＝{υ ∈ V│x，υ＝α(x)υ ∀x ∈ T} 非空的所有 α 称为weights，而在 𝖄 上的Ad作用所有非零的 weights 称为 roots.

Chapter7. Solvable Groups

本章处理了可解群、幂零群、幂幺群的性质。使用 Lie-Kolchin 定理将可解群化为上三角矩阵群。第18节中有部分非常技术性的双射结构，在后续证明中有重要作用。

本章的目的之一是处理连通可解代数群的结构，得到 Theorem 19.3 的半直积的形式。此外还有许多重要的副产物的性质，此处不一一列举。19.5中定义并初步处理了Radical.

第20节中证明了所有的一维连通代数群在同构意义下仅有Gₘ 与 Gα ，其分别对应了 semisimple的情况与 unipotent 的情况。

Chapter8. Borel Subgroups

Borel 子群的性质丰富繁杂，我们仅介绍其中部分。在本章中核心的启动定理是 21节的不动点定理，它道出了许多其后的结论。Borel 子群B 的定义是“闭的连通的可解的真子群，使得其在包含偏序中极大”。我们可以证明此时 G/B 是一个射影代数簇，所有的 Borel子群都是互相共轭的。抛物子群 P 是使得 G/P 为射影代数簇的所有闭子群，则我们可以证明 P 为抛物子群当且仅当 P 包含了某一个 Borel 子群。

包含极大环面T 的所有Borel子群 B' 可以刻画为 T 作用在 G/B 上的所有不动点。

满态射下结构值得强调， 21.3推论C 证明了，代数群间的满态射将 Borel 子群、抛物子群、极大环面(torus)、极大连通幂幺子群映射成为对应的结构。22节中密度定理得到的主要结果是定理22.2，说明 Borel子群B 的共轭可以“铺满”整个群 G. 其后的Centralizer 和 Normalizer 刻画了 Borel，torus，Cartan子群之间的一些性质。

在教材的 23.4 小节处有本章的总结，可以直接阅读了解。

Chapter9. Centralizers of Tori

本章主要的目的是“局部化”，但其部分内容和证明有些粗略导致难以严谨学习。“局部化”的意思指的是将根系root system 中的某个根α 具体取出, 我们是否可以得到一个子群 Uα 使得其在某种意义上恰好对应根 α ？这样的子群是一维的，所以我们要特殊地找到某些一维子群，也是教材中 1-psg 的意义。

在前面章节中我们可以知道Nɢ(T)◦＝ Cɢ(T)，即 T 的正规化子的单位连通分支群等于其中心化子（自动连通，前文有证明），此时我们便可定义有限群（Weyl 群）为 W＝Nɢ(T)/Cɢ(T) . 对应的根系的欧氏空间为 V＝ℝ ⨂ Ⅹ(T) ，对偶空间为 V'＝ℝ ⨂ Y(T) ，Weyl群在根系上的作用可以定义，进而导出一系列与李代数根系相似的结果。教材在此部分非常简略，我们列出部分正确的结果，有机会补全证明。

(A) 一个Borel子群 B 对应了一个simple roots 集 Δ ，从而决定Weyl Chamber， V 和 V' 中分别都有.

(B) 给定一个 λ ∈ Y(T)ᵣₑg 我们可以找到其对应的 B(λ) ，且 〈α，λ〉＞0∀α ∈ Δ .

(C) 其它一些与李代数中根系相似的结论.

重要定理： Rᵤ(G)＝l(T)ᵤ ，其中 Rᵤ(G) 为 G 的unipotent radical， l(T)＝(∩B)◦ .

B⊇T

注意：在一般情况下，代数群的 roots 之间可能并非约化的，即 Φ∩ℝα 含有除了 ±α 的其它根，此种情况在约化群中不会出现。

Chapter10 & 11. Structure of Reductive Group & Representation and Classification of Semisimple Groups

首先可以证明我们的root system确实是一个抽象根系，进而有：

Theorem. (Bruhat Decomposition) G＝∪BσB (不交并)，BσB＝BτB 当且仅当 σ＝τ ∈ W .

σ∈W

Bruhat 分解的过程可以公理化抽象为 Tits System，详情可见29节. 29节另外也给出了所有抛物子群的结构，并证明了 Weyl group 实际上是一个 Coxeter group.

Theorem. (Levi Decomposition) 任何的抛物子群都可以分解为 P＝LV(V＝Rᵤ(P)) , 并且所有的 Levi 因子 L 都是在 V 中的元素下共轭的. ( L 中的根成对出现， V 中只能取 ±1 倍数之一).

在31节中我们可以证明，半单代数群G 的不可约表示一一对应与最高权 λ . 同构唯一与存在性都可证明.

关于半单代数群的分类，本章分为同构定理与结构定理。进而我们已经有根系上的所有分类结果，从而考虑代数群的分类结果。

Theorem. (Classification Theorem) 设群 G，G' 是单代数群，其根系与基本群 ∧/X(T) 都是同构的，则 G，G' 作为代数群也是同构的。例外的情况只有其根系为 Dₗ，l ≥ 6 为偶数并且基本群的阶为2.

以上定理证明了20页，思路是将根系的同构变为torus的同构，在逐步无矛盾地扩展为群之间的态射，并且证明其为群同态、代数群的同构。给定一个根系，对应代数群的存在性的讨论在33.6.

Chapter12. Survery of Rationality Properties

将代数闭域K 换为 k ，将群 G 换为 k-群。全是结论，没有一丝感情。学不明白。

三、未来Notes计划

未来会对代数群的一些课本内容做一些补充与证明，并写成Notes，目前暂定的Topics如下，写出来只会少不会更多：

(A) 抽象根系的性质的抄录

(B) 代数群 Root datum 的详细引入思路

(C) 具体线性代数群的结构的计算

(D) 特征p情况的摘抄

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。