实数八大定理的等价性证明

目录

引言 ▹

定理的内容 ▹

Cauchy收敛原理 ▹

单调有界原理 ▹

闭区间套定理 ▹

Dedekind分割定理 ▹

确界原理 ▹

有限覆盖定理 ▹

聚点原理 ▹

Bolzano-Weierstrass定理 ▹

等价性的证明 ▹

Cauchy收敛原理单调有界原理 ▹

单调有界原理⇒闭区间套定理 ▹

闭区间套定理⇒Dedekind分割定理 ▹

Dedekind分割定理⇒确界原理 ▹

确界原理⇒有限覆盖定理 ▹

有限覆盖定理聚点原理 ▹

聚点原理Bolzano-Weierstrass定理 ▹

Bolzano-Weierstrass定理⇒Cauchy收敛原理 ▹

引言

这里只选择其中一种环形路线证明八大定理的等价性。

定理的内容

Cauchy收敛原理

数列{αₙ} 收敛的充分必要条件为∀ε＞0，∃N ∈ ℕ，∀m，n＞N，|αₙ – αₘ|＜ε

单调有界原理

单调有界数列必收敛.

闭区间套定理

设

lₙ＝[αₙ，bₙ]，l₁ ⊃ l₂ ⊃ l₃ ⊃ · · · ⊃ lₙ ⊃ · · ·，且 lim (αₙ – bₙ)＝0，则存在唯一的实数 ↓

n→∞

＋∞

ξ ∈∩lₙ ←

n＝1

Dedekind分割定理

设A|B 是 ℝ 上的一个分割，则 A 有最大元和 B 有最小元有且仅有一个成立

确界原理

A ∈ ℝ 有上（下）界，则 A 必有上（下）确界.

有限覆盖定理

闭区间[α，b] 的任意一个开覆盖 A 都有有限子覆盖

聚点原理

ℝ 中有界的无穷集合必有聚点

Bolzano - Weierstrass定理

有界数列都有收敛的子列

等价性的证明

Cauchy收敛原理⇒单调有界原理

设{xₙ} 单调递增有上界，假设 {xₙ} 发散. 于是 ∃ε₀＞0 对任意 N ∈ ℕ，存在 m，n＞N

xₙ – xₘ＞ε₀

由 n 的任意性可得一子列 {xₙₖ}

xₙₖ＞xₙₖ₋₁＋ε₀＞· · ·＞xₙ₁＋(k – 1)ε₀ → ∞

与有界性矛盾

单调有界原理⇒闭区间套定理

设

lₙ＝[αₙ，bₙ]，l₁ ⊃ l₂ ⊃ l₃ ⊃ · · · ⊃ lₙ ⊃ · · ·

且 lim (αₙ – bₙ)＝0

n→∞

于是{αₙ} 单调递增有上界， {bₙ} 单调递减有下界

于是lim αₙ，lim bₙ 存在，分别记为 A，B

n→∞ n→∞

因为lim (αₙ – bₙ)＝0所以 A＝B

n→∞

∀n，αₙ ≤ A＝ξ＝B ≤ bₙ，于是

＋∞

ξ ∈ ∩[αₙ，bₙ]

n＝1

闭区间套定理⇒Dedekind分割定理

设A|B 是 ℝ 的一个分割， A∪B＝ℝ，A∩B＝∅

∀α ∈ A，b ∈ B，α＜b 取 α₁ ∈ A，b₁ ∈ B

α₁＋b₁

c₁：＝───

2

若c₁ ∈ A，令

α₂＝c₁，b₂＝b₁

若c₁ ∈ B，令

α₂＝α₁，b₂＝c₁

以此类推有

[α₁，b₁] ⊃ [α₂，b₂] ⊃ · · ·[αₙ，bₙ] ⊃ · · ·

lim (αₙ – bₙ)＝0

n→∞

＋∞

于是存在 ξ ∈ ∩[αₙ，bₙ]

