数学联邦政治世界观
超小超大

Hadamard猜想

1893 年,法国著名数学家 Hadamard 提出了这样一个有意思的问题:

问题:设 A=(αᵢⱼ)ₙ×ₙ 为 n 阶实方阵,且满足 –1 ≤ αᵢⱼ ≤ 1 ,求 det A 的最大值.

后来,Hadamard 自己给出了下述结论:

Hadamard 定理:设 A=(αᵢⱼ)ₙ×ₙ 为 n 阶实方阵,且满足 –1 ≤ αᵢⱼ ≤ 1 ,则有 |detA| ≤ (√n)ⁿ ,其中等号成立当且仅当 αᵢⱼ=±1,且各行之间两两正交.

Hadamard 定理 不仅完美地回答了上述问题,且由此可以引出一种非常有意思的矩阵:

Hadamard 矩阵:设 H=(αᵢⱼ)ₙ×ₙ 为 n 阶实方阵, αᵢⱼ=±1 且各行之间两两正交,则称 H 为 n 阶 Hadamard 矩阵.

易知方阵‬

1 1 1 1 1 1

[ ],[1 –1 1 –1]

1 –1 1 1 –1 –1

→ 一1 –1 → –1 1

都是 Hadamard 矩阵. 我们不难验证n 阶 Hadamard 矩阵 H 满足 HHᵀ=nEₙ 且 Hadamard 矩阵的阶只能为 1,2 或者 4 的倍数. 对于 Hadamard 矩阵,数学家猜测:

Hadamard 猜想:若 n 为 4 的倍数,则存在 n 阶 Hadamard 矩阵.

迄今为止, Hadamard 猜想并未得到完全证实.1993 年,数学家证明了 Hadamard 猜想 对 n<428 成立. 2004 年,Kharaghani 和 Tayfeh-Rezaie 构造出了 428 阶的 Hadamard 矩阵. 目前未证实存在的 Hadamard 矩阵的最小阶数为 668 . 除此之外,未证实存在的阶数小于 2000 的 Hadamard 矩阵还有 12 个,他们的阶数分别为

716,892,1004,1132,1244,1388,1436,1676,1772,1916,1948,1964.

虽然 Hadamard 猜想并未得到完全证实,但数学家已经得到了各种各样的构造 Hadamard 矩阵 的方法. 比如在1867 年,数学家 Sylvester 得到了下述结论:

Sylvester 定理:若 H 为 Hadamard 矩阵,则

H H

[ ]

H –H

也为 Hadamard 矩阵.

另外,数学家Paley 在 1933 年利用二次剩余的理论发现了一种更有效的构造 Hadamard 矩阵 的方法,对 Hadamard 矩阵 的存在性理论做出了巨大贡献 . 令人惋惜的是,Paley 在一次滑雪时遭遇雪崩身亡,年仅 26 岁!

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