完全四边形性质（二）

上一篇文章从欧氏几何角度谈及完全四边形的垂心线，西姆松线等性质，本文主要从射影几何角度来说明。

在进行这一步之前，我们先介绍几个引理吧

下面的引理显然是在射影仿射平面上讨论的

1.任给定一个不以无穷远直线为边的完全四线形，则确定了唯一一个与其四边相切的抛物线（这个结论虽然由“五个元素确定一个二次曲线”可立即得到，但是却对后面的讨论至关重要)

2.若两个三点形内接于二次曲线，则它们同时外切于另一条二次曲线。

3.设A,B,C,D四点共圆，则存在唯一一条以D为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。

4.过焦点作抛物线的任一切线的垂线，垂足的轨迹是一条直线。

5.一定点关于二阶曲线束的极线共点。

6.若二级曲线退化成两线束，则此时二级曲线的中心为两线束中心连线的中点。

7.如图，三点形ABC与三点形A₁B₁C₁内接于二次曲线Γ，且关于点O透视，Γ上任意一点P分别与三点形A₁B₁C₁顶点相连，分别交此点在透视中的对应点的对应边于E,F,G，则有:E,F,G,O四点共线。

1.任给定一个不以无穷远直线为边的完全四线形，则确定了唯一一个与其四边相切的抛物线

证：

由于五条无三线共点的直线线确定一个二次曲线，于是任给定一个不以无穷远直线为边完全四线形，相当于给定了五条直线且其中一条为无穷远直线，因此确定了一个与无穷远直线相切的二次曲线，这就是抛物线。

2.若两个三点形内接于二次曲线，则它们同时外切于另一条二次曲线。

证：

如图，三点形CDE,FHG内接于二次曲线Γ， 由二次点列及透视对应性质，有(FJ,KG)＝C（FD,EG）＝H（FD,EG）＝(ND,EM)，这说明点列(F,J,K,G)与点列(N,D,E,M)射影对应，于是由二级曲线的定义可知，此射影对应对应点连线FN,JD,KE,GM以及点列的底JK,NM属于同一个二级曲线，或者说外切于同一条二阶曲线。证毕

3.设A,B,C,D四点共圆，则存在唯一一条以D为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。

证: 由于圆可以认为是过圆环点I,J的二次曲线，因此有I,J,A,B,C,D六点共二次曲线，而由引理2我们知道三点形IJD和ABC外切于同一条二次曲线，并且这条二次曲线是唯一的，然而，圆环点IJ的连线是无穷远直线，这说明这条二次曲线与无穷远直线相切，于是这是抛物线，然而D为有穷点，且为这条抛物线的迷向切线的交点，于是D是抛物线的焦点。所以存在唯一一条以D为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。证毕。

4.过焦点作抛物线的任一切线的垂线，垂足的轨迹是一条直线。

先说明，这条直线是抛物线顶点处的切线

证:这里先贴一个引理:二次曲线的外切三线形的顶点的共轭点与另外两个顶点的两个连线共轭

如图，过抛物线Γ（黄色曲线)上任意一点作切线交顶点处的切线于P，作F关于C处切线的平行线l，设l上的无穷远点为L∞，顶点处的切线上无穷远点为M∞，由于F在抛物线对称轴上，所以M∞的极点过F，也即F是M∞的共轭点，而三点形M∞L∞P与Γ相切，所以FP与FL∞共轭，故由焦点的射影定义知PF⊥FL∞，于是PF⊥CP。这说明垂足的轨迹是顶点处的切线。

引理也证明一下吧：

如图，三角形JKI外切于二次曲线Γ，L为J的共轭点（即L在HG上），则LK,LI共轭。

证

设ML与Γ交于另一点N，NH,GM交于P，NG,HM交于O。则PLO是自极三点形，于是PJO共线，而O,L,K的极线分别为LP,OP,MG，它们共点于P，于是O,L,K共线，同理P，L，I共线，而LK的极点是P，P在LI上，于是LK,LI共轭。证毕。

5.一定点关于二阶曲线束的极线共点。

这点用代数法就很好说明，设两二阶曲线束的两基元素分别为Γ₁:S≡XᵀAX＝0，Γ₂:S≡XᵀBX＝0，定点为P，则P关于曲线束中任意一个曲线Γ₁+λΓ₂＝0的极线为

l:Pᵀ（A+λB）X＝PᵀAX+λPᵀBX＝0，于是l过直线PᵀAX＝0和直线PᵀBX＝0的交点。证毕。注意，如果对曲线束中三个退化的二次曲线也定义极点极线的概念，也是成立的。