n＝1

若ξ ∈ B，∀b ∈ B，b＞αₙ

⇒ b ≥ lim αₙ＝ξ

n→∞

即ξ 为 B 中最小

Dedekind分割定理⇒确界原理

设非空集合E 有上界，

令B 为 E 的上界组成的集合，A＝ℝ – B

则A|B 形成一个分割

⇒ A B

若存在 α₀＝max A 且 B 中无最小，α₀ 不是 E 的上界，于是

∃e ∈ E，e＞α₀ ∃r ∈ ℝ，α₀＜r＜e

⇒r E α₀＝max A .

于是A 中无最大且存在 b₀＝min B，结论得证.

确界原理⇒有限覆盖定理

即证闭区间[α，b] 的任意开覆盖 H 都有有限的子覆盖

令

S＝{x│α＜x ≤ b，[α，x] H }

因为H 覆盖 [α，b]，从而存在 (α，β) ∈ H，α ∈ (α，β)，取 x ∈ (α，β)，则 x ∈ S，所以 S 非空，显然 S 有上界 b 。于是

∃ξ＝sup S

现证明ξ＝b，反设 ξ ≠ b，则 α＜ξ＜b，

因为H 覆盖 [α，b]，从而存在 (α₁，β₁) ∈ H，ξ ∈ (α₁，β₁)，取x₁，x₂ 使 α₁＜x₁＜ξ＜x₂＜β₁，则 x₁ ∈ S

于是 [α，x₁] 能被 H 中有限个开区间覆盖，把 (α₁，β₁) 加入 S ，就得到 x₂ ∈ S，与 ξ＝sup S 矛盾

有限覆盖定理⇒聚点原理

定义 (聚点) . 设 A ⊆ ℝ 若对于任意正实数 δ，◦U(x₀，δ) 中包含 A 中的点，称 x₀ 是 A 的聚点

证明：

设M＞0 A ⊂ [–M，M]，假设 A 没有聚点， ∀x ∈ [–M，M]，U (x₀，δ) 最多只含有 A 中一个点 x₀，由于

A ⊆ [–M，M] ⊆ ∪ U(x₀，δ)

x ∈ [–M，M]

于是可以从 ∪ U(x₀，δ)

x ∈ [–M，M]

中选出有限个开区间覆盖 A，而 A 是无限集，与 U(x₀，δ) 中最多只含有 A 中一个点矛盾。

聚点原理⇒Bolzano - Weierstrass定理

设A＝{xₙ} 有界，假如 A 是有限集，则必然有一项重复出现了无限次

xₙ₁＝xₙ₂＝xₙ₃＝· · ·＝xₙₖ＝· · ·

从而存在收敛子列。

若A 是无限集，则存在一个聚点 x₀ ∈ A

∀δₖ＞0，∃xₙₖ ∈ U(x₀，δₙ)

取

δ₁＝1，∃xₙ₁＝max (U(x₀，δ₁)∩A)，

xₙₖ – x₀

δₖ₊₁＝[───]

2

，∃xₙₖ₊₁＝max (U(x₀，δₖ₊₁)∩A)

并且 n₁＜n₂＜n₃＜ · · · nₖ＜· · ·，δₖ → 0，从而存在收敛子列。

Bolzano - Weierstrass定理⇒Cauchy收敛原理

必要性显然，下证充分性。

设{xₙ} 是柯西数列，显然柯西数列都是有界数列，从中选出收敛的子列 {xₙₖ} 收敛于 l ，

于是∃K ∈ ℕ 当 k＞K 时，

ε

[xₙₖ – l]＜─

2

∃N ∈ ℕ，当 n＞N 且nₖ＞N 时，

ε

[xₙₖ – xₙ]＜─

2

于是 [xₙ – l]＜ε

注意：一个细节，须先假定阿基米德性质才能得出∀ε＞0，nε→∞

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。