反证法

目录

一、逻辑学原理 ▹

1.1 不予盾律 ▹

1.2 排中律 ▹

1.3 矛盾和排中的关系 ▹

二、反证法的步骤 ▹

三、例子 ▹

一、逻辑学原理

在逻辑学中存在3条基础规则，分别是：同一律、不矛盾律、排中率。所谓的基础规则，可以理解为数学中的公理，也就是是大家认可的常识，所以不证自明（无需证明即为真的命题）。

在反证法中，主要依赖的是：不矛盾率和排中率，下面分别介绍下。

1.1 不矛盾律

不矛盾率律，通常也被称作：矛盾率

什么是矛盾关系？现看下面这样几个例子：

① 小明的数学分数既及格了，又没有及格；

② 北京是中国的首都，同时也不是中国的首都；

③ 今天这场足球比赛甲队赢了，但甲队也输了。

上面的每一个句子中，都存在两个说法（或看成命题），同时前后两种说法是互相否定的，

例如：小明的分数及格了，小明的分数没有及格，前后两种说法是互相否定的。

如果存在这种前后互相否定，那么我们就称：两种说法法矛盾了或这个复合命题矛盾了。

重要的是：如果存在两个互相否定的说法，那么这两种说法不可能同时为真。

也就是：这两种相互矛盾的说法，要么有一个真、一个假；要么两个都是假的。

即：如果存在两个互相否定的说法，至少有一个为假。

1.2 排中律

什么是排中，先看下面的几个例子：

① 中国要么属于亚洲，要么不属于亚洲；

② 这本书小明要么看过(打开过)，要么没看过(没打开过)。

上面的每一个句子中，对于事实的判断都只存在两种可能，

例如：中国要么属于亚洲，要么不属于亚洲，不存在第三种可能。

如果一个事情的结果，只存在两种可能A或非A，在A和非A之间不存在中间的可能，即排中。

这等同于概率论中的：对立事件，两个对立的事件构成了整个样本空间。

重要的是：如果一个事件的结果若只存在两种可能A或非A，那么这两个结果不可能同时为假。

也就是：A或非A中，只存在一真一假，要么A真非A假，要么A假非A真。

1.3 矛盾和排中的关系

再回到上面的例子：

今天这场足球比赛甲队赢了，但甲队也输了。

足球比赛的结果存在三种可能：赢、平、输，

所以，这两种说法虽然是矛盾的，但这两种说法并不符合排中。

今天这场足球比赛甲队赢了，但甲队也输了。

这本书小明要么看过，要么没看过

因为这句话存在两个互相否定的说法，所以是矛盾的，

同时，一本书是否看过，只存在看过或没看过，所以也是排中的。

因此，若一个复合命题是符合排中的，那么该复合命题必然是矛盾的。

但是，如一个复合命题是矛盾的，但未必是符合排中的。

二、反证法的步骤

我们要证明一个数学命题，从正面去证明困难的情况下，可以考虑：正难则反，这个方法也是统计学中假设检验的核心论证逻辑。

例子：我们要证明是A是A，我们称为原命题。

第一步：写出原命题的的对立命题（注意不是原命题的否命题，因为否命题是双否结构）；

那么对立命题为：A不是A、或者并非A是A

第二步：假设对立命题《A不是A》是正确的；

第三步：假设对立命题《A不是A》为正确的的条件下，推出与事实不符（在数学中如推出和公理不符、定义不符、某个定理不符等），即推出矛盾了，也就是对立命题假设是正确的的这个假设不成立，即对立命题为假。

第四步：由于原命题和对立命题是排中的，也就是：若对立命题是假的，则原命题为真。

三、例子

证明 √2 是一个无理数‬

第一步：写出原命题的的对立命题

即：√2 不是一个无理数

分析：在实数中，只存在两种数，要么是无理数、要么是有理数

所以：√2 不是一个无理数 等价于 √2 是一个有理数

第二步：假设对立命题是正确的

即：假设√2 是一个有理数为真

第三步：假设对立命题正确的的条件下，推出与事实不符的矛盾

有理数的性质：任意一个有理数都可以表示为两个互质整数的比值

而：两个互质整数的公约数只为1

p

也就是：有理数＝─ ， 备注（p、q为整数、且q不为零） q

p

即：√2＝─

q

p²

对等式两边平方：2＝─

q²

移项：2q²＝p²

因为只有偶数的平方才是偶数，所以： p² 是一个偶数

因此 p 也一个偶数，因为 p 是一个偶数，所以可以被2整除

那么设： p＝2α ，备注（a为一个整数）

于是有： p²＝4α²

代入后得： 2q²＝4α²

化简得： q²＝2α²

同理，这说明： q 也是个偶数，而两个偶数的公约数不为1

所以矛盾点是：这与 p 和 q 是两个互质整数的公约数只为1不符

也就是： √2 是一个有理数这个命题（假设）是错的

第四步：若对立命题是假的，则原命题为真

因为：√2 是一个有理数这个命题是错的（为假）

所以：√2 是一个无理数是对的（为真）

证毕。

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