6.若二级曲线退化成两线束，则此时二级曲线的中心为两线束中心连线的中点。

我们知道非退化二级曲线Γ:S≡uᵀAu＝0的中心定义为无穷远直线l关于其的极点lᵀAu＝0，如果对于退化的二级曲线也用这个定义来定义其中心，我们将得到其中心为中点。

证：设退化的二级曲线的两线束中心分别为M（m₁,m₂,m₃)ᵀ和N（n₁,n₂,n₃)ᵀ，其笛氏坐标为M（x₁，y₁)， N（x₂，y₂)则可得到此退化二级曲线Γ₁的方程为

uᵀ（MNᵀ+NMᵀ）u＝0，无穷远直线l的坐标为（0,0,1），由定义可得到l关于Γ₁的极点O为

lᵀ（MNᵀ+NMᵀ）u＝0，易其坐标为

lᵀ（MNᵀ+NMᵀ）＝（m₃n₁+n₃m₁，m₃n₂+n₃m₂，2m₃n₃）令第三分量为1，得到坐标为（（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂)/2，1)，于是O为MN中点。

7.如图，三点形ABC与三点形A₁B₁C₁内接于二次曲线Γ，且关于点O透视，Γ上任意一点P分别与三点形A₁B₁C₁顶点相连，分别交此点在透视中的对应点的对应边于E,F,G，则有:E,F,G,O四点共线。

证：

分别对简单六点形ABB₁PC₁C和简单六点形AA₁PC₁CB利用Pascal定理分别得到，E,F,O共线和O，G，E共线，于是E,F,G,O四点共线。

好了几个引理已经说明完了，接下来说说之前提到的关于密克点，西姆松线，完全四边形的垂心线，以及史坦纳定理等等。

我们先给出结论：

不妨称引理1中的抛物线为完全四边形的外切抛物线。

1.完全四边形的四个三角形的外接圆共点，此点为其外切抛物线的焦点。即完全四点形存在密克点且是外切抛物线的焦点。

2.完全四边形的西姆松线为其外切抛物线在顶点处的切线。

3.完全四边形三条对角线中点共线（牛顿线）

4.完全四边形的垂心线是其外切抛物线的准线。（史坦纳定理将在证明中一并说明)

证：

1，不妨取完全四点形中的一个三点形ABC，我们知道，焦点F为迷向切线的有穷远交点，于是三点形ABC与三点形IJF（IJ为圆环点）同时外切于抛物线，由引理二的对偶我们知道这六个点内接于一条二次曲线，因此这条二次曲线经过圆环点I,J为圆，即ABCF共圆，于是对于完全四点形的另外三个三点形也一样，故这些圆都共点于交点F。即完全四点形存在密克点且是外切抛物线的焦点。

2，由引理4即得。

3.完全四边形三条对角线中点共线（牛顿线）

由引理5的对偶及引理6，将对角线的两端点看做线束中心，设引理5的对偶中的直线为无穷远直线即得。

4.我们来证明“抛物线的外切三角形的垂心在准线上”这一性质即可。

如图三点形GNH外切于抛物线，F是焦点，I,J是圆环点，由垂心的定义，我们先过一个顶点G作对边HN的垂线，这等价于G与HN在直线IJ上的交点K关于I,J的第四调和点U连线。同样的道理H,N也有类似于G的对应的点H',N'，（未画出）。我们要证的就是GU,NN'，HH'共点，且此点在F的极线上。

考虑其对偶命题的一般形式

如图M,N,G，I,J,F内接于二次曲线Γ，I与MNG分别连接，并做分别关于IJ,IF的第四调和直线IK,IO,IL交三点形MNG的对应边于S,P,R，则证明S,P,R共线且此直线经过JF连线的极点。

证：由调和，我们得到M和K,G和O,N和L为以F，J为不动点的对合的对应点，因此它们的连线过FJ的极点H,，此时命题与引理7等价。证毕。

由此我们说明了抛物线外切三角形的垂心在准线上，于是自然就有完全四点形的垂心线的存在。

现在看史坦纳定理（内容:一点P关于三角形ABC的西姆松线过此点与此三角形垂心连线的中点。)就很简单了.由引理3，存在唯一一条以P为焦点的且与三点形ABC相切的抛物线。由上面的讨论我们知道垂心线就是外切抛物线的准线，西姆松线就是顶点处的切线，而这两条直线有相同的无穷远点，且焦点 F到它俩的距离之比为1:2这是熟知的，于是西姆松线自然经过垂心与P连线的中点了。

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