数学联邦政治世界观
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Desargues和Pappus定理

为使用Desargues公理证明Pappus定理,笔者发表如下可能有缺陷的证明。

引理:两个完全四边形的五组对应顶点连线共点 O ,且无重合的对应顶点,则剩下一组对应点连线也过 O 。

证明:如图1:由三角形 HlG 和 NPM 对应边交点共线,Desargues知 HN,lP,GM 共点,同理 HN,GM,JQ 共点,即 HN,lP,JQ 共点,Desargues逆知 A,E,lJ∩PQ 共线。

将上述证明过程对偶化,再由任意性知证毕(如图2)。

[这里我相当于用Desargues证明了弱Desargues'对合定理。]

回到Pappus定理。如图3,直线(THA)和(JKI)上产生了一组Pappus结构,只需证

U=AJ∩TI,S=AK∩HI,L=JH∩TK

共线。记 IH 交 LT于G,LS交TI于U',在AG,AT,AK,AJ,AI 上分别取P,Q,O,N,M满足PQM,ONM共线,NQ,OP交于R。在上述引理中取特例:完全四边形RPQONM和LGHKJI:知A,L,R共线;再取完全四边形

RPQONM和LGTSU'I:A,U',J,N共线,即U'=U,证毕。

这里我相当于用弱Desaraues'对合定理证明了Pappus定理。]

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